【2019最新】精选高考数学一轮复习第11章算法初步复数推理与证明第3讲合情推理与演绎推理学案

板块一　知识梳理·自主学习

[必备知识]

考点1　合情推理

考点2　演绎推理

1．定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．

2．特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．

3．模式：“三段论”是演绎推理的一般模式：

[必会结论]

1．合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．

2．合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理．

[考点自测]

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(　　)

(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(　　)

(3)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(　　)

(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

答案　A

3．[课本改编]下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是________．

答案　1d6445cdd4cf896a128a61297cc74a90.png

解析　由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为1＋2，第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4，…，则第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n＝.

4．[课本改编]在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．

答案　1∶8

解析　因为两个正三角形是相似的三角形，所以它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方．所以它们的体积比为1∶8.

5．[2015·陕西高考]观察下列等式

1－＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png

1－＋－＝＋70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png

1－＋－＋－＝＋＋fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png

…

据此规律，第n个等式可为________．

答案　1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋25e41a8ab3fd9a91358a97d2d16c6fdd.png

解析　观察所给等式的左右可以归纳出1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.

6．[2018·东北三省模拟]在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀”；乙说：“我得了优秀”；甲说：“丙说的是真话”．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是________．

答案　丙

解析　分析题意只有一人说假话可知，甲与丙必定说的都是真话，故说假话的只有乙，即乙没有得优秀，甲也没有得优秀，得优秀的是丙．

板块二　典例探究·考向突破

考向　归纳推理

命题角度1　数字的归纳

例　1　[2018·浙江模拟]“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．如图是杨辉三角数阵，记an为图中第n行各个数之和，则a5＋a11的值为(　　)

A．528 B．1020 C．1038 D．1040

答案　D

解析　第一行数字之和为a1＝1＝21－1，

第二行数字之和为a2＝2＝22－1，

第三行数字之和为a3＝4＝23－1，

第四行数字之和为a4＝8＝24－1，

……

第n行数字之和为an＝2n－1，

∴a5＋an＝24＋210＝1040.故选D.

命题角度2　式子的归纳

例　2　设函数f(x)＝(x>0)，观察：

f1(x)＝f(x)＝，

f2(x)＝f[f1(x)]＝，

f3(x)＝f[f2(x)]＝，

f4(x)＝f[f3(x)]＝，

……

根据以上事实，由归纳推理可得：

当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f[fn－1(x)]＝________.

答案　fd86b2d399c1ee064ef3334e1c642bca.png

解析　根据题意知，各式中分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…，可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n－1，故fn(x)＝f[fn－1(x)]＝.

命题角度3　图形的归纳

例　3　如图，在平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)处：点(1,0)处标b1，点(1，－1)处标b2，点(0，－1)处标b3，点(－1，－1)处标b4，点(－1,0)处标b5，点(－1,1)处标b6，点(0,1)处标b7，…，以此类推，则b963处的格点的坐标为________．

答案　(16,13)

解析　观察已知点(1,0)处标b1，即b1×1，点(2,1)处标b9，即b3×3，点(3,2)处标b25，即b5×5，…，由此推断点(n，n－1)处标b(2n－1)×(2n－1)，因为961＝31×31时，n＝16，故b961处的格点的坐标为(16,15)，从而b963处的格点的坐标为(16,13)．

触类旁通

归纳推理问题的常见类型及解题策略

(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．

(2)与式子有关的归纳推理

①与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．

②与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．

(3)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．

【变式训练1】　[2018·泉州模拟]已知如下等式：2＋4＝6；8＋10＋12＝14＋16；18＋20＋22＋24＝26＋28＋30；…以此类推，则2020会出现在第________个等式中(　　)

A．30 B．31 C．32 D．33

答案　B

解析　①2＋4＝6；

②8＋10＋12＝14＋16；

③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30，…

其规律为：各等式首项分别为2×1,2(1＋3)，2(1＋3＋5)，…，

所以第n个等式的首项为2[1＋3＋…＋(2n－1)]＝2×＝2n2，

当n＝31时，等式的首项为2×312＝1922，

当n＝32时，等式的首项为2×322＝2048，

所以2020在第31个等式中．故选B.

考向　类比推理

例　4　[2018·抚顺模拟]若数列{an}是等差数列，则数列{bn}也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为(　　)

A．dn＝ B．dn＝786e277aa72de26a9bee4633c539daf9.png

C．dn＝ D．dn＝bfbdcdcbd6c648acc399a53c31b1f46e.png

答案　D

解析　若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，所以bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c·q) ，所以dn＝＝c1·q) ，即{dn}为等比数列．故选D.

触类旁通

类比推理的分类

类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法．

(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；

(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；

(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．

【变式训练2】　如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾股定理c2＝a2＋b2.空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，截面面积为S，类比平面的结论有________．

答案　S2＝S＋S＋S12a75271193a3e96a9d80493bb781cf0.png

解析　三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出猜想：S2＝S＋S＋S.

考向　演绎推理

例　5　[2018·山东调研]数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．证明：

(1)数列是等比数列；

(2)Sn＋1＝4an.

证明　(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，

∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.

∴＝2·，(小前提)

故是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)

(大前提是等比数列的定义，这里省略了)

(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，

∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1

＝4an(n≥2)，(小前提)

又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)

∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)

(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)

触类旁通

演绎推理的结构特点

(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．

(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提．一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．

【变式训练3】　某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是(　　)

A．今天是周六 B．今天是周四

C．A车周三限行 D．C车周五限行

答案　B

解析　因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E车明天可以上路，E车周四限行，所以今天不是周三；因为B车昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因为A，C两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四，选B.

核心规律

1.合情推理的过程概括为

a56a76e9120b1fb6b592d96e8e053184.png―→―→―→1dda19d53fc38cfa23a28d45bfcfcecb.png

2.演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．

满分策略

1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．

2.演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．

3.合情推理中运用猜想不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.

板块三　启智培优·破译高考

创新交汇系列9——演绎推理中的创新问题

[2015·福建高考]一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N*)，其中xk(k＝1,2，…，n)称为第k位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．

已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：

其中运算⊕定义为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.

现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于________．

解题视点　求解此类问题的关键是读懂新定义，在领会新定义的基础上，明晰新定义的内涵和外延，将其转化并运用到新情境中，进而判断参数k的值．

解析　因为x4⊕x5⊕x6⊕x7＝1⊕1⊕0⊕1＝0⊕0⊕1＝0⊕1＝1≠0，所以二元码1101101的前3位码元都是对的；因为x2⊕x3⊕x6⊕x7＝1⊕0⊕0⊕1＝1⊕0⊕1＝1⊕1＝0，所以二元码1101101的第6、7位码元也是对的；因为x1⊕x3⊕x5⊕x7＝1⊕0⊕1⊕1＝1⊕1⊕1＝0⊕1＝1≠0，所以二元码1101101的第5位码元是错误的，所以k＝5.

答案　5

答题启示　与演绎推理有关的新定义问题是高考命制创新型试题的一个热点，解决此类问题时，一定要读懂新定义的本质含义及符号语言，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当的转化，注意推理过程的严密性.

跟踪训练

在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中的△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.

(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是________；

(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝aN ＋bL＋c，其中a，b，c为常数，若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝________(用数值作答)．

答案　(1)3,1,6　(2)79

解析　(1)由定义知，四边形DEFG由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成，其内部格点有1个，边界上格点有6个，四边形DEFG的面积为3，所以S＝3，N＝1，L＝6.

(2)由待定系数法可得

0d384130900ec240d5d1454cb8ae8cc2.png⇒6d72f59f895b1ff72496322aaa5da354.png

当N＝71，L＝18时，S＝1×71＋×18－1＝79.

板块四　模拟演练·提能增分

[A级　基础达标]

1．(1)已知a是三角形一边的长，h是该边上的高，则三角形的面积是ah，如果把扇形的弧长l，半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为lr；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，则(1)(2)两个推理过程分别属于(　　)

A．类比推理、归纳推理 B．类比推理、演绎推理

C．归纳推理、类比推理 D．归纳推理、演绎推理

答案　A

解析　(1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理．故选A.

2．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是(　　)

A．27 B．28 C．29 D．30

答案　B

解析　观察归纳可知第n个三角形数为1＋2＋3＋4＋…＋n＝，

∴第七个三角形数为＝28.

3．[2018·太原模拟]观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)

A．121 B．123 C．231 D．211

答案　B

解析　令an＝an＋bn，则a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝7，…，得an＋2＝an＋an＋1，从而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123.

4．[2018·临沂期末]已知n≥2且n∈N*，对n2进行“分拆”：22→(1,3)，32→(1,3,5)，42→(1,3,5,7)，…，那么289的“分拆”所得的中位数是(　　)

A．29 B．21 C．19 D．17

答案　D

解析　自然数n2的分裂数中最大的数是2n－1.

289分裂的数中最大的数是2×17－1＝33，

∴289的“分拆”所得的数的中位数是＝17.故选D.

5．[2018·南昌模拟]已知13＋23＝2,13＋23＋33＝2,13＋23＋33＋43＝2，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3025，则n＝(　　)

A．8 B．9 C．10 D．11

答案　C

解析　∵13＋23＝2＝2，

13＋23＋33＝2＝2，

13＋23＋33＋43＝2＝2，

…

∴13＋23＋33＋…＋n3＝2＝，

∵13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3025，

∴＝3025，

∴n2(n＋1)2＝(2×55)2，

∴n(n＋1)＝110，

解得n＝10.

6．若等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，公差为.类似，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则等比数列{}的公比为(　　)

A. B．q2 C. D.248b4d48246a5343695fd04c72784044.png

答案　C

解析　由题设有，Tn＝b1·b2·b3·…·bn＝b1·b1q·b1q2·…·b1qn－1＝bq1＋2＋…＋(n－1)＝bq) .

∴ ＝b1q) ，∴等比数列{}的公比为，故选C.

7．[2018·南通模拟]将自然数0,1,2，…按照如下形式进行摆列：

根据以上规律判定，从2016到2018的箭头方向是(　　)

答案　A

解析　从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，0→1，箭头垂直指下，4→5，箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2016＝4×504，所以2016→2017也是箭头垂直指下，之后2017→2018的箭头是水平向右．故选A.

8．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放有纵横两种形式，如下表：

表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是，则5288用算筹可表示为________．

答案　

解析　根据题意知，5288用算筹表示，从左到右依次是横式的5，纵式的2，横式的8，纵式的8，即.

9．[2018·常州模拟]36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为________．

答案　465

解析　类比求36的所有正约数之和的方法，200的所有正约数之和可按如下方法求得：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)(1＋5＋52)＝465.

10．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤

f.若y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．

答案　6e72b362bf0748ae168330dfe4f785b4.png

解析　由题意知，凸函数满足

e8299f17c1eb59ee1ea5f639ecdbdf32.png≤f，又y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝3sin＝.

[B级　知能提升]

1．[2018·徐州模拟]观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为(　　)

A．76 B．80 C．86 D．92

答案　B

解析　由|x|＋|y|＝1的不同整数解的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x|＋|y|＝n的不同整数解的个数为4n，故|x|＋|y|＝20的不同整数解的个数为80.故选B.

2．[2018·中山模拟]古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：

他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是(　　)

A．289 B．1024 C．1225 D．1378

答案　C

解析　观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{an}，则a1＝1，

a2＝a1＋2，

a3＝a2＋3，

…

an＝an－1＋n.

∴a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)，∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝，

观察正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{bn}，则bn＝n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1225.

3．[2018·洛阳期末]设x>0，由不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，推广到x＋≥n＋1，则a＝(　　)

A．2n B．2n C．n2 D．nn

答案　D

解析　设x>0，由不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，推广到x＋≥n＋1，所以a＝nn，故选D.

4．在锐角三角形ABC中，求证：sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.

证明　∵△ABC为锐角三角形，

∴A＋B>，∴A>－B，

∵y＝sinx在上是增函数，

∴sinA>sin＝cosB，

同理可得sinB>cosC，sinC>cosA，

∴sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.

5．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋，那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．

解　如图，由射影定理得

AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，

AC2＝DC·BC，

故＋＝＋＝＝＝.

在四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AH⊥底面BCD，垂足为H.

则＝＋＋.

证明：连接BH并延长交CD于E，连接AE.

∵AB，AC，AD两两垂直，

∴AB⊥平面ACD，又∵AE⊂平面ACD，

∴AB⊥AE，在Rt△ABE中，

b63b189db8a2b594959b25d707841213.png＝＋①

又易证CD⊥AE，

故在Rt△ACD中，＝＋②

把②式代入①式，得＝＋＋.

2020高考数学一轮复习第11章算法初步复数推理与证明第3讲合情推理与演绎推理学案