广义积分的收敛判别法

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第二节广义积分的收敛判别法
上一节我们讨论了广义积分的计算,在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值.对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件—积分收敛，否则其结果毫无意义。因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的．定理9.1（Cauchy收敛原理）f(x在[a,+∞）上的广义积分
a
f(xdx
收敛的充分必要条件是：0,存在A>0,使得b,b>A时，恒有
|bf(xdx|
证明：对lim
bb

b/
f(xdx0使用柯西收敛原理立即得此结论．
ba
同样对瑕积分f(xdx(b为瑕点,我们有
定理9.2（瑕积分的Cauchy收敛原理）设函数f(x在[a,b上有定义，在其任何闭子区间[a,b–]上常义可积，则瑕积分f(xdx收敛的
a充要条件是:0,0,只要0</，就有
b
|bf(xdx|
定义9.5如果广义积分|f(x|dx收敛，我们称广义积分
a


a
b/
f(xdx
绝对收敛（也称f(x在[a,+上绝对可积];如f(xdx收敛而非绝
a对收敛，则称
a
f(xdx条件收敛，也称f(x在[a,+上条件可积．
由于A,A/a，均有

|Af(xdx|
A/
A
A/
|f(x|dx
因此，由Cauchy收敛原理，我们得到下列定理．定理9.3如果广义积分收敛．
它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质．
下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法．比较判别法：
定理9.4（无限区间上的广义积分）设在[a,+上恒有
a
则广义积分f(xdx必f(xdx绝对收敛，
a

0f(xk(x,（k为正常数）
则当(xdx收敛时,
a当
a

a

f(xdx也收敛;
f(xdx发散时,
a

(xdx也发散．
证明：由Cauchy收敛原理马上得结论成立．
对瑕积分有类似的结论判别法
定理9.5设f(x,g(x均为[a,b上的非负函数，b为两个函数的奇点，如存在一个正常数k,使
0f(xkg(x,x[a,b,则
1）如g(xdx收敛，则f(adx也收敛。
a
a
b
b
2）如f(xdx发散，则g(xdx也发散．
a
a
bb
比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式．

定理9.6如果f(x,g(x是[a,+上的非负函数,且lim(1如果0l,且(2如果0l,且证明：如果lim
x
x
f(x
l,则g(x

a

g(xdx收敛,则积分af(xdx也收敛．

a
g(xdx发散，则积分af(xdx也发散．

f(x
l0,则对于0(l0,存在A,g(x
f(x
l当xA时,0l
g(x
即(lg(xf(x(lg(x成立.显然
a

f(xdx与
a

g(xdx同时收敛或同时发散，在l=0或l=时，可类似地讨论.
使用同样的方法，我们有
定理9.7对以b为唯一瑕点的两个瑕积分f(xdx与g(xdx如果
aaf(x,g(x是非负函数，且lim
xb
bb
f(x
l,则g(x
ba
（1）当0l,且g(xdx收敛时，则f(xdx也收敛．
a
b
（2）当0l，且g(xdx发散时，则f(xdx也发散．
a
a
bb
对无限区间上的广义积分中，取

a
1
dx作比较标准，则得到下列px
Cauchy判别法：设f(x是[a,+的函数，在其任意闭区间上可积,那么:
c
定理9.8若0f(xp，p>1,那么积分f(xdx收敛，如
a
x
f(x
其极限形式为
c
，p1,则积分f(xdx发散．pa
x
定理9.9如limxpf(xl(0l,p>1,则积分f(xdx收
ax


敛．
如limxpf(xl,而0l,p1,则f(xdxab
发散.
例9.8判断下列广义积分的收敛性。
(1(2

1
1

11ln(1dxx1x
xm
dx(m>0,n>0n
1x

11
解：（1）因为0ln(1
x1x
1111
2
x1xx(1xx
由
1
111
ln(1dx收敛．dx收敛推出12x1xx
nm
（2）因为limx
x
xm
1,所以当n－m>1时，积分n
1x
1

m
xxm
dx收敛.当n－m1时，积分1dx发散．nn
1x1x
对于瑕积分，使用a法．
b
1
dx作为比较标准，我们有下列柯西判别p
(xa
定理9.10设x=a是f(x在[a,b上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积,那么
bc
（1）如0f(x则f(xdx收敛．p(c>0,p<1,a(xabc
则f(xdx发散．（2）如f(xp(c>0,p1,a(xa
瑕积分的Cauchy判断法的极限形式为

定理9.11设lim(xapf(xk
xa

如0k<,p<1,则f(xdx收敛
a
b
如0<k,p1,那么f(xdx发散．
a
例9.9判别下列瑕积分的敛散性。(10
1
b
dx
(1x2(1k2x2
(k2<1

(2


20
dx
(p,q>0pq
sinxcosx
解：（1）1是被积函数的唯一瑕点
因为lim(1x
x1
1
2
2
dx(1x(1kx
2
2
=
12(1k
2

由p
1
知瑕积分收敛．2

（2）0与都是被积函数的瑕点．
2

先讨论
40
dx1p
,lim由x1pqpqx0sinxcosxsinxcosx

4
0
知:当p<1时,瑕积分

dx
收敛;当p1时,瑕积分pq
sinxcosx

40
dx
发散．pq
sinxcosx
再讨论因lim(
x
dx
sinpxcosqx4
2


2

xp
2
1
1pq
sinxcosx

dx
所以当q<1时,瑕积分收敛，pq
sinxcosx4
2

dx
当q1时，瑕积分发散．pq
sinxcosx4
2


综上所述，当p<1且q<1时,瑕积分02发散．
dx
收敛;其他情况pq
sinxcosx
例9.10求证:若瑕积分f(xdx收敛，且当x0时函数f(x单调趋
0
1
向于+，则limxf(x=0.
x0
证明：不妨设x(0,1],f(x0,且f(x在(0,1上单调减少。
已知f(xdx收敛，由柯西收敛准则，有
01
0,0(<1,0x有

从而
x
x
2
f(tdt,

x
0<f(x2
或

xx2
f(tdt

0<xf(x2
即limxf(x=0.
x0
11
dx例9.11求证瑕积分0(>0,当<时收敛
[x(1cosx]3
1
当
1
时发散.3

x3
证明:∵lim=lim

x0[x(1cosx]x0
x3

1cosx3x2
x
=lim
x0
11cosx
2x

2
所以当3<1时，即<时，瑕积分收敛．当31，即瑕积分发散．
131
时，3
前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行讨论，我们先给出下面的重要结果．
定理9.12（积分第二中值定理）设g(x在[a,b]上可积，f(x在[a,b]上单调，则存在ξ[a,b]使
a
b
f(xg(xdx=g(aaf(xdxg(baf(xdx

为了证明定理9.12，我们先讨论下列特殊情况．
引理9.1设f(x在[a,b]上单调下降并且非负，函数g(x在[a,b]上可积，则存在c[a,b]，使
a
b
f(xg(xdx=f(ag(xdx
a
xa
c
证明：作辅助函数(x=f(ag(tdt,

对[a,b]的任一分法
P:a=x0<x1<x2<…<xn=b
我们有
a
b
f(xg(xdx=xf(xg(xdx
i1
i1
n
xi
由此得到

|b
f(xg(xdxn
－f(xxi
a
i1xg(xdx|
i1
i1
n
=|xi
x[f(xf(xi1
i1]g(xdx|
i1
n
xi
|f(xf(xi1||g(x|dx
i1
x
i1
Ln
i(f△xi
i1
这里L是|g(x|在[a,b]的上界,wi(f是f(x在xi1,xi上的振幅，从这个估计式可知,当P0时,应当有


n
f(xxi
i1dx
i1
xg(xdx
(xg(xi1
b
a
f我们来证明
n
min(xf(xxi
x[a,b]
i1xg(xdxmx[axa,b]
(x
i1
i1
为此，引入记号G(x=
x

ag(tdt并作如下变换

n
f(xxi
i1i1xg(xdx
i1
n
=f(xi1[G(xiG(xi1]
i1n
n
=f(xi1G(xif(xi1G(xi1
i1i1
n
=f(xi1G(xn1
if(xiG(xi
i1
i0

=f(xi1G(xif(xiG(xi（G(x0G(a0）
i1n
i1
nn1
=[f(xi1f(xi]G(xif(xnG(xn
i1
因为所以
f(xi1f(xi0,f(xn0,

i1
n
f(xi1xg(xdx
i1
xi
=[f(xi1f(xi]G(xif(xnG(xn
i1
n
{[f(xi1f(xi]f(xn}minG(x
i1
n
x[a,b]
=f(aminG(x
x[a,b]
同样可证

i1
n
f(xi1xg(xdxf(amaxG(x
i1
xi
x[a,b]
我们证明了不等式f(aminG(x
x[a,b]
f(xi1x
i1
n
n
xi
i1
g(xdxf(amaxG(x
x[a,b]

即
x[a,b]
min(x
f(xi1x
i1
xi
i1
g(xdxmax(x
x[a,b]
现令|p|0,取极限，就得到min(x
x[a,b]
a
b
f(xg(xdxmax(x
x[a,b]
因此，存在c[a,b]，使得

(c=f(xg(xdx（因为(x在［a,b］上是连续函数）
a也就是f(xg(xdx=f(ag(xdx
a
a
b
c
b

证毕
下面我们证明定理9.12
证明：如f(x是单调下降的，则f(x－f(b单调下降且非负，由引理12.2.1知，存在c[a,b,使
a[f(xf(b]g(xdx=[f(xf(b]ag(xdx

bc
即
a
b
f(xg(xdx=f(aag(xdxf(bcg(xdx,
cb

对f(x单调上升的情形，可作类似讨论.
使用积分第二中值定理，我们得到下列一般函数的广义积分敛散性的判别法
定理9.13若下列两个条件之一满足，则af(xg(xdx收敛（1）（Abel判别法）
a

f(xdx收敛，g(x在[a,]上单调有界;
Aa
（2）（Dirichlet判别法）设F(A=f(xdx在[a,]上有界，g(x在
[a,上单调,且limg(x=0.
x
证明：（1）0,设|g(x|M，x[a,,因

a
f(xdx收敛，由
Cauchy收敛原理，A0a,使A,A1A0时,有
|Af(xdx|
A1

2M

由积分第二中值定理，我们得到
|Af(xg(xdx||g(A||Af(xdx||g(A1||f(xdx|
M|f(xdx|M|f(xdx|
A
A1

A1

A1


+=22
a
再由Cauchy收敛原理知
f(xg(xdx收敛
(2设M为F(A在[a,+上的一个上界，则A,A1a,显然有
|Af(xdx|2M
同时,因为limg(x=0，所以存在A0a,当x>A0时,有
x
A1
g(x|<于是，对A,A1A0有

4M


|f(xdx||g(A||f(xdx||g(A1||f(xdx|
A
A
A1A1
2M|g(A|2M|g(A1|

+=22
a
由Cauchy收敛原理知例9.12讨论广义积分
f(xg(xdx收敛
cosx
dx的敛散性，x
1
1
解：令f(x=,g(x=cosx
x
则当x时，f(x单调下降且趋于零，F(A=

A
1
cosxdx=sinAsin1在[a,上有界．
1
由Dirichlet判别法知另一方面
cosx
dx收敛，x
|cosx|cos2x1cos2x
x2xx

因

1
cos2x1
dx发散，1dx收敛2x2x

从而非负函数的广义积分由比较判别法知所以


1
cos2x
dx发散2x
1
|cosx|
dx发散，x
1
cosx
dx条件收敛x
1
例9.13讨论广义积分
cosx
arctanxdx的敛散性．x
1
解：由上一题知，广义积分
cosx
dx收敛,而arctanx在[a,+x
1
上单调有界，所以由Abel判别法知
cosx
arctanxdx收敛。x
另一方面,当x[3,时,有
cosxcosx
|arctanx|||
xx
前面已证
1
|cosx|
dx发散x
由比较判别法知
1

|cosxarctanx|
dx发散,所以
x
1

cosxarctanx
dx条件收敛.
x
b
对瑕积分也有下列形式的Abel判别法和Dirichlet判别法
定理9.14若下列两个条件之一满足，则f(xg(xdx收敛：（b为唯
a
一瑕点）
（1）（Abel判别法）f(xdx收敛,g(x在[a,b上单调有界
ab

(2(Dirichlet判别法F(=
xb
b
a
f(xdx在[a,b上有界,g(x
在(0,ba]上单调,且limg(x0.证明:(1只须用第二中值定理估计bf(xg(xdx
读者可以仿照定理11.2.8(1的作法完成(1的证明.
(2读者可以仿照定理11.2.8(2的作法完成(2的证明.
b/
1sin1
例9.14讨论积分0pxdx(0<p2的敛散性
x
解:对于0因为
sin

1
x1xpxp
由
1
dx收敛知0px
1
1sin1
0pxdx
x
绝对收敛敛
对于0p<2,因为函数f(x=x2p,当x0时单调趋于0,而函数
sin
g(x=
满足

x2
1x

1sin1xdx|cos1cos1|2xp

所以积分
11
1
sin
xsin2ppx0
xdx10
xx2
dx收敛.但在这种情况下,
1
1sinx0
xp
dx是发散的,
事实上
sin1212由
xsinxcos
xp1xp2xpx2xp
cos
2
1
因1
1
1
x1sinx02x
pdx发散,
02x
p
dx收敛,知0
xp
dx发散
从而当0p<2时,积分条件收敛.最后我们讨论p=2的情形,因为
1
1
sin

x
x2dxcos1cos1n
sin1
当0时,上式无极限,所以积分1
x0x
2dx发散.
值得注意的是,两种广义积分之间存在着密切的联系,设

ab
f(xdx中x=a为f(x的瑕点,作变换y=
1
,则有xa
b
f(xdx=
11f(a
y
dy,而后者是无限区间上的广义积分.2
ba
y

习题9.2
1、论下列积分的敛散性（包括绝对收敛，(1lnlnx
2
lnx
sinxdx；(2
0
sinx2dx；

(3

21
0
cos2xsin2
x
dx；(41
lnx0
x21
dx；
(5
1p1
q10x
(1xlnxdx；
(61
xp1xq1
0
lnx
dx(p,q0；
(7
1
0
xpx
q
dx；(8
0
xp1exdx；(9

xp1
0
1x
2
dx；(10
esinxsin2x
0xp
dx；(11

xqsinx
1
1x
p
dx(p0；
条件收敛，发散）a

1
sin(xxdx(120
xp
10
(p0．
2．证明：若瑕积分f(xdx收敛，且当x0时，函数f(x单调趋于+，则limxf(x=0．
x0
3.若函数f(x在[a,有连续导数f(x，且无穷积分
/

a
f(xdx
与

a
f/(xdx都收敛，则limf(x=0．
x
x
4.设f(x在[a,上可导，且单调减少，limf(x=0,求证:
a

f(xdx收敛
a

xf/(xdx收敛．
5.证明：若函数f(x在[a,上一致连续，且无穷积分
a

f(xdx收敛，则limf(x=0．
x
a
6.求证：若无穷积分
f(xdx收敛，函数f(x在[a,内单
1
调，则f(x=o(．
x
7.计算下列广义二重积分的值．
(1(2(3

D
dxdy
,其中D=(x,y|xy1,x1|；pq
xy
0x2y21

dxdy1xy
2
2
；
e
(x2y2
dxdy,并由此证明
1

e
x2
dx1.
8、讨论下列广义重积分的敛散性．(1(2

00|xy|pdxdy,0m|(x,y|M
x2y21
aa
(x,y
；

(x,y
(xyxy
2
2
p
dxdy

0m|(x,y|M．

广义积分的收敛判别法

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