上海市华东师范大学二附中2018届高三（上）

开学数学试卷

一、填空题（本大题满分54分，本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分）

1．（4分）集合A={1，2}，B={2，3}，则A∪B=　 　．

2．（4分）已知i是虚数单位，复数z满足，则|z|=　 　．

3．（4分）函数f（x）=的最小正周期为　 　．

4．（4分）已知单位向量满足，则的夹角为　 　．

5．（4分）将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额，则甲班恰好分到2个名额的概率为　 　．

6．（4分）已知y=f﹣1（x）是函数f（x）=arcsin（1﹣x）的反函数，则f﹣1（x）=　 　．

7．（5分）将杨辉三角中的每一个数Cn'都换成，就得到一个如下图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形．令，则=　 　．

8．（5分）已知A（﹣9，12），B（﹣16，﹣12），O（0，0），点D在线段OB内，且AD平分∠OAB，则点D的坐标为　 　．

9．（5分）已知{an}为等比数列，且a1a2017=1，若，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2017）=　 　．

10．（5分）若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=　 　．

11．（5分）已知f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，．g（x）=f（x）﹣a．记S（a）为函数g（x）的所有零点之和．当﹣1＜a＜0时，S（a）的取值范围为　 　．

12．（5分）将含有3n个正整数的集合M分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，其中A={a1，a2，…，an}，B={b1，b2，…，bn}，C={c1，c2，…，cn}，若A、B、C中的元素满足条件：c1＜c2＜…＜cn，ak+bk=ck，k=1，2，…，n，则称M为“完并集合”．

（1）若M={1，x，3，4，5，6}为“完并集合”，则x的一个可能值为　 　．（写出一个即可）

（2）对于“完并集合”M={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，在所有符合条件的集合C中，其元素乘积最小的集合是　 　．

二、选择题（本大题满分20分，本大题共有4题，每题5分，有且只有一个正确答案）

13．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为an，则的值为（　　）

A． B． C． D．

14．（5分）设a，b，c∈R+，则“abc=1”是“≤a+b+c”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要的条件

15．（5分）定义max{a，b}=，设实数x，y满足约束条件，则z=max{4x+y，3x﹣y}的取值范围是（　　）

A．[﹣8，10] B．[﹣7，10] C．[﹣6，8] D．[﹣7，8]

16．（5分）已知函数，给出下列四个判断：

（1）f（x）的值域是[0，2]；

（2）f（x）的图象是轴对称图形；

（3）f（x）的图象是中心对称图形；

（4）方程有解．

其中正确的判断有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

三、解答题（本大题满分78分，本大题共有5题）

17．（14分）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

（1）求此几何体的体积V的大小；

（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值．

18．（14分）华东师大二附中乐东黄流中学位于我国南海边，有一片美丽的沙滩和一弯天然的海滨浴场．如图，海岸线MAN，∠A=2θ，（海岸线MAN上方是大海），现用长为BC的栏网围成一个三角形学生游泳场所，其中B∈MA，C∈NA．

（1）若BC=l，求三角形游泳场所面积最大值；

（2）若BC=600，，由于学生人数的增加需要扩大游泳场所面积，现在折线MBCN上方选点D，现用长为BD，DC的栏围成一个四边形游泳场所DBAC，使BD+DC=1000，求四边形游泳场所DBAC的最大面积．

19．（16分）已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1斜率为k的直线l1交双曲线的左、右两支分别于A、C两点，过F2且与l1垂直的直线l2交双曲线的左、右两支分别于D、B两点．

（1）求k的取值范围；

（2）求四边形ABCD面积的最小值．

20．（16分）已知函数f（x）=loga（x+1）（a＞1），函数g（x）的图象与函数（a＞1）的图象关于直线y=x对称．

（1）求函数g（x）的解析式；

（2）若函数g（x）在区间上的值域为[loga（p+3m），loga（p+3n）]，求实数p的取值范围；

（3）设函数F（x）=af（x）﹣g（x）（a＞1），试用列举法表示集合M={x|F（x）∈Z}．

21．（18分）已知集合S=（n≥2，且n∈N*）．若存在非空集合S1，S2，…，Sn，使得S=S1∪S2∪…∪Sn，且Si∩Sj=∅（1≤i，j≤n，i≠j），并∀x，y∈Si（i=1，2，…，n），x＞y，都有x﹣y∉Si，则称集合S具有性质P，Si（i=1，2，…，n）称为集合S的P子集．

（Ⅰ）当n=2时，试说明集合S具有性质P，并写出相应的P子集S1，S2；

（Ⅱ）若集合S具有性质P，集合T是集合S的一个P子集，设T′={s+3n|s∈T}，求证：∀x，y∈T∪T′，x＞y，都有x﹣y∉T∪T′；

（Ⅲ）求证：对任意正整数n≥2，集合S具有性质P．

【参考答案】

一、填空题

1．{1，2，3}

【解析】∵A={1，2}，B={2，3}，

∴A∪B={1，2，3}．

故答案为：{1，2，3}

2．

【解析】∵复数z满足，

∴z=，

化为4z=，

即z=，

∴|z|==．

故答案为：．

3．π

【解析】∵函数f（x）==2cos2x﹣sin2x=cos2x+cos2x=+cos2x

=cos2x+，

故函数的周期为=π，

故答案为：π．

4．

【解析】根据题意，设向量、的夹角为θ，

若单位向量、满足（2﹣）⊥，

则有（2﹣）•=2•﹣2=0，解可得cosθ=，

又由0≤θ≤π，则θ=；故答案为：．

5．

【解析】将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额，

用隔板法，将8个名额排列成一排，在它们形成的7个空档中插入3块隔板，

则每种插入隔板的方式对对一种名额分配方式，反之亦然，

∴不同的分配方案有：种，

其中甲班恰好分到2个名额相当于将6个名额分配给3个班级，每个班级至少1个名额，

∴甲班恰好分到2个名额的分配方案为种，

∴甲班恰好分到2个名额的概率为p=．

故答案为：．

6．1﹣sinx，x∈[﹣，]

【解析】∵f（x）=arcsin（1﹣x），

∴siny=1﹣x，y∈[﹣，]，

∴x=1﹣siny，y∈[﹣，]；

交换x、y的位置，

得y=；

∴f（x）的反函数是f﹣1（x）=1﹣sinx，x∈[﹣，]．

故答案为：1﹣sinx，x∈[﹣，]．

7．

【解析】第一个空通过观察可得．

=×﹣×=﹣﹣+=+﹣，

an=++++…++

=（1+﹣1）+（+﹣）+（+﹣）+（+﹣）+…+（+﹣）+（+﹣）

=（1+++…+）+（++++…+）﹣2（++…+）

=〔（1+++…+）﹣（++…+）〕+〔（++++…+）

﹣（++…+）〕

=1﹣+﹣

=+﹣．

所以=．

故答案为：．

8．

【解析】根据题意，设D的坐标为（x，y）；

如图：△ABD中，

|OA|===15，|AB|==24，|OB|==20，

若AD平分∠OAB，则有===，

则有=，

即有（x，y）=（﹣16，﹣12），则有，

则D的坐标为（﹣，﹣）；

故答案为：（﹣，﹣）．

9．2017

【解析】a1a2017=1，若，

f（a1）+f（a2017）=+=+=+=2．

f（a2）+f（a2016）=2，

f（a3）+f（a2015）=2，

…

{an}为等比数列，且a1a2017=a2a2016=…，

则f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2017）

=[f（a1）+f（a2017）+f（a2）+f（a2016）+…+f（a1）+f（a2017）]==2017．

故答案为：2017．

10．

【解析】由∠A=60°，得到sinA=，cosA=，

又b=1，S△ABC=，

∴bcsinA=×1×c×=，

解得c=4，

根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，

解得a=，

根据正弦定理====，

则=．

故答案为：

11．（﹣log23，0）

【解析】f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，

且当x＞0时，，

作出函数f（x）在y轴右边的图象，由图象关于原点对称可得y轴左边的图象，

g（x）=f（x）﹣a，

记S（a）为函数g（x）的所有零点之和．

当﹣1＜a＜0时，f（x）=a的实根的个数为6，

由小到大设为x1，x2，x3，x4，x5，x6，

则由对称性可得x1+x2=﹣10，x5+x6=10，

可得S（a）=﹣10+10+（x3+x4）=x3+x4，

当﹣2＜x＜0时，f（x）=2﹣2﹣x，

令f（x）=﹣1，可得x=﹣log23，

由图象可得x3+x4∈（﹣log23，0）．

故答案为：（﹣log23，0）．

12．（1）7，9，11　 （2）{6，10，11，12}

【解析】（1）若集合A={1，4}，B={3，5}，根据完并集合的概念知集合C={6，x}，∴x=“4+3=7，

“若集合A={1，5}，B={3，6}，根据完并集合的概念知集合C={4，x}，∴x=“5+6=11，

“若集合A={1，3}，B={4，6}，根据完并集合的概念知集合C={5，x}，∴x=3+6=9，故x的一个可能值为7，9，11 中任一个；

（2）若A={1，2，3，4}，B={5，8，7，9}，则C={6，10，12，11}，

若A={1，2，3，4}，B=“{5，6，8，10 }，则C={7，9，12，11}，

若A={1，2，3，4}，B={5，6，7，11}，则C={8，10，12，9}，

这两组比较得元素乘积最小的集合是{6，10，11，12}

故答案为：7，9，11，{6，10，11，12}

二、选择题

13．B

【解析】由题意可得：每天织布的量组成了等差数列{an}，

a1=5（尺），S31=9×40+30=390（尺），设公差为d（尺），

则31×5+d=390，解得d=．

则=

=•=•=．

故选：B．

14．A

【解析】∵abc=1，

∴=++

≤++=a+b+c；

（当且仅当a=b=c=1时，等号成立）

若a=b=c=4，则≤a+b+c成立，

综上所述，

“abc=1”是“≤a+b+c”的充分不必要条件．

故选A．

15．B

【解析】由约束条件作出可行域如图，

由定义max{a，b}=，得

z=max{4x+y，3x﹣y}=，

当x+2y≥0时，化z=4x+y为y=﹣4x+z，当直线y=﹣4x+z过B（﹣2，1）时z有最小值为4×（﹣2）+1=﹣7；

当直线y=﹣4x+z过A（2，2）时z有最大值为4×2+1×2=10；

当x+2y＜0时，化z=3x﹣y为y=3x﹣z，当直线y=3x﹣z过B（﹣2，1）时z有最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7；

当直线y=﹣4x+z过C（2，﹣2）时z有最大值为4×2﹣1×（﹣2）=10．

综上，z=max{4x+y，3x﹣y}的取值范围是[﹣7，10]．

故选：B．

16．B

【解析】函数，表示点动点P（x，0）到定点A（3，2），B（5，2）的距离差的绝对值，点动点P（x，0）的运动轨迹（在x轴上）如下：

结合图象可知，当点P在P1处时f（x）=0，当点P由P1处向两边运动时，函数f（x）的值无限接近2，∴f（x）的值域是[0，2），故（1）错；

距离点P1等距离的点到定点A（3，2），B（5，2）的距离差的绝对值相等，故f（x）的图象关于直线x=4轴对称，故（2）正确，（3）错

由x∈[0，2）时，f（x）∈（，]，∴方程有解，故（4）正确；

故选：B

三、解答题

17．解：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，

∴S梯形BCED=×（4+1）×4=10

∴V=•S梯形BCED•AC=×10×4=．

即该几何体的体积V为．

（2）解法1：过点B作BF∥ED交EC于F，连接AF，

则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．

在△BAF中，

∵AB=4，

BF=AF==5．

∴cos∠ABF==．

即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．

解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）

∴=（0，﹣4，3），=（﹣4，4，0），∴cos＜，＞=﹣

∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．

18．解：（1）设AB=x，AC=y，x＞0，y＞0．l2=x2+y2﹣2xycos2θ≥2xy﹣2xycos2θ，xy≤=

S=xysin2θ≤וsin2θ=

所以，△ABC面积的最大值为=，当且仅当x=y时取到，

（2）由（1）S△ABC≤=30000，

由BC=2c=600（定值），

由DB+DC=1000=2a，a=500，知点D在以B、C为焦点的椭圆上，S△ABC=mnsin2A为定值．

只需△DBC面积最大，需此时点D到BC的距离最大，即D必为椭圆短轴顶点，

此时b==400，面积的最大值为S△DBC=2c•b=bc=300×400=12000，

因此，四边形DBAC面积的最大值为12000+30000．

19．解：（1）由题设条件知：l1，l2的方程分别为y=k（x+2），y=﹣，

由，得（3﹣k2）x2﹣4k2x﹣4k2=0，

由于l1交双曲线于的左右两支分别于A，C两点，

∴，解得k2＜3，

注意到对称性，由直线l2交双曲线的左右两点分别为D，B两点，得（﹣）2＜3，

∴，k的取值范围是（﹣，﹣）∪．

（2）∵|AC|=

==，

∴|BD|==．

∴四边形ABCD的面积S==，

由于S==≥，

当且仅当，即k2=1，k=±1时，等号成立，

故四边形ABCD面积的最小值为18．

20．解：（1）∵函数g（x）的图象与函数（a＞1）的图象关于直线y=x对称

∴函数g（x）与函数（a＞1）互为反函数

则g（x）=loga（x2﹣3x+3）（x＞）

（2）∵a＞1，m＞

∴函数g（x）在区间上单调递增

∵函数g（x）在区间上的值域为[loga（p+3m），loga（p+3n）]，

∴g（m）=loga（m2﹣3m+3）=loga（p+3m），

g（n）=loga（n2﹣3n+3）=loga（p+3n），

即x2﹣3x+3=p+3x在（，+∞）有两个不等的根

∴﹣6＜p＜

（3）f（x）﹣g（x）=loga（x+1）﹣loga（x2﹣3x+3）=

∴F（x）=af（x）﹣g（x）=（x＞）

而函数F（x）的值域为（0，]

∵F（x）∈Z

∴F（x）=1或2或3，此时x=2+、、2

∴M={x|F（x）∈Z}={2+，，2}

21．证明：（Ⅰ）当n=2时，S={1，2，3，4}，令S1={1，4}，S2={2，3}，

则S=S1∪S2，且对∀x，y∈Si（i=1，2），x＞y，都有x﹣y∉Si，

所以S具有性质P．相应的P子集为S1={1，4}，S2={2，3}．

（Ⅱ）①若，由已知x﹣y∉T，

又，所以x﹣y∉T'．所以x﹣y∉T∪T'．

②若x，y∈T'，可设x=s+3n，y=r+3n，r，s∈T，且，

此时．

所以x﹣y∉T'，且x﹣y=s﹣r∉T．所以x﹣y∉T∪T'．

③若y∈T，x=s+3n∈T'，s∈T，

则，

所以x﹣y∉T．

又因为y∈T，s∈T，所以s﹣y∉T．所以x﹣y=（s+3n）﹣y=（s﹣y）+3n∉T'．

所以x﹣y∉T∪T'．

综上，对于∀x，y∈T∪T'，x＞y，都有x﹣y∉T∪T'．

（Ⅲ）用数学归纳法证明．

（1）由（Ⅰ）可知当n=2时，命题成立，即集合S具有性质P．

（2）假设n=k（k≥2）时，命题成立．

即，

且Si∩Sj=∅（1≤i，j≤n，i≠j），∀x，y∈Si（i=1，2，…，k），x＞y，都有x﹣y∉Si．

那么当n=k+1时，记，i=1，2，…k，

并构造如下k+1个集合：S''1=S1∪S'1，S''2=S2∪S'2，…，S''k=Sk∪S'k，，

显然S''i∩S''j=∅（i≠j）．

又因为，

所以．

下面证明Si″中任意两个元素之差不等于Si″中的任一元素（i=1，2，…，k+1）．

①若两个元素，，

则，

所以．

②若两个元素都属于S''i=Si∪S'i（1≤i≤k），

由（Ⅱ）可知，S''i中任意两个元素之差不等于S''i中的任一数（i=1，2，…，k+1）．

从而，n=k+1时命题成立．

综上所述，对任意正整数n≥2，集合S具有性质P．

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