数学理

一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共计40分）

1．已知全集，函数的定义域为，则（ ）

A． B． C． D．

2. 已知幂函数的图象过点，则的值为 （ ）

A. B. C. D.

3．已知命题p、q，“为真”是“p为假”的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．当时，，则实数的取值范围是 （ ）

A． B． C． D．

5．已知是定义域为的偶函数，当时，，

则不等式的解集为 （ ）

A． B． C． D．

6．已知奇函数的定义域为，若为偶函数，且，

则 （ ）

A． B． C． D．

7．设函数，且关于的方程恰有个不同的实数根，则的取值范围是 （ ）

A． B． C． D．

8. 已知函数，，的零点分别为，则 的大小关系为 ( )

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

9．若对任意，恒成立，则实数的取值范

围是 .

10．已知直线的参数方程为：（为参数），圆的极坐标方

程为，则圆的圆心到直线的距离为 .

11．函数的值域用区间表示为________．

12．函数，则函数的零点个数是 .

13．如图，内接于⊙，过中点作平行于的直线，交

于点，交⊙于、，交⊙在点切线于点，若，

则的长为 ．

14．设，

已知函数是定义域为的偶函数，

当时，word/media/image4_1.png

若关于的方程有且只有个不同实数根，则的取

值范围是 ．

三、解答题（本题共6题，满分80分．解答应写出文字说明，

证明过程或演算步骤．）

15．设命题p：函数的定义域为R；

命题q：不等式对一切均成立。

（Ⅰ）如果p是真命题，求实数的取值范围；

（Ⅱ）如果命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，

求实数的取值范围．

16．已知函数.

（Ⅰ）求在区间上的最大值；

（Ⅱ）若过点存在条直线与曲线相切，求的取值范围．

17．设且，已知函数是奇函数

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）当时，函数的值域为，求实数的值．

18． 设函数（为常数，其中e是自然对数的底数）

（Ⅰ）当时，求函数的极值点；

（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求k的取值范围．

19．已知函数，其中是自然对数的底数．

（Ⅰ）证明：是上的偶函数；

（Ⅱ）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）已知正数满足：存在，使得成立，试比较与的大小，并证明你的结论．

20．已知函数，其中，是自然对数的底数

若，且函数在区间内有零点，求实数的取值范围．

2019-2020年高三上学期第一次阶段性检测数学（理）试题 含答案

一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共计40分）

1．B 2. A 3．A 3．D 4．C 5．B 6．D 7. A 8．B

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

9． 10． 11． 12． 13． 14．

三、解答题（本题共6题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15．解：（Ⅰ）若命题p为真命题，则恒成立 …………4分

（Ⅱ）若命题q 为真命题，则； …………8分

“p或q”为真命题且“p且q”为假命题，即p，q一真一假

故 …………13分

所以，当时，有最大值 ……5分

（Ⅱ）设切点为，切线斜率

从而切线方程为 …………7分

又过点，所以

整理得

令，则

由得或

当变化时，与的变化如下表：

…………11分

于是， ，所以 …………13分

17． 解：

（Ⅰ）因为是奇函数，所以 …………1分

从而，即

于是，，由的任意性知

解得或（舍）

所以 …………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，（或）

…………5分

当时，，即的增区间为，

当时，，即的减区间为，

…………9分

（Ⅲ）由得 …………11分

所以在上单调递减

从而，即，

又，得 …………13分

18．

解：（Ⅰ）

…………2分

…………6分

（Ⅱ）

…………13分

19． （Ⅰ），，

∴是上的偶函数 …………3分

（Ⅱ）由题意，，即

∵，∴，即对恒成立

令，则对任意恒成立

∵，

当且仅当时等号成立 ∴ …………9分

（Ⅲ），当时，∴在上单调增

令，

∵，∴，即在上单调减

∵存在，使得，

∴，即 …………11分

∵

设，则

当时，，单调增；

当时，，单调减

因此至多有两个零点，而

当时，，；当时，，；

当时，，． …………14分

20．由，又…………2分

若函数在区间内有零点，

则函数在区间内至少有三个单调区间

因为 所以…………4分

又

因为， 所以：

①若，则，，

所以函数在区间上单增，

②若，则，

所以函数在区间上单减， …………6分

于是，当或时，函数即在区间上单调，不可能满足“函数在区间内至少有三个单调区间”这一要求。 …………8分

③若，则，

于是当时，当时，

2019-2020年高三上学期第一次阶段性检测数学（理）试题 含解析

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知全集，函数的定义域为，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】

【解析】

试题分析：由题意知，，即，所以，即，由补集的定义知，，故应选.

考点：1、集合间的相互关系；2、函数的定义域；

2.已知幂函数的图象过点，则的值为 （ ）

A. B. C. D.

【答案】

【解析】

试题分析：因为函数为幂函数，所以设，因为其图象过点，所以，解得，所以，所以，故应选.

考点：1.幂函数的定义；

3.已知命题，“为真”是“为假”的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】

【解析】

试题分析：因为“为真”，所以是假命题，此时不管命题是真是假，命题“”均为假，即“为真”是“为假”的充分条件；反过来，若“为假”，则命题中至少有一个为假，并不能判断命题的真假性，所以不能判断出的真假性，即“为真”是“为假”的不必要条件，故应选.

考点：1、命题及其关系；2、必要条件与充分条件；

4.当时，，则实数的取值范围是 （ ）

A． B． C． D．

【答案】

【解析】

试题分析：因为当时，，所以，即；，即，所以实数的取值范围是，故应选.

考点：1.指数函数；2、对数函数；

5.已知是定义域为的偶函数，当时，，则不等式的解集为 （ ）

A． B． C． D．

【答案】

【解析】

试题分析：因为当时，，所以，且在上单调递减，在上为单调递增，所以即，又因为函数是定义域为的偶函数，所以，解之得：，故应选.

考点：1.函数的奇偶性；2、函数的图像及其性质；

6.已知奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则 （ ）

A． B． C． D．

【答案】

【解析】

试题分析:因为为偶函数，所以函数关于直线对称，即，又因为函数是定义域为的奇函数，所以，所以，所以，所以，即函数的周期为4.所以；，所以，故应选.

考点：1、函数的性质及其应用；

7.设函数，且关于的方程恰有个不同的实数根，则的取值范围是 （ ）

A． B． C． D．

【答案】

【解析】

试题分析：首先画出函数的图像，如下图所示.由图可知，满足方程恰有个不同的实数根，且，其的取值范围为.由题意知，是的根，即，所以，，且，所以，故应选.

考点：1、分段函数；2、函数与方程；

8.已知函数，，的零点分别为，则 的大小关系为 ( )

A. B. C. D.

【答案】

【解析】

试题分析：对于函数，令，得，因为，所以，所以，所以，即，即；对于函数，令，即，所以，即，即；对于函数，令，即，所以，即，即.所以.故应选.

考点：1.函数与方程；2、对数函数；3、指数函数；

第Ⅱ卷（共90分）（非选择题共90分）

二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）

9.若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .

【答案】.

【解析】

试题分析：因为对任意，恒成立，所以，所以，解之得，故应填.

考点：1、含绝对值不等式；2、三角不等式；

10.已知直线的参数方程为：（为参数），圆的极坐标方程为，则圆的圆心到直线的距离为 .

【答案】.

考点：1、参数方程；2、极坐标方程；

11.函数的值域用区间表示为________．

【答案】.

【解析】

试题分析：因为

，所以，故应填.

考点：1、换底公式；2、对数运算；3、二次函数的值域求法；

12.函数，则函数的零点个数是 .

【答案】.

【解析】

试题分析：根据已知函数画出函数的图像如下图所示，由图可知，的根的个数有3个，即，，，于是当时，有2个实数根；当时，有3个实数根；当时，有2个实数根；综上所示，方程有7个实数根，即函数的零点个数有7个，故应填.

考点：1、分段函数的图像；2、函数与方程；

13.如图，内接于⊙，过中点作平行于的直线，交于点，交⊙于、，交⊙在点切线于点，若，则的长为 ．

【答案】.

【解析】

试题分析：因为点是中点，，所以，.

又因为切⊙于点，所以，可得.因为，所以∽，可得，即，所以.因为，所以，所以，所以，所以，故应填.

考点：1、圆的切线的判定定理的证明；2、与圆有关的比例线段；

14.设，已知函数是定义域为的偶函数， 当时，word/media/image4_1.png 若关于的方程有且只有个不同实数根，则的取值范围是 ．

【答案】.

【解析】

试题分析： 由题意知，函数在和上是减函数，在和上是增函数.

所以当时，函数取得极大值1，在时，函数取得极小值，当时，

，所以关于的方程有且只有个不同实数根，设，则

必有两个根，其中， ，

所以，，所以，故应填.

考点：1、函数与方程；2、分段函数；

三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.设命题：函数的定义域为；命题：不等式对一切均成立。

（Ⅰ）如果是真命题，求实数的取值范围；

（Ⅱ）如果命题“或”为真命题，且“且”为假命题，求实数的取值范围．

【答案】（I）；（Ⅱ）.

考点：1、对数函数；2、指数函数；3、命题；4、逻辑连接词；

16.已知函数.

（Ⅰ）求在区间上的最大值；

（Ⅱ）若过点存在条直线与曲线相切，求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）有最大值；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）首先求出导数，然后分别令和，可分别得到的单调区间，进而判断出函数的最大值即可；（Ⅱ）设出切点坐标，根据导数的概念及其几何意义可得其切线方程，然后将的坐标代入方程可得方程.令，然后判断其单调性，进而确定函数的图像，根据图像可得出满足题意的条件，解之即可得出结果.

试题解析：（Ⅰ）令得，.当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，当时，有最大值.

（Ⅱ）设切点为，切线斜率，从而切线方程为.

又过点，所以，整理得.令，则，由得或，当变化时，与的变化如下表：

于是， ，所以.

考点：1、

17.设且，已知函数是奇函数

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）当时，函数的值域为，求实数的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的增区间为，；的减区间为，.（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由函数是奇函数可得，代入函数的解析可解得实数的值即可；（Ⅱ）首先求出函数的定义域，然后求出其导函数，然后分别令和即可求出函数的单调增区间和单调减区间；（Ⅲ）由得，结合（Ⅱ）可得，在上单调递减，于是可得，解之即可得到实数的值.

试题解析：（Ⅰ）因为是奇函数，所以.从而，即,于是，，由的任意性知,解得或（舍）,所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，（或）， .

当时，，即的增区间为，；当时，，即的减区间为，.

（Ⅲ）由得，所以在上单调递减，从而，即， 又，得.

考点：1、函数的奇偶性；2、利用导数研究函数的单调性；3、函数的值域；

18.设函数（为常数，其中e是自然对数的底数）

（Ⅰ）当时，求函数的极值点；

（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）的极小值点为；（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）首先求出函数的导函数，然后令，可解得极值点为，通过判断函数在和的单调性确定其极值点是极大值点还是极小值点；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数在内存在两个极值点，即要求方程在内有两个根，于是构造函数，求其导数，并令可得，结合可得，并满足即可求出参数的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）；

当时，，令，则.当时，单调递减；当时，单调递增；从而的极小值点为.

（Ⅱ） 令，则

，综上，的取值范围为.

考点：1、利用导数求函数的极值；2、利用导数研究函数的单调性；

19.已知函数，其中是自然对数的底数．

（Ⅰ）证明：是上的偶函数；

（Ⅱ）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）已知正数满足：存在，使得成立，试比较与的大小，并证明你的结论．

【答案】（Ⅰ），，∴是上的偶函数；（Ⅱ）；（Ⅲ），当时，∴在上单调增，令，，∵，∴，即在上单调减，∵存在，使得，∴，即，∵，设，则，当时，，单调增；当时，，单调减，因此至多有两个零点，而，当时，，；当时，，；当时，，．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要证明函数是上的偶函数，即证，.由题意容易得出结论成立；（Ⅱ）要使关于的不等式在上恒成立，即需对恒成立，令，于是问题转化为“对任意恒成立”，运用基本不等式即可得出实数的取值范围；（Ⅲ）因为存在，使得，所以可知，即，于是构造函数，对其进行求导并判断其单调区间，进而可判断出至多有两个零点，由于，所以当时，，；当时，，；当时，，．

试题解析：（Ⅰ），，∴是上的偶函数.

（Ⅱ）由题意，，即

∵，∴，即对恒成立

令，则对任意恒成立

∵，

当且仅当时等号成立 ∴.

（Ⅲ），当时，∴在上单调增，令，，∵，∴，即在上单调减，∵存在，使得，∴，即，∵

设，则，当时，，单调增；当时，，单调减，因此至多有两个零点，而，当时，，；当时，，；当时，，．

考点：1、基本不等式的应用；2、导数在研究函数的单调性中的应用；

20.已知函数，其中，是自然对数的底数，若，且函数在区间内有零点，求实数的取值范围．

【答案】.

【解析】

试题分析：首先根据题意可得出等式，然后求出函数的导函数，令，对参数分三类：①；②；③，分别讨论函数在区间上的单调性，并找出函数在区间内至少有三个单调区间的等价条件，即可得出实数的取值范围．

试题解析：由，又，若函数在区间内有零点，则函数在区间内至少有三个单调区间，因为 所以，又，因为， 所以：

①若，则，，

所以函数在区间上单增，

②若，则，所以函数在区间上单减，于是，当或时，函数即在区间上单调，不可能满足“函数在区间内至少有三个单调区间”这一要求。

③若，则，于是当时，当时，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则

，令，则，由可得：，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，即恒成立.于是，函数在区间内至少有三个单调区间等价于：即，又因为，所以.

综上所述，实数的取值范围为.

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值；

2019-2020年高三上学期第一次阶段性检测数学（理）试题 含答案