机械能守恒典型习题

一、单个物体的机械能守恒

判断一个物体的机械能是否守恒有两种方法：（1）物体在运动过程中只有重力做功，物体的机械能守恒。

（2）物体在运动过程中不受媒质阻力和摩擦阻力，物体的机械能守恒。

所涉及到的题型有四类：（1）阻力不计的抛体类。（2）固定的光滑斜面类。（3）固定的光滑圆弧类。（4）悬点固定的摆动类。

（1）阻力不计的抛体类

包括竖直上抛；竖直下抛；斜上抛；斜下抛；平抛，只要物体在运动过程中所受的空气阻力不计。那么物体在运动过程中就只受重力作用，也只有重力做功，通过重力做功，实现重力势能与机械能之间的等量转换，因此物体的机械能守恒。

例：在高为h的空中以初速度v0抛也一物体，不计空气阻力，求物体落地时的速度大小？

分析：物体在运动过程中只受重力，也只有重力做功，因此物体的机械能守恒，选水平地面为零势面，则物体抛出时和着地时的机械能相等

得：

（2）固定的光滑斜面类

在固定光滑斜面上运动的物体，同时受到重力和支持力的作用，由于支持力和物体运动的方向始终垂直，对运动物体不做功，因此，只有重力做功，物体的机械能守恒。

例，以初速度v0 冲上倾角为光滑斜面，求物体在斜面上运动的距离是多少？

分析：物体在运动过程中受到重力和支持力的作用，但只有重力做功，因此物体的机械能守恒，选水平地面为零势面，则物体开始上滑时和到达最高时的机械能相等

得：

（3）固定的光滑圆弧类

在固定的光滑圆弧上运动的物体，只受到重力和支持力的作用，由于支持力始终沿圆弧的法线方向而和物体运动的速度方向垂直，对运动物体不做功，故只有重力做功，物体的机械能守恒。

例：固定的光滑圆弧竖直放置，半径为R，一体积不计的金属球在圆弧的最低点至少具有多大的速度才能作一个完整的圆周运动？

分析：物体在运动过程中受到重力和圆弧的压力，但只有重力做功，因此物体的机械能守恒，选物体运动的最低点为重力势能的零势面，则物体在最低和最高点时的机械能相等

要想使物体做一个完整的圆周运动，物体到达最高点时必须具有的最小速度为：

所以

（4）悬点固定的摆动类

和固定的光滑圆弧类一样，小球在绕固定的悬点摆动时，受到重力和拉力的作用。由于悬线的拉力自始至终都沿法线方向，和物体运动的速度方向垂直而对运动物体不做功。因此只有重力做功，物体的机械能守恒。

例：如图，小球的质量为m，悬线的长为L，把小球拉开使悬线和竖直方向的夹角为，然后从静止释放，求小球运动到最低点小球对悬线的拉力

分析：物体在运动过程中受到重力和悬线拉力的作用，悬线的拉力对物体不做功，所以只有重力做功，因此物体的机械能守恒，选物体运动的最低点为重力势能的零势面，则物体开始运动时和到达最低点时的机械能相等

得：由向心力的公式知：可知

作题方法：

一般选取物体运动的最低点作为重力势能的零势参考点，把物体运动开始时的机械能和物体运动结束时的机械能分别写出来，并使之相等。

注意点：在固定的光滑圆弧类和悬点定的摆动类两种题目中，常和向心力的公式结合使用。这在计算中是要特别注意的。

习题：

1、三个质量相同的小球悬挂在三根长度不等的细线上，分别把悬线拉至水平位置后轻轻释放小球，已知线长LaLbLc，则悬线摆至竖直位置时，细线中张力大小的关系是（ ）

A TcTbTa B TaTbTc C TbTcTa D Ta=Tb=Tc

2、一根长为l的轻质杆，下端固定一质量为m的小球，欲使它以上端o为转轴刚好能在竖直平面内作圆周运动（如图），球在最低点A的速度至少多大？如将杆换成长为L的细线，则又如何？

3、如图，一质量为m的木块以初速V0从A点滑上半径为R的光滑圆弧轨道，它通过最高点B时对轨道的压力FN为多少？

4、一质量m = 2千克的小球从光滑斜面上高h = 3.5米高处由静止滑下斜面底端紧接着一个半径R = 1米的光滑圆环（如图）求：

（1）小球滑至圆环顶点时对环的压力；

（2）小球至少要从多高处静止滑下才能越过圆环最高点；

（3）小球从h0 = 2米处静止滑下时将在何处脱离圆环（g =9.8米/秒2）。

二、系统的机械能守恒

由两个或两个以上的物体所构成的系统，其机械能是否守恒，要看两个方面

（1）系统以外的力是否对系统对做功，系统以外的力对系统做正功，系统的机械能就增加，做负功，系统的机械能就减少。不做功，系统的机械能就不变。

（2）系统间的相互作用力做功，不能使其它形式的能参与和机械能的转换。

系统内物体的重力所做的功不会改变系统的机械能

系统间的相互作用力分为三类：

1） 刚体产生的弹力：比如轻绳的弹力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力等

2） 弹簧产生的弹力：系统中包括有弹簧，弹簧的弹力在整个过程中做功，弹性势能参与机械能的转换。

3） 其它力做功：比如炸药爆炸产生的冲击力，摩擦力对系统对功等。

在前两种情况中，轻绳的拉力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力做功，使机械能在相互作用的两物体间进行等量的转移，系统的机械能还是守恒的。虽然弹簧的弹力也做功，但包括弹性势能在内的机械能也守恒。但在第三种情况下，由于其它形式的能参与了机械能的转换，系统的机械能就不再守恒了。

归纳起来，系统的机械能守恒问题有以下四个题型：（1）轻绳连体类（2）轻杆连体类

（3）在水平面上可以自由移动的光滑圆弧类。（4）悬点在水平面上可以自由移动的摆动类。

（1）轻绳连体类

这一类题目，系统除重力以外的其它力对系统不做功，系统内部的相互作用力是轻绳的拉力，而拉力只是使系统内部的机械能在相互作用的两个物体之间进行等量的转换，并没有其它形式的能参与机械能的转换，所以系统的机械能守恒。

例：如图，倾角为的光滑斜面上有一质量为M的物体，通过一根跨过定滑轮的细绳与质量为m的物体相连，开始时两物体均处于静止状态，且m离地面的高度为h，求它们开始运动后m着地时的速度？

分析：对M、m和细绳所构成的系统，受到外界四个力的作用。它们分别是：M所受的重力Mg，m所受的重力mg，斜面对M的支持力N，滑轮对细绳的作用力F。

M、m的重力做功不会改变系统的机械能，支持力N垂直于M的运动方向对系统不做功，滑轮对细绳的作用力由于作用点没有位移也对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相互作用力是细绳的拉力，拉力做功只能使机械能在系统内部进行等量的转换也不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。

在能量转化中，m的重力势能减小，动能增加，M的重力势能和动能都增加，用机械能的减少量等于增加量是解决为一类题的关键

可得

需要提醒的是，这一类的题目往往需要利用绳连物体的速度关系来确定两个物体的速度关系

例：如图，光滑斜面的倾角为，竖直的光滑细杆到定滑轮的距离为a，斜面上的物体M和穿过细杆的m通过跨过定滑轮的轻绳相连，开始保持两物体静止，连接m的轻绳处于水平状态，放手后两物体从静止开始运动，求m下降b时两物体的速度大小？

（2）轻杆连体类

这一类题目，系统除重力以外的其它力对系统不做功，物体的重力做功不会改变系统的机械能，系统内部的相互作用力是轻杆的弹力，而弹力只是使系统内部的机械能在相互作用的两个物体之间进行等量的转换，并没有其它形式的能参与机械能的转换，所以系统的机械能守恒。

例：如图，质量均为m的两个小球固定在轻杆的端，轻杆可绕水平转轴在竖直平面内自由转动，两小球到轴的距离分别为L、2L，开始杆处于水平静止状态，放手后两球开始运动，求杆转动到竖直状态时，两球的速度大小

分析：由轻杆和两个小球所构成的系统受到外界三个力的作用，即A球受到的重力、B球受到的重力、轴对杆的作用力。

两球受到的重力做功不会改变系统的机械能，轴对杆的作用力由于作用点没有位移而对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相互作用力是轻杆的弹力，弹力对A球做负功，对B球做正功，但这种做功只是使机械能在系统内部进行等量的转换也不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。

在整个机械能当中，只有A的重力势能减小，A球的动能以及B球的动能和重力势能都增加，我们让减少的机械能等于增加的机械能。有：

根据同轴转动，角速度相等可知

所以：

需要强调的是，这一类的题目要根据同轴转动，角速度相等来确定两球之间的速度关系

（3）在水平面上可以自由移动的光滑圆弧类。

光滑的圆弧放在光滑的水平面上，不受任何水平外力的作用，物体在光滑的圆弧上滑动，这一类的题目，也符合系统机械能守恒的外部条件和内部条件，下面用具体的例子来说明

例：四分之一圆弧轨道的半径为R，质量为M，放在光滑的水平地面上，一质量为m的球（不计体积）从光滑圆弧轨道的顶端从静止滑下，求小球滑离轨道时两者的速度？

分析：由圆弧和小球构成的系统受到三个力作用，分别是M、m受到的重力和地面的支持力。

m的重力做正功，但不改变系统的机械能，支持力的作用点在竖直方向上没有位移，也对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相互作用力是圆弧和球之间的弹力，弹力对m做负功，对M做正功，但这种做功只是使机械能在系统内部进行等量的转换，不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。

在整个机械能当中，只有m的重力势能减小，m的动能以及M球的动能都增加，我们让减少的机械能等于增加的机械能。有：

根据动量守恒定律知 所以：

（4）悬点在水平面上可以自由移动的摆动类。

悬挂小球的细绳系在一个不受任何水平外力的物体上，当小球摆动时，物体能在水平面内自由移动，这一类的题目和在水平面内自由移动的光滑圆弧类形异而质同，同样符合系统机械能守恒的外部条件和内部条件，下面用具体的例子来说明

例：质量为M的小车放在光滑的天轨上，长为L的轻绳一端系在小车上另一端拴一质量为m的金属球，将小球拉开至轻绳处于水平状态由静止释放。求（1）小球摆动到最低点时两者的速度？（2）此时小球受细绳的拉力是多少？

分析：由小车和小球构成的系统受到三个力作用，分别是小车、小球所受到的重力和天轨的支持力。

小球的重力做正功，但重力做功不会改变系统的机械能，天轨的支持力，由于作用点在竖直方向上没有位移，也对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相互作用力是小车和小球之间轻绳的拉力，该拉力对小球做负功，使小球的机械能减少，对小车做正功，使小车的机械能增加，但这种做功只是使机械能在系统内部进行等量的转换，不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。

在整个机械能当中，只有小球的重力势能减小，小球的动能以及小车的动能都增加，我们让减少的机械能等于增加的机械能。有：

根据动量守恒定律知

所以：

当小球运动到最低点时，受到竖直向上的拉力T和重力作用，根据向心力的公式

但要注意，公式中的v是m相对于悬点的速度，这一点是非常重要的

解得：

习题

1.如图5－3－15所示，质量相等的甲、乙两小球从一光滑直角斜面的顶端同时由静止释放，甲小球沿斜面下滑经过a点，乙小球竖直下落经过b点，a、b两点在同一水平面上，不计空气阻力，下列说法中正确的是(　　)

A．甲小球在a点的速率等于乙小球在b点的速率

B．甲小球到达a点的时间等于乙小球到达b点的时间

C．甲小球在a点的机械能等于乙小球在b点的机械能(相对同一个零势能参考面)

D．甲小球在a点时重力的功率等于乙小球在b点时重力的功率

2．

一根质量为M的链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半挂在桌边，如图5－3－16(a)所示．将链条由静止释放，链条刚离开桌面时的速度为v1.若在链条两端各系一个质量均为m的小球，把链条一半和一个小球放在光滑的水平桌面上，另一半和另一个小球挂在桌边，如图5－3－16(b)所示．再次将链条由静止释放，链条刚离开桌面时的速度为v2，下列判断中正确的是(　　)　

A．若M＝2m，则v1＝v2 B．若M＞2m，则v1＜v2

C．若M＜2m，则v1＞v2 D．不论M和m大小关系如何，均有v1＞v2 答案：D

5.如图5－3－19所示为某同学设计的节能运输系统．斜面轨道的倾角为37°，木箱与轨道之间的动摩擦因数μ＝0.25.设计要求：木箱在轨道顶端时，自动装货装置将质量m＝2 kg的货物装入木箱，木箱载着货物沿轨道无初速滑下，当轻弹簧被压缩至最短时，自动装货装置立刻将货物御下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶端，接着再重复上述过程．若g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：

(1)离开弹簧后，木箱沿轨道上滑的过程中的加速度大小； (2)满足设计要求的木箱质量．

6.如图5－3－20所示，一个质量为m的小铁块沿半径为R的固定半圆轨道上边缘由静止滑下，到半圆底部时，轨道所受压力为铁块重力的1.5倍，则此过程中铁块损失的机械能为(　　)

A. mgR B. mgR C. mgR D. mgR

3.如图5－3－22所示，一根跨越光滑定滑轮的轻绳，两端各有一杂技演员(可视为质点)，演员a站于地面，演员b从图示的位置由静止开始向下摆，运动过程中绳始终处于伸直状态，当演员b摆至最低点时，演员a刚好对地面无压力，则演员a与演员b质量之比为(　　)

A．1∶1 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶1

4.如图5－3－23所示，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b.a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧．从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度为(　　)

A．h B．1.5h C．2h D．2.5h

5.如图5－3－24所示，在动摩擦因数为0.2的水平面上有一质量为3 kg的物体被一个劲度系数为120 N/m的压缩轻质弹簧突然弹开，物体离开弹簧后在水平面上继续滑行了1.3 m才停下来，下列说法正确的是(g取10 m/s2)(　　)

A．物体开始运动时弹簧的弹性势能Ep＝7.8 J

B．物体的最大动能为7.8 J

C．当弹簧恢复原长时物体的速度最大

D．当物体速度最大时弹簧的压缩量为x＝0.05 m

8.如图5－3－27所示，小球从A点以初速度v0沿粗糙斜面向上运动，到达最高点B后返回A，C为AB的中点．下列说法中正确的是(　　)

A．小球从A出发到返回A的过程中，位移为零，合外力做功为零

B．小球从A到C过程与从C到B过程，减少的动能相等

C．小球从A到B过程与从B到A过程，损失的机械能相等

D．小球从A到C过程与从C到B过程，速度的变化量相等

11．

图5－3－30

如图5－3－30所示，AB为半径R＝0.8 m的1/4光滑圆弧轨道，下端B恰与小车右端平滑对接．小车质量M＝3 kg，车长L＝2.06 m，车上表面距地面的高度h＝0.2 m．现有一质量m＝1 kg的滑块，由轨道顶端无初速释放，滑到B端后冲上小车．已知地面光滑，滑块与小车上表面间的动摩擦因数μ＝0.3，当车运行了1.5 s时，车被地面装置锁定．(g＝10 m/s2)试求：

(1)滑块到达B端时，轨道对它支持力的大小； (2)车被锁定时，车右端距轨道B端的距离；

(3)从车开始运动到被锁定的过程中，滑块与车面间由于摩擦而产生的内能大小；

(4)滑块落地点离车左端的水平距离．

2．如图7－7－11所示，质量为2m和m可看做质点的小球A、B，用不计质量的不可伸长的细线相连，跨在固定的半径为R的光滑圆柱两侧，开始时A球和B球与圆柱轴心等高，然后释放A、B两球，则B球到达最高点时的速率是多少?

图7－7－11

2．解：此题用运动学很难解答，但选取A、B球及细线为研究系统，重力以外的力不做功，故用机械能守恒定律求解．

选取轴心所在水平线为势能零点，则刚开始时系统机械能为零，即

E1＝0． 当B球到达最高点时，系统机械能为 E2＝mgR＋mv2－2mg （2m）v2

由于E1＝E2 即0＝mgR＋mv2－2mg（2m）v2 解得 v＝

高中物理机械能守恒定律典例解题技巧