2012年高考理科数学试题及点评-新课标

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邢日昱点评历年高考数学试题（新课标）
邢日昱点评历年高考数学试题（新课标）
2012年高考理科数学试题
第Ⅰ卷
一．
选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A{1,2,3,4,5},B{(x,yxA,yA,xyA}；,则B中所含元素
的个数为（）

(A3(B6
(C(D
【点评】选D
x5,y1,2,3，,x4,y1,2,3，x3,y1,2，x2,y1共10个（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，
每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）
(A12种(B10种
(C种(D种
【点评】选A
12
甲地由1名教师和2名学生：C2C412种
（3）下面是关于复数z
21i
的四个命题：其中的真命题为（）
2
p1:z2p2:z2ip3:z的共轭复数为1ip4:z的虚部为1

(Ap2,p3(Bp1,p2(Cp,p(Dp,p
【点评】选Cz
21i

2(1i

1i

(1i(1i
p1:z
2
2，p2:z2i，p3:z的共轭复数为1i，p4:z的虚部为1
（4）设F1F2是椭圆E:
xa
22

yb
22
1(ab0的左、右焦点，P为直线x
3a2
上一点，

F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（）
(A
12
(B
23
(C

(D




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【点评】选C
F2PF1是底角为30的等腰三角形PF2F2F12(ac2ce
23
ca34

（5）已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10（）
(A7(B5(C(D
【点评】选D
a4a72，a5a6a4a78a44,a72或a42,a74
开始
a44,a72a18,a101a1a107a42,a74a108,a11a1a107
输入N，a1,a2,…,aN
（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N2和
实数a1,a2,...,an，输出A,B，则（）
k=1,A=a1,B=a1
x=ak
(AAB为a1,a2,...,an的和(B
AB2
k=k+1
x＞A否
是
是
为a1,a2,...,an的算术平均数
(CA和B分别是a1,a2,...,an中最大的数和最小的数(DA和B分别是a1,a2,...,an中最小的数和最大的数
A=x
x
B=x
否
【点评】选C
（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的
是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）
(A6(B9(C(D
k≥N
是输出A，B
否
结束
【点评】选B
该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3此几何体的体积为V
1312
6339


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（8）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的准线交于A,B
两点，AB43；则C的实轴长为（）
(A
2(B22(C(D
【点评】选C
设C:x2y2a2(a0交y216x的准线l:x4于A(4,23B(4,23得：a2(42(2324a22a4
（9）已知0，函数f(xsin(x
4
在(

2
,上单调递减。则的取值范围是（
(A[
12,54](B[12,3
4
](C(0,12](D(0,2]
【点评】选A
2(x
54
[4,
94]不合题意排除(D1(x

[
35
4
4,
4
]合题意排除(B(C
另：(

22，(x

4
[2


4
,

3
4
][
2,2
]
得：



152
4


2
,

4

32
2
4

（10）已知函数f(x
1；则）
ln(x1x
yf(x的图像大致为（


）
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【点评】选B
g(xln(1xxgg(x01x
x
x(
1x0g,x(0x0gx(g
(0
0
得：x0或1x0均有f(x0排除A,C,D
（11）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上，ABC是边长为1的正三角形，
SC为球O的直径，且SC2；则此棱锥的体积为（）
(A
26
(B
36
(C
23
(D
22

【点评】选A
ABC的外接圆的半径r
33
，点O到面ABC的距离dRr
22

63

SC为球O的直径点S到面ABC的距离为2d
26326

此棱锥的体积为V
13
SABC2d
13

34

263

另：V
13
SABC2R
12
36
排除B,C,D
（12）设点P在曲线y
x
e上，点Q在曲线yln(2x上，则PQ最小值为（）
(A1ln2(B2(1ln2(C1ln2(D2(1ln2
【点评】选A函数y
12
e与函数yln(2x互为反函数，图象关于yx对称
x
1
函数y
12
e上的点P(x,
x
12
e到直线yx的距离为d
x
2
ex2
x

设函数g(x
12
exg(x
x
12
e1g(xmin1ln2dmin
x
1ln2
2

由图象关于yx对称得：PQ最小值为2dmin

2(1ln2


邢日昱点评历年高考数学试题（新课标）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。


（13）已知向量a,b夹角为45，且a1,2ab

10；则b_____
【点评】322ab
2
2
10(2ab104b4bcos4510b32
x,y0
(14设x,y满足约束条件：xy1；则zx2y的取值范围为
xy3
【点评】[3,3]
约束条件对应四边形OABC边际及内的区域：O(0,0,A(0,1,B(1,2,C(3,0
则zx2y[3,3]

（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3
正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从
正态分布N(1000,502，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为

【点评】
38

三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1000,50
得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p
12
2

2
超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率P11(1p
34



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那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为p2p1p
38

（16）数列{an}满足an1(1nan2n1，则{an}的前60项和为【点评】1830
可证明：bn1a4n1a4n2a4n3a4n4a4n3a4n2a4n2a4n16bn16b1a1a2a3a410（17）（本小题满分12分）
已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，acosC（1）求A（2）若a2，ABC的面积为3；求b,c。【点评】（1）由正弦定理得：
acosC
3asinCbc0sinAcosC
3sinAsinCsinBsinC
3asinCbc0
S1510
1514
15
2
16
1830
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
sinAcoCs
coAs

3sAin1
60

CsinsAin(

asiCn(1
302
Csin
3sinA


A3030A
（2）S
12
bcsinA3bc4
a2b2c22bccosA解得：bc2

18.（本小题满分12分）
b4c
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，
如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元关于当天需求量n（单位：枝，nN）的函数解析式。
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n频数

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。
（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，
数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？

1410
1520
1616
1716
1815
1913
2010

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请说明理由。
【点评】（1）当n16时，y16(10580当n15时，y5n5(16n10n80
10n80(n15得：y(nN
80(n16
（2）（i）X可取60，70，80
P(X600.1,P(X700.2,P(X800.7X的分布列为
XP
600.1
700.2
800.7
EX600.1700.2800.776DX1620.1620.2420.744（ii）购进17枝时，当天的利润为
y(145350.1(155250.2(165150.161750.5476.4
76.476得：应购进17枝

（19）（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC
D是棱AA1的中点，DC1BD
12
AA1，
（1）证明：DC1BC
（2）求二面角A1BDC1的大小。【点评】（1）在RtDAC中，ADAC得：ADC45
同理：A1DC145CDC190

得：DC1DC,DC1BDDC1面BCDDC1BC（2）DC1BC,CC1BCBC面ACC1A1BCAC
取A1B1的中点O，过点O作OHBD于点H，连接C1O,C1H


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A1C1B1C1OHBD
1
C1OCH
，面ABA1B1C1面A1BDC1O面A1BD1
得：点BDH与点D重合
且C1DO是二面角A1BDC1的平面角
2a2
设ACa，则C1O，C1D

2a2C1OC1DO30
既二面角A1BDC1的大小为30（20）（本小题满分12分）
设抛物线C:x22py(p0的焦点为F，准线为l，AC，已知以F为圆心，
FA为半径的圆F交l于B,D两点；
（1）若BFD900，ABD的面积为42；求p的值及圆F的方程；
（2）若A,B,F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，
求坐标原点到m,n距离的比值。

【点评】（1）由对称性知：BFD是等腰直角，斜边BD2p
点A到准线l的距离dFAFB2pSABD42
12
BDd42p2

圆F的方程为x2(y128（2）由对称性设A(x0,
x0
2
2p
(x00，则F(0,
2
p2

点A,B关于点F对称得：B(x0,p
x0
2p
p
p
x0
2
2p

p2
x03p
22
3p
得：A(3p,
3p2
，直线m:y2
2xpx
23p33
33

3y
3p2
0
x2pyy
2
x
2
2p
y
xp
xp切点P(
3p3
,
p6



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直线n:y
p6

33
(x
3p3
x3y
36
p0
坐标原点到m,n距离的比值为
（21）（本小题满分12分）
3p2
:
3p6
3。（lfxlby）
已知函数f(x满足满足f(xf(1ex1f(0x（1）求f(x的解析式及单调区间；（2）若f(x
12
12
x；
2
xaxb，求(a1b的最大值。
12
2x1xf(xf(1ef(0x
2
x1
【点评】（1）f(xf(1ef(0x
令x1得：f(01
x1
f(xf(1ex
12
21
xf(0f(1e1f(1e
得：f(xex
x
12
2x
xg(xf(xe1x
g(xex10yg(x在xR上单调递增f(x0f(0x0,f(x0f(0x0得：f(x的解析式为f(xex
x
12
x
2
且单调递增区间为(0,，单调递减区间为(,0（2）f(x
12
xaxbh(xe(a1xb0得h(xe(a1
2
x
x
①当a10时，h(x0yh(x在xR上单调递增x时，h(x与h(x0矛盾
②当a10时，h(x0xln(a1,h(x0xln(a1得：当xln(a1时，h(xmin(a1(a1ln(a1b0(a1b(a1(a1ln(a1(a10令F(xxxlnx(x0；则F(xx(12lnx

2
22
2

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F(x00x当x当a
e,F(x0xe
e时，F(xmaxe1,b
e2

e2
e时，(a1b的最大值为
请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D,E分别为ABC边AB,AC的中点，直线DE交
ABC的外接圆于F,G两点，若CF//AB，证明：
A
G
ED
F
（1）CDBC；（2）BCDGBD
【点评】（1）CF//AB，DF//BCCF//BD//ADCDBFCF//ABAFBCBCCD（2）BC//GFBGFCBD
BC
BC//GFGDEBGDDBCBDCBCDGBD

（23）本小题满分10分选修4—4；坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是
x2cosy3sin
(为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴
为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A,B,C,D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,（1）求点A,B,C,D的直角坐标；
（2）设P为C1上任意一点，求PAPBPC【点评】（1）点A,B,C,D的极坐标为(2,

3,(2,
56
2
2
2

3

PD的取值范围。
43,(2,
116
2
,(2,
点A,B,C,D的直角坐标为(1,3,(3,1,(1,3,(3,1x02cos
(为参数（2）设P(x0,y0；则
y3sin0
tPAPBPC5620sin
2
222
PD4x4y40
2
22
[56,lfxlby76]（）


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（24）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲
已知函数f(xxax2
（1）当a3时，求不等式f(x3的解集；
（2）若f(xx4的解集包含[1,2]，求a的取值范围。【点评】（1）当a3时，f(x3x3x23

x2

2x3

x3

3x2x3
或
3xx23
或
x3x23

x1或x4
（2）原命题f(xx4在[1,2]上恒成立
xa2x4x在[1,2]上恒成立
2xa2x在[1,2]上恒成立3a0



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