东北师大附中 高二年级数学学科（理科）考试

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分120分，考试用时120分钟。

注意事项：　　

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净

后，再选涂其它答案。

3．将第Ⅰ卷选择题的答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷每题的答案写在答题纸的指定位置。

4．考试结束，将答题纸和答题卡一并交回，答案写在试卷上视为无效答案。

第Ⅰ卷（选择题，共48分）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共计48分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。）

（1）复数在复平面内的对应点位于　

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

（2）根据偶函数定义可推得“函数在上是偶函数”的推理过程是

（A）归纳推理 （B）类比推理 （C）演绎推理 （D）非以上答案

（3）从6名女生，4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同

的抽取方法种数为

（A） （B） （C） （D）学

（4）下列求导正确的是D

（A） （B）金太阳新课标资源网

（C） （D）学

（5）在5道题中有3道数学题和2道物理题．如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到数

学题的条件下，第2次抽到数学题的概率是

（A） （B） （C） （D）

（6）6名学生排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法种数为

（A）720 （B）360 （C）240 （D）120

（7）下列命题中正确的是

（A）任何复数都不能比较大小；

（B）若，则；

（C）若，且，则；

（D）若，且，则或．

（8）将骰子先后抛掷两次，向上的点数之和为7的概率为学科

（A）　　 　（B）　　 （C）　　　 （D）金太阳新课标资源网

（9）已知函数，若，则

（A） （B）

（C） （D）大小关系不能确定

（10）如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为　

（A）3 （B）5 （C）6 （D）10

（11）已知函数的定义域为，为的导函数，

函数的图象如右图所示，且，则不

等式的解集为

（A） （B）

（C） （D）

（12）若函数，则

（A） （B） （C） （D）

第Ⅱ卷（非选择题，共72分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共计16分，将正确答案写在答题卡的横线上）

（13）若为纯虚数，则实数的值为__________．

（14）若，则 ．

（用数字作答）

（15）直线与抛物线所围成图形的面积为 ．

（16）观察下列等式：

，

，

，

，

………

由以上等式推测到一个一般的结论：

对于， ．

三、解答题（本大题共6小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

（17）（本题满分8分）

在中，三个内角对应的边分别为，且成等差数列，也成等差数列，求证：为等边三角形．

（18）（本题满分8分）

从装有6个红球、4个白球的袋中随机取出3个球，设其中有个红球，求随机变量的分布列．

（19）（本题满分10分）

已知函数的图象在点处的切线与直线平行．

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．

（20）（本题满分10分）

甲、乙两队参加环保知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人答题正确与否相互之间没有影响．用表示甲队的总得分．

（Ⅰ）求随机变量的分布列和数学期望；

（Ⅱ）用表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求．

（21）（本题满分10分）

数列满足，前n项和．

（Ⅰ）写出；

（Ⅱ）猜出的表达式，并用数学归纳法证明．

（22）（本小题满分10分）

已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，函数在区间上不是单调函数，求的取值范围；

（Ⅲ）求证：．

东北师大附中2009－2010学年高二年级下学期期中考试

数学（理科）试卷答案

一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共计48分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。）

BCADD CCBAB BC

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共计16分，将正确答案写在答题卡的横线上）

（13）－1 （14）－31 （15） （16）

三、解答题（本大题共6小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

（17）（本题满分8分）

证明：由成等差数列知，，由余弦定理知，

又也成等差数列，∴，代入上式得，

整理得，∴，从而，而，则，

所以为等边三角形．

（18）（本题满分8分）

解：的可能取值为0，1，2，3．

解：； ；

； ．

　　所以的概率分布列为

（19）（本题满分10分）

解：（Ⅰ），

依题意有:,　∴.　　　　

又， ∴.　　　　

所以.

（Ⅱ），

由，解得..w.w.k.s.5.u.c.o.m

当变化时，的变化情况如下表：

由上表可知，最大值是，最小值是.

（20）（本题满分10分）

解：（Ⅰ）由题意知，，

，

．
所以的分布列为

的数学期望为.

（Ⅱ）用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以

（21）（本题满分10分）

解：（Ⅰ）

（Ⅱ）猜想，下面用数学归纳法给出证明.

①当n=1时，结论成立．

②假设当n=k时，结论成立，即，

那么当n=k+1时，＝

即

∴当n=k+1时结论成立．

由①②可知，对一切， 都有成立．

（22）（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）当时，，

由，得； 由，得.

所以，的减区间为，增区间为.

（Ⅱ）得，

∴，∴

∵在区间上不是单调函数，

∴，即

（Ⅲ）由（Ⅰ）知当时，在上单调递增，又

∴当时，即.

∵，则有，∴

．

2010年吉林省东北师大附中高二下学期期中考试（理数）