2020版高考数学(文)刷题小卷练：18-19-

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刷题小卷练18 平面向量的数量积及应用

小题基础练⑱

一、选择题
1．[2019·遂宁模拟]给出下列命题：
→①→AB＋→BA＝0；②0·AB＝0；③若a与b共线，则a·b＝|a||b|；④(a·b·c＝a·(b·c．
其中正确命题的个数是( A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 解析：①∵→AB＝－→BA，∴→AB＋→BA＝－→BA＋→BA＝0，∴该命题正确；②∵数量积是一个实数，不是向量，∴该命题错误；③∵a与b共线，当方向相反时，a·b＝－|a||b|，∴该命题错误；④当c与a不共线，且a·b≠0，b·c≠0时，(a·b·c≠a·(b·c，∴该命题错误．故正确命题的个数为1.故选A. 2．已知向量a＝(1,3，b＝(2，－5．若向量c满足c⊥(a＋b，且b∥(a－c，则c＝(

11331133－，A.， B. 81681611113333C.，－ D.－，－ 816816答案：A 解析：设出c的坐标，利用平面向量的垂直关系和平行关系得出两个方程，联立两个方程求解即可．
设c＝(x，y，由c⊥(a＋b，得c·(a＋b＝(x，y·(3，－2＝3x－2y＝0， ①
又b＝(2，－5，a－c＝(1－x,3－y，且b∥(a－c，所以2(3－y－(－5×(1－x＝0. ②
11331133，联立①②，解得x＝，y＝，所以c＝8.故选A. 168163．[2018·全国卷Ⅱ]已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b＝(

A．4 B．3 1


C．2 D．0 答案：B 22解析：a·(2a－b＝2a－a·b＝2|a|－a·b. 2∵ |a|＝1，a·b＝－1，∴ 原式＝2×1＋1＝3. 故选B. 4．[2019·安徽马鞍山模拟]已知平面向量a＝(2,1，b＝(m，－2，且a⊥b，则|a－b|＝(

A.5 B．5 C.10 D．10 答案：C 解析：∵a⊥b，∴a·b＝(2,1·(m，－2＝2m－2＝0，∴m＝1，∴b＝(1，－2，∴a－b＝(1,3，则|a－b|＝1＋9＝10，故选C. 5．[2019·长郡中学选考]在菱形ABCD中，A(－1,2，C(2,1，则→BA·→AC＝(

A．5 B．－5 10C．－10 D．－
2答案：B 解析：设菱形ABCD的对角线交于点M，则→BA＝→BM＋→MA，→BM⊥1→→→AC，MA＝－AC，又→AC＝(3，－1，所以→BA·→AC＝(→BM＋→MA·→AC＝21→2－AC＝－5. 26．[2019·沈阳质量检测(一]已知平面向量a＝(－2，x，b＝(1，3，且(a－b⊥b，则实数x的值为(

A．－23 B．23 C．43 D．63 答案：B 解析：由(a－b⊥b，得(a－b·b＝0，即(－3，x－3·(1，3＝－3＋3x－3＝0，即3x＝6，解得x＝23，故选B. 7．已知→AB＝(2,1，点C(－1,0，D(4,5，则向量→AB在→CD方向上的投影为(

2


32A．－ B．－35 232C. D．35 2答案：C 解析：因为点C(－1,0，D(4,5，所以→CD＝(5,5，又→AB＝(2,1，所以向量→AB在→CD方向上的投影为|→AB|cos〈→AB，→CD〉＝→AB·→CD1532＝＝. 2|→CD|528．[2019·泰安质检]已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与2a－b夹角的余弦值为(

77A. B. 78757C. D. 1414答案：D 222解析：不妨设|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则|a＋b|＝a＋b＋122a·b＝2＋2a·b＝1，所以a·b＝－，所以a·(2a－b＝2a25222－a·b＝，又|a|＝1，|2a－b|＝2a－b＝4a－4a·b＋b252a·2a－b＝7，所以a与2a－b夹角的余弦值为＝＝|a|·|2a－b|1×757. 14二、非选择题 9．[2019·河南南阳一中考试]已知向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|2a＋b|＝23，则|b|＝________. 答案：4 22解析：∵|2a＋b|＝23，|a|＝1，∴(2a＋b＝4a＋4a·b222＋b＝4＋4×1×|b|×cos120°＋b＝4－2|b|＋b＝12，整理得b2－2|b|－8＝0，解得|b|＝4或|b|＝－2(舍去，∴|b|＝4. 3


10．[2019·长春质量监测(一]已知平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，且|a|＝|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝________. 答案：2 解析：由平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，可2π2222得夹角均为，所以|a＋b＋c|＝a＋b＋c＋2a·b＋2b·c＋32π2π2a·c＝1＋1＋9＋2×1×1×cos＋2×1×3×cos＋2×1332π×3×cos＝4，所以|a＋b＋c|＝2. 311．[2019·益阳市、湘潭市调研]已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝(1，3，记向量a，b的夹角为θ，则tanθ＝________. 答案：－15 22解析：∵|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝(1，3，∴(a＋b＝|a|12＋|b|＋2a·b＝5＋2a·b＝1＋3，∴a·b＝－，∴cosθ＝212a·b115sinθ＝－，∴sinθ＝1－－＝，∴tanθ＝4|a|·|b|44cosθ＝－15. 12．[2019·湖北四地七校联考]已知平面向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2.若平面向量m满足m·a＝m·b＝1，则|m|＝________. 21答案：
3解析：如图，设→OA＝a，→OB＝b，A(1,0，B(－1，3．设m＝(x，y，由m·a＝m·b＝1，
4


x＝1，得－x＋3y＝1，12
x＝1，解得23y＝.321. 3


∴|m|＝
232＋3＝
课时增分练⑱

一、选择题
1．已知|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝(

33A. B．± 5549C．± D．±
525答案：B 解析：根据a＋λb与a－λb垂直，可得(a＋λb·(a－λ22|a|392222b＝0，整理可得a－λ·b＝0，即λ＝2＝2＝，所以λ|b|5253＝±，选B. 52．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边5


形，→AB＝(1，－2，→AD＝(2,1，则→AD·→AC＝(

A．5 B．4 C．3 D．2 答案：A 解析：因为四边形ABCD为平行四边形，所以→AC＝→AB＋→AD＝(1，－2＋(2,1＝(3，－1，所以→AD·→AC＝2×3＋(－1×1＝5，故选A. 3．[2019·安徽蚌埠模拟]已知非零向量m，n满足3|m|＝2|n|，〈m，n〉＝60°.若n⊥(tm＋n，则实数t的值为(

A．3 B．－3 C．2 D．－2 答案：B 解析：∵非零向量m，n满足3|m|＝2|n|，〈m，n〉＝60°，
1∴cos〈m，n〉＝.又∵n⊥(tm＋n，∴n·(tm＋n＝tm·n21t2222＋n＝t|m||n|×＋|n|＝|n|＋|n|＝0，解得t＝－3.故选B. 234．[2019·辽宁葫芦岛第六高级中学模拟]已知在△ABC中，G为重心，记a＝→AB，b＝→AC，则→CG＝(

1212A.a－b B.a＋b 33332121C.a－b D.a＋b 3333答案：A 1→→11→解析：∵G为△ABC的重心，∴AG＝(AB＋AC＝a＋b，∴3331112→→→CG＝CA＋AG＝－b＋a＋b＝a－b.故选A. 33335．[2019·河南天一大联考测试]已知在等边三角形ABC中，2→→→BC＝3，BN＝2BM＝BC，则→AM·→AN＝( 338A．4 B.
96


13C．5 D.
2答案：D 1→→1→→→1→→→→→解析：根据题意，AM·AN＝AB＋BCAC＋CB＝AB·AC＋AB·CB3331→→1→2π1→→→1→29→→＋AC·BC－BC＝|AB|·|AC|cos＋BC·(AC－AB－BC＝＋3933922→213BC＝.故选D. 926．[2019·广东五校协作体模拟]已知向量a＝(λ，1，b＝(λ＋2,1．若|a＋b|＝|a－b|，则实数λ的值为(

A．－1 B．2 C．1 D．－2 答案：A 解析：根据题意，对于向量a，b，若|a＋b|＝|a－b|，则222222|a＋b|＝|a－b|，变形可得a＋2a·b＋b＝a－2a·b＋b，即a·b＝0.又由向量a＝(λ，1，b＝(λ＋2,1，得λ(λ＋2＋1＝0，解得λ＝－1.故选A. 7．[2019·上饶模拟]已知向量→OA，→OB的夹角为60°，|→OA|＝|→OB|＝2，若→OC＝2→OA＋→OB，则△ABC为( A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案：C 解析：根据题意，由→OC＝2→OA＋→OB，可得→OC－→OB＝→BC＝2→OA，则|→BC|＝2|→OA|＝4，由→AB＝→OB－→OA，可得|→AB|2＝|→OB－→OA|2＝→OB2－2→OA·→OB＋OA2＝4，故|→AB|＝2，由→AC＝→OC－→OA＝(2→OA＋→OB－→OA＝→OA＋→OB，得|→AC|2＝|→OA＋→OB|2＝→OA2＋2→OA·→OB＋→OB2＝12，可得|→AC|＝23.在△ABC中，由|→BC|＝4，|→AB|＝2，|→AC|＝23，可得|→BC|2＝|→AB|2＋|→AC|2，则△ABC为直角三角形．故选C. 8．[2019·福州四校联考]已知向量a，b为单位向量，且a·b1＝－，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为(

27


1A．1 B.
233C. D. 42答案：D 解析：解法一 ∵向量c与a＋b共线，∴可设c＝t(a＋b(t222∈R，∴a＋c＝(t＋1a＋tb，∴(a＋c＝(t＋1a＋2t(t＋1221a·b＋tb.∵向量a，b为单位向量，且a·b＝－，∴(a＋2332222c＝(t＋1－t(t＋1＋t＝t＋t＋1≥，∴|a＋c|≥，∴423|a＋c|的最小值为，故选D. 21解法二 ∵向量a，b为单位向量，且a·b＝－，∴向量a，2b的夹角为120°.在平面直角坐标系中，不妨设向量a＝(1,0，1133b＝－，，则a＋b＝，.∵向量c与a＋b共线，∴可222213t3设c＝t，(t∈R，∴a＋c＝1＋，t，∴|a＋c|＝222223t2t1＋＋4＝233t＋t＋1≥，∴|a＋c|的最小值为，故222选D. 二、非选择题
9．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，D为BC的中点，则→AB·→AD＝________. 8



答案：6 解析：解法一 由题意知，AC＝BC＝2，AB＝22，∴→AB·→AD→→＝→AB·(→AC＋→CD＝→AB·AC＋→AB·CD＝|→AB|·|→AC|cos45°＋|→AB|·|→CD22|＝cos45°＝22×2×＋22×1×＝6. 22解法二 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得A(0,2，B(－2,0，D(－1,0，∴→AB＝(－2,0－(0,2＝(－2，－2，→AD＝(－1,0－(0,2＝(－1，－2，∴→AB·→AD＝－2×(－1＋(－2×(－2＝6.
10．[2019·安徽皖西高中教学联盟模拟]平面向量a满足(a＋b·b＝7，|a|＝3，|b|＝2，则向量a与b的夹角为________．
9


π答案：
62解析：∵(a＋b·b＝7，∴a·b＋b＝7，∴a·b＝7－4＝3，
a·b33∴cos〈a，b〉＝＝＝，〈a，b〉∈(0，π
|a|·|b|232π∴〈a，b〉＝. 611．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量AAAAm＝sin，cos，n＝cos，－cos，且22222m·n＋|m|＝2→→，AB·AC＝1. 2(1求角A的大小； (2求△ABC的面积S. 解析：(1因为2m·n＝2sincos－2cos＝sinA－(cosA222π＋1＝2sinA－－1，又|m|＝1，所以2m·n＋|m|＝24ππ2π1sinA－＝，即sinA－＝.因为0<A<π，所以－<A42424π3πππ5π－<，所以A－＝，即A＝. 444612ππ5π＋(2cosA＝cos＝cos 4126ππππ6－2＝coscos－sinsin＝，
64644因为→AB·→AC＝bccosA＝1，所以bc＝6＋2. ππ5π6＋2又sinA＝sin＝sin＋＝，
41246116＋2所以△ABC的面积S＝bcsinA＝(6＋2×＝2242＋3. 2
10
AA2A


刷题小卷练19 数列的概念及表示

小题基础练⑲

一、选择题
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( A．－1，－2，－3，－4，…
111B．－1，－，－，－，…
234C．－1，－2，－4，－8，… D．1，2，3，4，…，10 答案：B 解析：A，B，C中的数列都是无穷数列，但是A，C中的数列是递减数列，故选B. 2．[2019·湖南衡阳二十六中模拟]在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，…中，x的值为(

A．11 B．12 C．13 D．14 答案：C 解析：观察所给数列的项，发现从第3项起，每一项都是它的前两项的和，所以x＝5＋8＝13，故选C. 3．[2019·河南郑州模拟]已知数列1，3，5，7，…，2n－1，则35是这个数列的( A．第20项 B．第21项 C．第22项 D．第23项 答案：D 解析：由2n－1＝35＝45，得2n－1＝45，即2n＝46，解得n＝23.故选D. 4．[2019·湖南三市联考]设数列{an}的前n项和为Sn，且a14n－1Sn＝，若a4＝32，则a1的值为(

311


11A. B. 2411C. D. 816答案：A 解析：∵Sn＝a14n－13255a163a1，a4＝32，∴S4－S3＝－＝33132，∴a1＝，选A. 25．[必修5P31例3改编]在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋≥2，则a4＝(

35A. B. 2378C. D. 45答案：B 35解析：由题意知，a1＝1，a2＝2，a3＝，a4＝. 236．[2019·内蒙古阿拉善左旗月考]已知数列{an}中，a1＝1，1an＋1＝－，则a2 018等于(

an＋1A．1 B．－1 1C．－ D．－2 2答案：C 111解析：∵a1＝1，an＋1＝－，∴a2＝－＝－，a3＝an＋1a1＋1211－＝－2，a4＝－＝1.由上述可知该数列为周期数列，a2＋1a3＋11其周期为3.又∵2 018＝3×672＋2，∴a2 018＝a2＝－.故选C. 25797．[2019·石家庄模拟]数列{an}：1，－，，－，…81524的一个通项公式是(

12
1an－1(n

2n－1*A．an＝(－1(n∈N
2n＋nn＋12n＋1*B．an＝(－1(n∈N
n3＋3nn＋12n－1*C．an＝(－1(n∈N
n2＋2nn＋12n＋1*D．an＝(－1(n∈N
n2＋2n答案：D n＋1357解析：(1观察数列{an}各项，可写成：，－，，1×32×43×592n＋1n＋1*－…所以通项公式可表示为(－1·(n∈N． 4×6nn＋2a2n－28．[2019·宝鸡模拟]设数列{an}满足a1＝a，an＋1＝(nan＋1*∈N，若数列{an}是常数列，则a＝(

A．－2 B．－1 nC．0 D．(－1 答案：A a2a2－21－2解析：因为数列{an}是常数列，所以a＝a2＝＝，a1＋1a＋12即a(a＋1＝a－2，解得a＝－2，故选A. 二、非选择题
13129．已知数列{an}中，an∈0，，an＋1＝＋an，则数列{an}282是________数列(填“递增”或“递减”．
答案：递增
1231112解析：∵an＋1－an＝an－an＋＝(an－1－，又0<an<，282821111212∴－1<an－1<－，∴(an－1>，即(an－1－>0，∴an＋1－22828an>0，即an＋1>an对一切正整数n都成立，故数列{an}是递增数列．
3579m＋n10．已知数列，，，，，…，根据前3246m－n10项给出的规律，实数对(m，n为________．
13


193，答案： 22解析：由数列的前3m－n＝8，项的规律可知m＋n＝11，
解得3n＝2，19m＝，2
193，故实数对(m，n为2. 211．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，则a10＝________. 答案：90 解析：由an＋1＝an＋2n可得an＋1－an＝2n，所以a2－a1＝2，a3－a2＝4，a4－a3＝6，……，an－an－1＝2(n－1．将上述式子左右两边分别相加得an－a1＝2＋4＋6＋…＋2(n－1＝n(n－1，又a1＝0，所以an＝n(n－1．故a10＝90. 12．[2019·山东枣庄第三中学质检]已知数列{an}的前n项2和Sn＝5n＋2n＋1，则数列的通项公式为an＝________. 8，n＝1，答案：10n－3，n≥2

2解析：当n＝1时，a1＝8；当n≥2时，Sn－1＝5(n－1＋2(n－1＋1.所以an＝Sn－Sn－1＝10n－3，此式对n＝1不成立，故an8，n＝1，＝10n－3，n≥2.


14



课时增分练⑲

一、选择题
1111．[2019·福建闽侯模拟]若数列的前4项分别是，－，，2341－，则此数列的一个通项公式为(
5n＋1n－1－1A. B.
n＋1n＋1nn－1－1－1C. D.
nn答案：A 1111解析：由数列的前4项分别是，－，，－，知奇数项为23451正数，偶数项为负数，从而第n项的绝对值等于，故数列的n＋1n＋1－1一个通项公式为an＝.故选A. n＋12．[2019·山东济宁模拟]已知数列{an}满足an＝n－2a，n<4，6－an－a，n≥4，
若对任意的n∈N都有an<an＋1成立，*则实数a的取值范围为(

A．(1,4 B．(2,5 C．(1,6 D．(4,6 答案：A *解析：因为对任意的n∈N都有an<an＋1成立，所以数列是递1<a，增数列，因此6－a>0，a<6－a×4－a，
解得1<a<4.故选A. *3．[2019·黑龙江牡丹月考]数列{an}中，对任意m，n∈N，1恒有am＋n＝am＋an，若a1＝，则a7等于(

815


11A.7 B.7 2477C. D. 48答案：D 11解析：因为am＋n＝am＋an，a1＝，所以a2＝2a1＝，a4＝2a284137＝，a3＝a1＋a2＝，a7＝a3＋a4＝.故选D. 28824．[2019·全国名校大联考]若数列{an}满足a1＝2，an＋1＋*a2n＝2an＋1·an(n∈N，则数列{an}的前32项和为(

A．64 B．32 C．16 D．128 答案：A 22*2解析：由an＋1＋an＝2an＋1·an(n∈N，得(an＋1－an＝0，an＋∴an＝2，∴数列{an}的前32项和S32＝2×32＝64.1＝an.∵a1＝2，故选A. 15．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝－，记Sn为数列an＋1{an}的前n项和，则S2 018＝(

2 0152 015A. B．－
222 0172 017C. D．－
22答案：B 111解析：∵a1＝1，a2＝－＝－，a3＝－＝－2，a41＋121－＋121＝－＝1，…，∴数列{an}的周期为3，∴S2 018＝S2 016＋a2 017－2＋1112 015＋a2 018＝672×－－2＋1＋1＋－＝－. 222*6．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an(n∈N，则数列{an}的通项公式是an＝(

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n＋1n－1A．n B.n C．n D．2n－1 答案：A an＋1anan解析：由an＝n(an＋1－an，得＝，所以数列为常数n＋1nnanan－1a1列，所以＝＝…＝＝1，所以an＝n，故选A. nn－1127．[2019·咸阳模拟]我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
1111(1构造数列1，，，，…，； ①
234n(2将数列①的各项乘以，得到一个新数列a1，a2，a3，a4，…，2an.则a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1an＝(

n2n－12A. B. 44nn－1nn＋1C. D.
44答案：C nnn1n解析：依题意可得新数列为，，，…，×，所以a1a2246n2n2111n2＋a2a3＋…＋an－1an＝＋＋…＋＝41×22×3n－1n4n2n－1nn－1111111－＋－＋…＋－.故选C. ＝4×n＝223n－1n42n8．已知数列{an}的通项公式为an＝n3，则数列{an}中的最大项为(

82A. B. 9364125C. D. 81243答案：A 17
n

解析：解法一
2n＋12n2－n2nan＋1－an＝(n＋1－n＝·， 3333当n<2时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n>2时，an＋1－an<0，即an＋1<an. 所以a1<a2＝a3，a3>a4>a5>…>an， 所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且故选A. 2n＋13228a2＝a3＝2×3＝9.an＋1解法二
＝ann＋12nn312＝1＋，
n3an＋1an＋1an＋1令>1，解得n<2；令＝1，解得n＝2；令<1，解得ananann>2.又an>0，
故a1<a2＝a3，a3>a4>a5>…>an，
所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且228a2＝a3＝2×3＝9.故选A. 二、非选择题
9．[2019·广西南宁联考]已知数列{an}是递减数列，且对2任意的正整数n，an＝－n＋λn恒成立，则实数λ的取值范围为________．
答案：(－∞，3 *解析：∵数列{an}是递减数列，∴an＋1<an(n∈N．∵an＝－n2＋λn对任意的正整数n恒成立，即－(n＋12＋λ(n＋1<－n2＋λn，∴λ<2n＋1对于n∈N*恒成立．而2n＋1在n＝1时取得最小值3，∴λ<3，故答案为(－∞，3．
110．[2019·河南四校联考]已知数列{an}满足a1＝，a1＋a222＋…＋an＝n·an，则数列{an}的通项公式是________．
1*答案：an＝(n∈N
nn＋122解析：由题意知Sn＝n·an，则当n≥2时，Sn－1＝(n－1·an18


－1，两式相减得Sn－Sn－1＝n·an－(n－1·an－1，即an＝n·an222－(n－1·an－1，整理得(n－1·an＝(n－1·an－1.∵n≥2，∴ann－12n－1anan－1a4a3a2n－1＝＝，∴××…×××＝×an－1n2－1n＋1an－1an－2a3a2a1n＋1n－2321an21×…×××，即＝(n≥2，∴an＝n543a1nn＋1nn＋111*(n≥2．∵a1＝满足上式，故an＝(n∈N．
2nn＋111．已知下列数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式．
2n(1Sn＝2n－3n；(2Sn＝3＋b. 解析：(1a1＝S1＝2－3＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
22＝(2n－3n－[2(n－1－3(n－1] ＝4n－5，
由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5. (2a1＝S1＝3＋b
nn－1n－1当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3＋b－(3＋b＝2·3. 当b＝－1时，a1适合此等式． 当b≠－1时，a1不适合此等式．
n－1∴当b＝－1时，an＝2·3；
222当b≠－1


3＋b，n＝1，时，an＝n－12·3，n≥2.

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2020版高考数学(文)刷题小卷练：18-19-

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