第9章 振动信号的处理和分析

飞行器的振动现象，表现为结构振动量的时间和空间的函数。人们希望通过对飞行器结构振动信号的测量和分析，来了解飞行器结构本身的物理特性，建立适宜的数学模型，从而预测飞行器在工作条件或所处环境中的运行行为及其对结构的强度、刚度，以及运行安全乃至相关人员的舒适性的影响。简言之，飞行器结构的振动特性是通过振动信号的测量、处理和分析确定的。在确定结构动特性时，数据采集应归于测量，而出于分析的需要，将信号进行数据离散（变换）、截断（加窗）、滤波等则可狭义地归为处理。传统地看法将变换视为分析，其实这也是一种处理。但广义地说，处理也是一种分析手段。因此，本章内容在阐述时并不严格地区分哪些是处理，哪些是分析，而是把处于处理和分析的每一个环节都作为一种方法来阐述。

§9.1 振动信号的分类

不同类型的信号将有不同的分析方法和选定不同的分析参数，按照信号本身的特性，最基本的分类可概括为稳态信号和非稳态信号两类，如图9.1.1所示。

图 9.1.1 振动信号的类型

稳态信号是其统计特性不随时间而变化的信号，它可以分为稳态确定性信号和稳态随机信号。其中稳态随机信号可认为是一种其平均特性不随时间变化，因而可以用任意一条样本记录来决定的随机信号。这也是所谓稳态的一般含义，无论对于确定性信号或是对于随机性信号皆是如此。但对于随机信号来说，稳态不是理解为从不同的记录样本所得到的结果都必须完全一样，而只意味着它们是等价的。

稳态确定性信号对于任意稳定的时刻，其信号值是可以预知的。而对于稳态随机信号，只能确知其统计特性，如平均值、方差等。

非稳态信号可粗略地分为连续性非稳态信号和瞬态信号，语言信号是典型的连续性非稳态信号。两者最基本的区别是，瞬态信号可以作整体处理，而连续非稳态信号一般可分成若干短时信号段来处理，每一段常常可以看成是拟稳态的。

稳态确定性信号是完全由具有离散频率成分的正弦信号组成的信号，又可分为周期性信号和拟周期性信号。对于周期信号来说，所有离散频率成分均表现为某种基频的倍数。而所谓拟周期信号，其不同频率成分的频率之间不具有谐和关系。极端地说，在这些频率成分中，至少有两个频率成分之比为例如这样的无理数。但在实际上，拟周期信号的典型情况是由互相独立的两组或两组以上谐和信号复合而成的，如双转子轴流式发动机的高低压转子系统所产生的合成信号，即可认为是拟周期信号。

§9.2 傅里叶变换

信号处理和分析的目的在于从测量信号中提取尽可能多的适于应用的信息。时域信号是信号的时间历程，如果我们要了解信号的频率组成，则应将时域信号变换成频域描述，变换处理时分析有用参数的一种常用方法。

傅里叶变换（简称傅氏变换，FT）是一种能够将信号从时域到频域、从频域到时域来回变换的传统方法，也是信号处理的一种主要方法。

§9.2.1 傅氏级数及其复数表达法

傅氏级数是分析周期信号频率成分的方法。

对于任意时间域的周期信号，一般总可表示为级数的形式，即

式中

其中，和为傅氏级数第阶分量的系数，可用图9.2.1表示。为第word/media/image10_1.png阶圆频率，而则称为基频，或第1阶圆频率。

式(9.2.1)和(9.2.2)实际上是完成了一种信号变换。其正变换为式(9.2.2)，从时域信号变为频域信号；反变换则为式(9.2.1)，从频域信号变为时域信号。

根据欧拉公式，可得

图 9.2.1 傅里叶系数示意图

令，，，便可得傅氏级数的复指数函数形式为

正变换：

反变换：

图9.2.2在三维图上画出和的复矢图。和是式(9.2.5)的一对复共轭系数。图中word/media/image22_1.png对应于，引入负频率纯属数学处理技巧，并非负频率真实存在。

图 9.2.2 和复矢图

§9.2.2 傅氏积分变换

傅氏积分是傅氏级数的拓广，以用于分析周期为无限长的函数。

在傅氏级数中，当时，，，，，于是式(9.2.4)变为

由此变得到傅氏积分变换

正变换：

反变换：

在有些著作或应用中，人们习惯采用频率而不是圆频率，根据，，于是有

因此傅氏积分变换对变为

正变换：

反变换：

§9.2.3 傅氏级数与傅氏积分变换间的关系

分析§9.2.1和§9.2.2中傅氏级数与傅氏积分变换的变换对不难理解，对于傅氏级数来说，、以及的量纲就是的量纲。而对于傅氏积分变换，或的量纲与的量纲相同。因此，word/media/image44_1.png是一种离散的幅值谱，而word/media/image45_1.png应称之为幅值的频率谱密度。

另外，傅氏级数适用于周期函数的变换，傅氏积分变换适用于瞬态函数的变换，也就是说，而傅氏积分可看作傅氏级数的推广，是非周期函数在无限区间上的分解。因此，变换的结果，傅氏级数得到的为离散的幅值谱，傅氏积分变换得到的连续的密度谱。

§9.3 离散傅里叶变换

傅里叶变换式(9.2.10)及其逆变换式(9.2.11)都不适用于数字计算机计算。要进行数字计算，必须将连续数据离散化。为了便于理解离散傅氏分析的基本概念，我们先研究周期函数的离散傅氏级数分析，然后研究非周期函数的离散傅氏分析。

§9.3.1 周期函数的离散傅氏级数分析

连续周期函数展成傅氏级数的复指数函数形式，为式(9.2.4)和式(9.2.5)，即

word/media/image44_1.png为离散谱线，即时域的连续周期函数在频域中表现为离散函数。

以图9.3.1所示的周期函数为例，进行周期函数的离散傅氏级数分析。将周期分为等分，，即，则可用下式近似乘积和来代替积分以求取word/media/image44_1.png。

将word/media/image53_1.png带入上式，得

图9.3.1 周期函数的离散傅氏分析

在傅氏级数的表达式(9.2.4)和(9.2.5)中，word/media/image56_1.png的谱线word/media/image44_1.png虽然是离散的，但谱线数却可能是无限的。也就是说，word/media/image56_1.png中的高次谐波，只要存在，就总可以被分离出来。但在式(9.3.2)中，由

可知

因此，word/media/image44_1.png也为周期性的，如图9.3.2所示，每个周期中只包含个word/media/image44_1.png()。

图9.3.2 离散傅氏分析所得傅氏级数的系数具有周期性

在得到word/media/image44_1.png后，即可按下式求取原函数word/media/image56_1.png中各个采样点()的值：

式(9.3.2)和式(9.3.3)实质上是傅氏级数的离散分析法。其中是复数谱线，和为幅值的大小，其量纲即为的量纲。

为了和傅氏变换所用符号相一致，令

则离散傅氏变换对可重写为

按照传统的傅氏变换理论，周期函数不能进行傅氏变换（只可展成傅氏级数）。然而，运用广义函数的概念，可以克服经典傅氏变换的限制。具体方法，可以参考相关专业资料，本书不做详细介绍。

§9.3.2 非周期函数的离散傅氏变换

非周期函数如瞬态函数的傅氏变换，其正变换和反变换都是连续函数。但是，在计算机处理时，我们不能把无限长时间历程的整个信号都拿来处理，而只能截取其中重要的和有代表性的一段来进行处理。因此，非周期信号的离散傅里叶分析，实质上是一种等效的傅氏级数分析。也就是说，无论处理周期信号或非周期信号，其计算公式与式(9.3.4)和式(9.3.5)的形式相同。当word/media/image56_1.png是周期函数时，就是其周期，当word/media/image56_1.png是非周期函数时，就是截断的样本长度。

通过以上分析，离散傅里叶变换的真正意义在于：可以对任意连续的时域信号进行抽样和截断，然后进行傅里叶变换得到一系列离散型频谱，该频谱的包络线，即是原来连续信号真实频谱的估计值，当然，也可以对给定的连续频谱，在抽样截断后作傅里叶逆变换，以求得相应时间历程的函数。

从式(9.3.4)和式(9.3.5)中可以看出， 若计算某一个频谱，则需进行与的次复数乘式运算和次的复数加法运算。若将个频谱全部计算完，则需：

复数乘法运算——次；

复数加法运算——次。

例如：在振动测试中， 若信号的样本数据长度取为，此时需要进行次复数运算。在普通微机上进行2百多万次复数运算，计算时间是相当长的，不仅达不到实时分析的要求，而且浪费机时。为了减少计算次数，节省计算时间，很多学者对此进行了研究，1965年柯立-杜开（Cooleg-Tukey）提出一个新的计算方法——快速傅里叶变换法（FFT）。

§9.4 快速傅里叶变换

快速傅里叶变换法（FFT）并不是一种新的变换，而是离散傅氏变换的一种新算法，其基本思想是巧妙地利用了复指数函数的周期性、对称性，充分利用中间运算结果，使计算工作量大大减少。

下面以式(9.3.4)为例介绍快速傅里叶变换的时域分解法。它是将一长时间序列分解成比较短的子时间序列，子时间序列还可再继续分解成更小的子时间序列，递推下去直到最后得到一个最简单的子时间序列：一个数为止。然后利用傅氏变换计算公式对最后得到的最简单的子时间序列的进行傅里叶变换，再将各子时间序列的傅里叶变换结果按一定规则进行组合，最后便得到原时间序列的傅里叶变换结果。为满足分解和组合的需要，时间序列的长度必须满足（为整数）的关系。

以为例，时间序列如图9.4.1所示，现将其分解为两个子序列，偶数排成一个序列，用表示，奇数排成一个序列，用表示，两个子序列长度均为 4，即

图 9.4.1 时间序列的分解示意图

利用式(9.3.4)，两个子时间序列word/media/image83_1.png和word/media/image84_1.png的傅里叶变换分别为

为建立两个子时间序列的频谱与原时间序列频谱之间的关系，现将原时间序列的傅里叶变换计算公式的偶数项和奇数项分开写出，则有

由式(9.4.2)和式(9.4.3)得

如果仅用来计算的全部值，并注意到，则有

令

复变量称为“旋转因子”。将代入式(9.4.4)和式(9.4.5)得

同样的道理：子序列与的计算也可以重复前面的方法，将word/media/image83_1.png和word/media/image84_1.png再分成更短的子序列，即1/4 子序列。依此类推，可得到 1/8子序列，…，一直到子序列，对于word/media/image97_1.png的时间序列，则最后每个子序列只包含有一项，而单项的傅里叶变换就等于它自己。即

将每一项最简子序列利用式(9.4.7)进行傅里叶变换，然后再利用式(9.4.6)进行组合，最后可得到原时间序列的傅里叶变换结果。因此，式(9.4.6)和式(9.4.7)称为快速傅里叶变换的基本计算迭代公式，此计算方法称为 FFT算法。

该法的复数计算次数只有，以为例，原为2096128次（两百多万次），现为15360次（一万五千多次），运算次数减少了136倍。

§9.5 离散傅氏变换中存在的问题

在数字信号分析的过程中由于计算机不可能对无限长连续的信号进行分析处理，只能将其变成有限长度的离散的数据点，那么无限长连续的信号的傅里叶变换和经过采样后截断的离散信号的傅里叶变换之间是什么关系？它能否反映原信号的频谱关系？这是我们所关心的主要问题。

另外，在数字分析过程中有一些问题也是需要特别注意的，如果处理的不好会引起误差或错误，甚至得到完全错误的结果。

诸如波形离散采样所产生的混叠问题、波形截断所产生的泄漏问题和信号中的信噪比问题等。这些都是在数字频率分析中所要关心的主要问题。

§9.5.1 混淆与采样定理

要把连续模拟量转换为离散数字量，需要对连续模拟量的时间历程word/media/image56_1.png进行采样。采样就是将连续模拟信号转换成离散数字信号。并且保证离散后的信号能唯一确定原连续信号，即要求离散信号能恢复成原连续信号。采样一般都是以等间隔取值，得到离散信号，，如图9.5.1所示。

图 9.5.1 连续信号的离散化

由于离散信号word/media/image105_1.png只是word/media/image56_1.png的一部分值， 即word/media/image105_1.png与word/media/image56_1.png是局部与整体的关系。这个局部能否反映整体，能否由离散信号word/media/image105_1.png复原到连续信号word/media/image56_1.png，这与word/media/image56_1.png波形的幅值变化剧烈程度和采样间隔word/media/image106_1.png的大小有关， 而word/media/image56_1.png波形幅值变化的剧烈程度又取决于word/media/image56_1.png的频率分量。

1. 周期函数的混淆问题

对周期连续函数

如果采样间隔

则振动信号的离散结果应为

式中为整数。

当正弦信号频率分别为与时，相应的正弦值是相同的，所以会误把高频分量当作低频分量。如图9.5.2所示，对图中高频信号按采样间隔word/media/image113_1.png采样后得到的离散信号就会误认为是低频信号，这就是混淆。

图9.5.2表明，若减小采样间隔word/media/image106_1.png，即增加采样量，混淆情况将有所改变。如果原函数中的最高谐波频率为，则应减小采样间隔word/media/image106_1.png，使

即可保证不产生上述混淆问题。称为采样频率，于是，为保证不产生混淆现象，应满足

上式称为Shannon采样定理。

图 9.5.2 高、低频混淆现象

2. 非周期函数的混淆问题

对非周期连续信号进行离散傅氏分析时，香农（Shannon）定理表明，若信号中的最高频率为，则为了不产生频率混淆，须保证采样频率word/media/image122_1.png大于2倍的。

除满足Shannon定理即式(9.5.2)外，采样时间，采样间隔，采样量及采样频率word/media/image122_1.png和频率分辨率之间存在以下关系：

由式(9.5.3)可见，由于word/media/image125_1.png是一定的，若为避免频率混淆而提高采样频率word/media/image122_1.png（即减小采样间隔word/media/image126_1.png），将使采样时间word/media/image127_1.png减小，从而造成频率分辨率word/media/image128_1.png变粗。解决这一问题的办法是先使信号通过一个低通滤波器，使滤波后的信号中的最高频率成为word/media/image129_1.png，然后根据采样定理来确定采样频率word/media/image122_1.png。通常word/media/image122_1.png是word/media/image129_1.png的3～4倍。

如某频率分析仪的采样量为，取，那么仪器的显示谱线仅为256（1024/4）线。

§9.5.2 泄漏与窗函数

对有限时间长度的离散时域序列进行离散傅里叶变换（DFT）运算，首先要对时域信号进行截断。这相当于用一个高为1、长为的矩形时域窗函数乘以原时域函数。因而引起信息损失，即窗外的信息会全部损失掉，致使导致频谱分析出现误差，其结果是使得本来集中于某一频率的功率（或能量），部分被分散到该频率邻近的频域，时域信号的这种损失将导致频域信号内会附加一些频率分量，给傅立叶变换带来误差，这种现象称为“泄漏”现象。

以图9.5.3(a)所示的连续时域信号为例，其频谱为图9.5.3(b)所示的两条谱线，集中在和处，即

因此，word/media/image136_1.png为延时函数，其特性符合word/media/image138_1.png函数特性。

经简单截取后的样本（图9.5.3(e)）相当于原信号与矩形窗函数（图9.5.3(c)）的乘积，即

其中矩形窗函数的表达式为

其频谱如图9.5.3(d)所示。

按照傅氏变换的卷积定理，则有

即将频谱图中曲线在频率轴上向左右各移动就成为的频谱图，如图9.5.3(f)所示。经过卷积后的不再是两条谱线而是两段连续谱。它表明，原来的信号被截断后，其频谱产生了畸变，原来集中在处的能量被分散到两个较宽广的频带中去了，这种现象称为泄露。

如图9.5.3(d)所示，曲线在频率范围之内的图形叫做主瓣，在频率范围内的图形都叫旁瓣。显然，泄露上由于窗函数的频谱是一个连续谱，它包括一个主瓣和无数的旁瓣，原来集中在主瓣的能量被泄露到旁瓣去了。

图 9.5.3 余弦连续信号倍矩形窗截断形成的泄露

为了抑制“泄漏”，需采用特种窗函数来替代矩形窗函数。这一过程称为窗处理，或者叫加窗。加窗的目的是使在时域上截断信号两端的波形突变变为平滑，在频域上尽量压低旁瓣的高度。

在一般情况下，压低旁瓣通常伴随着主瓣的变宽，但是旁瓣的泄漏是主要考虑因素，然后才考虑主瓣变宽的泄漏问题。

在数字信号处理中常用的窗函数有：

● 矩形（Rectangular）窗

● 汉宁（Hanning）窗

● 凯塞-贝塞尔（Kaiser-Bessel）窗

● 平顶（Flat Top）窗

图9.5.4给出了上述四种窗函数的时域图象，为了保持加窗后的信号能量不变，要求窗函数曲线与时间坐标轴所包围的面积相等。对于矩型窗，该面积为，因此，对于任意窗函数，必需满足积分关系式

图9.5.5分别给出了上述四种窗函数的频谱。

图 9.5.4 常用窗函数的时域图

图 9.5.5 常用窗函数的频谱图

在数字信号频率分析中要求对不同类型的时域信号，选用不同的窗函数。例如，对随机信号的处理，通常选用汉宁窗。因为它可以在不太加宽主瓣的情况下，较大地压低旁瓣的高度，从而有效地减少了功率泄漏；

对本来就具有较好的离散频谱的信号，例如周期信号或准周期信号，分析时最好选用旁瓣极低的凯塞—贝塞尔窗或平顶窗。因为这两种窗的频谱主瓣较宽，加窗后的波形发生了很大的变化，但其频谱却能较准确地给出原来信号的真实频谱值；

冲击过程和瞬态过程的测量，一般选用矩形窗而不宜用汉宁窗、凯塞—贝塞尔窗或平顶窗，因为这些窗对起始端很小的加权会使瞬态信号失去其基本特性。因此，通常将截短了的矩形窗应用于冲击过程中力的测量（称为力窗）。

常用的其它窗函数还有Hamming窗，Gauss(3)窗，三角形窗以及指数窗等。

选择窗函数时应注意：

 窗函数的主瓣宽度尽可能小；

 主瓣高度与旁瓣高度之比尽可能大；

 旁瓣的衰减要快；

 在条件允许的情况下，窗函数的时间历程应尽量长。

§9.5.3 噪声与平均技术

在数字信号的采集和处理过程中，都有不同程度的被噪声污染的问题，如电噪声、机械噪声等。这种噪声可能来自试验结构本身，也可能来自测试仪器的电源及周围环境的影响等等。

通常采用平均技术来减小噪声的影响，一般的信号分析仪都具有多种平均处理功能，它们各自有不同的用途，我们可以根据研究的目的和被分析信号的特点，选择适当的平均类型和平均次数。

1. 谱的线性平均

这是一种最基本的平均类型。采用这一平均类型时，对每个给定长度的记录逐一作傅氏变换和其它处理，然后对每一频率点的谱值分别进行等权线性平均。

对于平稳随机过程的测量分析，增加平均次数可减小相对标准偏差。

对于平稳的确定性过程，例如周期过程和准周期过程，其理论上的相对标准差应该总是零，平均的次数没有意义。不过实际的确定性信号总是或多或少的混杂有随机的干扰噪声，采用线性谱平均技术能减少干扰噪声谱分量的偏差，但并不降低该谱分量的均值，因此实质上并不增强确定性过程谱分析的信噪比。

2. 时间记录的线性平均

增强确定性过程谱分析信噪比的有效途径是采用时间记录的线性平均，或称时域平均。时域平均首先设定平均次数，对于个时间记录的数据，按相同的序号样点进行线性平均，然后对平均后的时间序列再做傅氏变换和其它处理。

为了避免起始时刻的相位随机性使确定性过程的平均趋于零，时域平均应有一个同步触发信号。

时间记录平均可以在时域上抑制随机噪声，提高确定性过程谱分析的信噪比。由于数字信号分析中，占有机时较多的是FFT运算，采用时域平均只需最后做一次 FFT，与多次 FFT的谱平均相比，可以节省机时，提高分析速度。然而，随机过程的测量，一般不能采用时域平均。

3. 指数平均

上述谱平均和时间记录平均都是线性平均，其参与平均的所有word/media/image163_1.png个频域子集或时域子集赋予相等的权，即。

指数平均与线性平均不同，它对新的子集赋予较大的加权，越是旧的子集赋予越小的加权。例如 HP3582A 谱分析仪的指数平均就是对最新的子集赋予 1/4 加权，而对以此前经过指数平均的谱再赋予3/4的加权，二者相加后作为新的显示或输出的谱。也就是说，在显示或输出的谱中，最新的一个谱子集（序号）的权是 1/4，从它往回数序号为的子集的权是，如图9.5.6所示。

图 9.5.6 指数平均中各个子集的权

指数平均常用于非平稳过程的分析。因为采用这种平均方式，即可考察“最新”测量信号的基本特征，又可通过与“旧有”测量值的平均（频域或时域）来减小测量的偏差或提高信噪比。

有关的平均技术还有许多种，如峰值保持平均技术，无重叠平均技术，重叠平均技术等，它们各有其特点和用途，如何选择平均技术是振动测量中的一个重要手段，在实际测量中要依据所选用的数字信号分析仪功能，选用相适应的平均技术，以提高振动测量的结果。

§9.6 随机振动的基本概念和信号分析

随机振动是一种非确定性振动,存在着一定的统计规律。随机振动响应是由随机激励所引起的，像飞机飞行中所遇到的阵风压力，飞机发动机噪声，海浪对结构物的冲击等，都属于随机激励。

平稳随机振动是指其统计特性不随时间而变化的振动情况。一个平稳随机振动，如果采取不同的样本函数计算得到的时间平均统计特性参数都对应相等，并且等于该随机振动系统由整体平均所求得的统计参数，即样本函数包含了整体系统各种状态所经历过的特征 ，称之为各态历经的随机振动。

在随机振动研究中，一般假定所研究的是平稳的各态历经的随机振动。

随机振动过程是时间的函数。一个随机振动过程是随机振动可能产生的全部样本函数的集合。理论上，需要用无限长时间的记录来描述一个随机振动的过程。但实际中只能得到一个有限长时间的记录或数据。这个有限长时间的记录中包含有整个随机振动过程中的全部统计信息，称为“样本”或“样本函数”。

在随机振动研究中，首先必须确定该随机振动为平稳的各态历经的随机振动，选取有一定时间长度的记录作为样本函数，并以其统计特性去表征整个随机振动过程的统计特性。表9.6.1列出了确定性信号和随机振动信号在幅域、时域和频域的统计特性。

表 9.6.1 确定性信号和随机振动信号的统计特性

§9.6.1 随机振动统计特性

1.数字特征

随机过程的幅域统计特性中，均值、均方值和方差属于随机过程的数字特征。

均值（mean Value）是遍历随机过程任一个样本的瞬时值的长期数学平均，又称为数学期望（expectation），即

式中代表数学平均值，word/media/image170_1.png为数学期望的符合。对于离散系统，均值或数学期望为

均方值（mean square value）的定义为

方差（variance）的定义为

word/media/image173_1.png

由均值、均方值和方差的定义可以得到

也就是说，方差等于均方值与均值的平方之差。

标准差（standard deviation）为方差的平方根，即

2.概率分布函数和概率密度函数

对于一元随机过程，除上述数字特征外，概率分布函数（probability distribution function）和概率密度函数（probability density function）是描述随机过程的重要统计特性函数。

图 9.6.1 随机时间函数记录及其概率分布示意图

设随机时间函数的记录曲线如图9.6.1所示。在这个记录中，瞬时值小于某一指定值的概率是多少？

为回答这一问题，我们在距轴处画一条水平线，依次将记录曲线处于该水平线下方的时间间隔记作，，…，那么，瞬时值小于的概率将是

显然有

按照式(9.6.7)，可以得到概率分布函数的分布曲线，如图9.6.2(a)所示。

与概率分布函数相对应，我们还可以定义概率密度函数，即

式中是瞬时值落入和之间的概率值。该值被除，其商的含义自然是密度，因此称为概率密度，如图9.6.2(b)所示。

图9.6.2画出了与的对应关系，是在点的斜率。根据式(9.6.8)，则有

图 9.6.2 概率分布函数和概率密度函数

以一元随机过程的统计特性为基础，发展出二元或多元随机过程的联合统计特性，此时得到的是联合概率分布函数和联合概率密度函数，对于二元随机过程，还定义了两个新的数字特征，协方差和相关系数，以表征两个随机过程间的相关程度。本书不做具体介绍。

3.高斯分布和瑞利分布

高斯(Gaussian)分布（又叫正态分布）和瑞利分布是两种最常见的分布规律。

高斯分布是一种最为常见的重要分布，按照概率论的中心极限定理，若一个随机现象是由众多个随机因素所引起的，而每个因素在总的变化里不起显著的作用，就可以推断，描述这个随机现象的随机变量近似地服从高斯分布。

高斯分布表现为其是一种钟形曲线，如图9.6.2(b)所示，并且对其均值对称。图9.6.3所示则为均值为0的高斯分布的概率密度曲线。它可用数学表达式表示为

图 9.6.3 标准高斯分布() 图 9.6.4 瑞利分布

当随机变量为正值时，常趋向于瑞利分布。这意味着如果记录的随机振动的振幅绝对值为时，这种随机过程将是瑞利分布。瑞利分布的概率密度函数由下式定义，即

瑞利分布的概率密度曲线如图9.6.4所示。

注意，无论何种分布，曲线下的面积等于l。

在工程应用中，统计特性有重要意义。测量了一个结构的随机振动情况，可以在一定程度上估计这一结构的工作状态。均值可以反映结构承受静载的状态，均方值则与运动能量有关，关系到结构的疲劳。若已知振动信号的分布为正态分布，则振动幅值超过3的概率为0.3％，若太大，应警惕在振动过程中的突然破坏。

§9.6.2 相关分析

随机过程的相关分析包括自相关函数和互相关函数，都属于随机过程的时域统计特性。

相关的原始定义为：若有两个时间函数记录和，如图9.6.5所示，则它们之间的相关值为

图 9.6.5 与之间的相关 图 9.6.6 与之间的相关

式中表示word/media/image205_1.png和word/media/image206_1.png的乘积的平均值。根据这一定义，若word/media/image205_1.png和word/media/image206_1.png相似或相等，其相关值将最大；对于不相似的两个记录，其乘积必然是一部分为正，一部分为负，其平均值必然因为正负相抵而变小，其相关因而也会降低。

1.自相关函数

若word/media/image205_1.png和word/media/image206_1.png相等，但两者有一时移，即，，如图9.6.6所示，由此可得到的自相关函数

式中，表示求word/media/image213_1.png和的数学期望；表示求word/media/image213_1.png和的乘积的数学平均值。

自相关函数word/media/image215_1.png是word/media/image216_1.png的函数。当时，是完全相关；而当word/media/image216_1.png增加时，相关将下降。图9.6.7所示为一典型的自相关函数曲线。如果自相关曲线不随word/media/image216_1.png的增大而衰减并趋近于常数值，则表明信号中混有周期信号。

图 9.6.7 典型的自相关函数曲线（） 图 9.6.8 典型的互相关函数曲线（，）

2.互相关函数

互相关或称交叉相关，其出发点在于研究两个随机过程之间的依赖关系，涉及两个变量。设两随机时间函数和，其互相关函数为

可见，是不等于的。

典型的互相关函数曲线如图9.6.8所示。此处我们假定和的均值均为0。

若两个周期信号不同频，则其相关函数为0。利用互相关函数的这一性质，可以用来提取噪声背景下的周期信号。用正弦信号与在背景噪声条件下的记录信号做相关处理时，由于正弦信号和噪声之间几乎是不相关的，因而在处理中噪声信号将被抑制，与之同频的周期量将被发现。用不同频率的正弦信号与随机样本记录做相关处理，即可发现其中的同频周期信号。在线性系统的响应分析中，只要将激振信号与响应信号进行互相关处理，不必进行时移（），就可得到由激励引起的响应幅值和相位差而消除了噪声干扰的影响。逐步改变激振频率，就可用这一方法得到频响函数。

§9.6.3 功率谱密度分析

如果说相关分析是在时域中研究随机信号的统计特性的一种方法，那么它在频域的对应分析方法则是功率谱密度分析。

我们知道，对于随机振动信号，傅氏变换的前提条件

是不能满足的，因而一般不可能通过求得随机信号的傅氏变换而了解随机过程的频率组成。

这一问题可以通过对随机过程样本函数的自相关函数进行傅氏变换来解决。自相关函数是随机过程的一种数学变换，不会丢失过程的频域信息，而且自相关函数的傅氏变换正是自功率谱密度函数。

同样，随机过程样本函数的互相关函数和互功率谱密度函数也是一组傅氏变换对。

关于自功率谱密度函数和互功率谱密度函数的表达式以及相应的傅氏变换对，本书不做具体介绍，感兴趣的读者可参考相关专业资料。

习题

9-1 数字式频谱分析仪其依据的基本原理是什么？

9-2 从连续函数推导离散傅里叶变换公式。

9-3 简述FFT的计算方法，取N=4说明

9-4 应用窗函数和采样定理的作用是什么？

9-5 简述常用窗函数的栅栏效应。

振动信号的处理和分析22页