2020-2021学年重庆市沙坪坝区九年级上学期期末考试数学试卷

一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）

1．（4分）四个有理数﹣1，2，0，﹣3，其中最小的是（　　）

A．﹣1 B．2 C．0 D．﹣3

2．（4分）在“回收”、“节水”、“绿色食品”、“低碳”四个标志图案中．轴对称图形是（　　）

A． B． C． D．

3．（4分）下列事件中，最适合采用普查的是（　　）

A．对我校七年级一班学生出生日期的调查

B．对全国中学生节水意识的调查

C．对山东省初中学生每天阅读时间的调查

D．对某批次灯泡使用寿命的调查

4．（4分）下列图形都是由同样大小的黑点按一定的规律组成，摆第1个图案需要4个圆点，摆第2个图案需要7个圆点，摆第3个图案需要10个圆点，摆第4个图案需要13个圆点，按照这个规律继续摆放，第12个图摆放圆点的个数为（　　）

A．21 B．35 C．37 D．43

5．（4分）已知△ABC∽△A1B1C1，若△ABC与△A1B1C1的相似比为3：2，则△ABC与△A1B1C1的周长之比是（　　）

A．2：3 B．9：4 C．3：2 D．4：9

6．（4分）下列命题错误的是（　　）

A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形

B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

C．正方形的对角线互相垂直平分且相等

D．对角线相等的四边形是矩形

7．（4分）估计的值应在（　　）

A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间

8．（4分）按如图的程序计算，若开始输入x的值为正整数，最后输出的结果为22，则开始输入的x值可以为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

9．（4分）如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝20°，则∠D的度数是（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°

10．（4分）一天，小战和同学们一起到操场测量学校旗杆高度，他们首先在斜坡底部C地测得旗杆顶部A的仰角为45°，然后上到斜坡顶部D点处再测得旗杆顶部A点仰角为37°（身高忽略不计）．已知斜坡CD坡度i＝1：2.4，坡长为2.6米，旗杆AB所在旗台高度EF为1.4米，旗台底部、台阶底部、操场在同一水平面上．则请问旗杆自身高度AB为（　　）米．

（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）

A．10.2 B．9.8 C．11.2 D．10.8

11．（4分）如图，双曲线y经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足，与BC交于点D，S△BOD＝4，则k的值为（　　）

A． B．1 C．2 D．8

12．（4分）若关于x的分式方程3的解为正整数，且关于y的不等式组至多有六个整数解，则符合条件的所有整数m的取值之和为（　　）

A．1 B．0 C．5 D．6

二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）

13．（4分）计算：|1|+20＝　 　．

14．（4分）如图，矩形ABCD中，AD＝4，AB＝2．以A为圆心，AD为半径作弧交BC于点F、交AB的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为　 　．

15．（4分）重庆9月5日到10日的最高气温的折线统计图如图所示，则这六天的最高气温的中位数是　 　°C．

16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为斜边AB上的一点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合．若DC＝5，则AF＝　 　．

17．（4分）A，B两地相距20km，甲从A地出发向B地前进，乙从B地出发向A地前进，两人沿同一直线同时出发，甲先以8km/h的速度前进1小时，然后减慢速度继续匀速前进，甲乙两人离A地的距离s（km）与时间t（h）的关系如图所示，则甲出发　 　小时后与乙相遇．

18．（4分）为响应“双十二购物狂欢节”活动，某零食店推出了甲、乙、丙三类饼干礼包，已知甲、乙、丙三类礼包均由A、B、C三种饼干搭配而成，每袋礼包的成本均为A、B、C三种饼干成本之和．每袋甲类礼包有5包A种饼干、2包B种饼干、8包C种饼干；每袋丙类礼包有7包A种饼干、1包B种饼干、4包C种饼干．已知甲每袋成本是该袋中A种饼干成本的3倍，利润率为30%，每袋乙的成本是其售价的，利润是每袋甲利润的；每袋丙礼包利润率为25%．若该网店12月12日当天销售甲、乙、丙三种礼包袋数之比为4：6：5，则当天该网店销售总利润率为　 　．

三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）

19．（8分）如图△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠ADE＝155°，求∠B的度数．

20．（8分）今年猪肉价格受非洲猪瘟疫情影响，有较大幅度的上升，为了解某地区养殖户受非洲猪瘟疫情感染受灾情况，现从该地区建档的养殖户中随机抽取了部分养殖户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A级：非常严重；B级：严重；C级：一般；D级：没有感染），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解决下列问题：

（1）本次抽样调查的养殖户的总户数是　 　；把图2条形统计图补充完整．

（2）若该地区建档的养殖户有1500户，求非常严重与严重的养殖户一共有多少户？

（3）某调研单位想从5户建档养殖户（分别记为a，b，c，d，e）中随机选取两户，进一步跟踪监测病毒传播情况，请用列表或画树状图的方法求出选中养殖户e的概率．

四．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）

21．（10分）（1）（x+2y）2+（x+y）（x﹣y）

（2）（m﹣1）

22．（10分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣2，5），并且与y轴相交于点P，直线y＝﹣x+3与y轴相交于点Q，点Q恰与点P关于x轴对称，求这个一次函数y＝kx+b的表达式．

23．（10分）温润有度，为爱加温．近年来设计精巧、物美价廉的暖风机逐渐成为人们冬天必备的“取暖神器”，今年11月下旬某商场计划购进A、B两种型号的暖风机共900台，每台A型号暖风机售价为600元，每台B型号暖风机售价为900元．

（1）若要使得A、B两种型号暖风机的销售额不低于69万元，则至多购进多少台A型号暖风机？

（2）由于质量超群、品质卓越，11月下旬购进的A、B两种型号的暖风机全部售完．该商场在12上旬又购进了A、B两种型号的暖风机若干台，并且进行“双12”促销活动，每台A型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠a%，A型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条件下的最高购进量增加a%，每台B型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠a%，B型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条件下的最低购进量增加a%，A、B两种型号的暖风机在12月上旬的销售额比（1）问中最低销售额增加了a%，求a的值．

24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且ED⊥DB，FB⊥BD．

（1）求证：△AED≌△CFB．

（2）若∠A＝30°，∠DEB＝45°，DA＝5，求DF的长．

25．（10分）计算：A＝（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）（364+1）．

五．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）

26．（12分）如图抛物线y＝ax2+bx+6的开口向下与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（2，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一个动点（不与点C重合）

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P是抛物线上一个动点，若△PCA的面积为12，求点P的坐标；

（3）如图2，抛物线的顶点为D，在抛物线上是否存在点E，使得∠EAB＝2∠DAC，若存在请直接写出点E的坐标；若不存在请说明理由．

2020-2021学年重庆市沙坪坝区九年级上学期期末考试数学试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）

1．（4分）四个有理数﹣1，2，0，﹣3，其中最小的是（　　）

A．﹣1 B．2 C．0 D．﹣3

【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得

﹣3＜﹣1＜0＜2，

∴四个有理数﹣1，2，0，﹣3，其中最小的是﹣3．

故选：D．

2．（4分）在“回收”、“节水”、“绿色食品”、“低碳”四个标志图案中．轴对称图形是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C、是轴对称图形，故此选项符合题意；

D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．

故选：C．

3．（4分）下列事件中，最适合采用普查的是（　　）

A．对我校七年级一班学生出生日期的调查

B．对全国中学生节水意识的调查

C．对山东省初中学生每天阅读时间的调查

D．对某批次灯泡使用寿命的调查

【解答】解：A、对我校七年级一班学生出生日期的调查适合采用普查；

B、对全国中学生节水意识的调查适合采用抽样调查；

C、对山东省初中学生每天阅读时间的调查适合采用抽样调查；

D、对某批次灯泡使用寿命的调查适合采用抽样调查；

故选：A．

4．（4分）下列图形都是由同样大小的黑点按一定的规律组成，摆第1个图案需要4个圆点，摆第2个图案需要7个圆点，摆第3个图案需要10个圆点，摆第4个图案需要13个圆点，按照这个规律继续摆放，第12个图摆放圆点的个数为（　　）

A．21 B．35 C．37 D．43

【解答】解：观察图形可知：

摆第1个图案需要4个圆点，即3×1+1＝4；

摆第2个图案需要7个圆点，即3×2+1＝7；

摆第3个图案需要10个圆点，即3×3+1＝10；

摆第4个图案需要13个圆点，即3×4+1＝13；

按照这个规律继续摆放，

第12个图摆放圆点的个数3×12+1＝37．

故选：C．

5．（4分）已知△ABC∽△A1B1C1，若△ABC与△A1B1C1的相似比为3：2，则△ABC与△A1B1C1的周长之比是（　　）

A．2：3 B．9：4 C．3：2 D．4：9

【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1的相似比为3：2，

∴△ABC与△A1B1C1的周长之比3：2．

故选：C．

6．（4分）下列命题错误的是（　　）

A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形

B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

C．正方形的对角线互相垂直平分且相等

D．对角线相等的四边形是矩形

【解答】解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以A选项的说法正确；

B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以B选项的说法正确；

C、正方形的对角线互相垂直平分且相等，所以C选项的说法正确；

D、对角线相等的平行四边形为矩形，所以D选项的说法错误．

故选：D．

7．（4分）估计的值应在（　　）

A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间

【解答】解：5523，

∵，

∴67，

故选：B．

8．（4分）按如图的程序计算，若开始输入x的值为正整数，最后输出的结果为22，则开始输入的x值可以为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：当输入一个正整数，一次输出22时，

3x+1＝22，

解得：x＝7；

当输入一个正整数，两次后输出22时，

3x+1＝7，

解得：x＝2，

故选：B．

9．（4分）如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝20°，则∠D的度数是（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°

【解答】解：连OC，如图，

∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，

∴∠OBD＝∠OCD＝∠OCE＝90°，

∵∠ACE＝20°，

∴∠OCA＝90°﹣20°＝70°，

∵OC＝OA，

∴∠OAC＝∠OCA＝70°，

∴∠BOC＝2×70°＝140°，

∴∠D＝360°﹣90°﹣90°﹣140°＝40°．

故选：A．

10．（4分）一天，小战和同学们一起到操场测量学校旗杆高度，他们首先在斜坡底部C地测得旗杆顶部A的仰角为45°，然后上到斜坡顶部D点处再测得旗杆顶部A点仰角为37°（身高忽略不计）．已知斜坡CD坡度i＝1：2.4，坡长为2.6米，旗杆AB所在旗台高度EF为1.4米，旗台底部、台阶底部、操场在同一水平面上．则请问旗杆自身高度AB为（　　）米．

（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）

A．10.2 B．9.8 C．11.2 D．10.8

【解答】解：如图，作DH⊥FC交FC的延长线于H，延长AB交CF的延长线于T，作DJ⊥AT于J．

由题意四边形EFTB四边形DHTJ是矩形，

∴BT＝EF＝1.4米，JT＝DH，

在Rt△DCH中，∵CD＝2.6米，，

∴DH＝1（米），CH＝2.4（米），

∵∠ACT＝45°，∠T＝90°，

∴AT＝TC，

设AT＝TC＝x．则DJ＝TH＝（x+2.4）米，AJ＝（x﹣1）米，

在Rt△ADJ中，∵tan∠ADJ0.75，

∴0.75，

解得x＝11.2，

∴AB＝AT﹣BT＝AT﹣EF＝11.2﹣1.4＝9.8（米），

故选：B．

11．（4分）如图，双曲线y经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足，与BC交于点D，S△BOD＝4，则k的值为（　　）

A． B．1 C．2 D．8

【解答】解：过A作AE⊥x轴，垂足为E，则∠AEO＝∠BCO＝90°，

∵∠AOE＝∠BOC，

∴△AOE∽△BOC，

∴（）2＝（）2，

∵点A，D分别在双曲线y上，

∴S△AOE＝S△DOCk，

∴S△BOC＝S△BOD+S△DOC＝4k，

∴，

∴k＝1，

故选：B．

12．（4分）若关于x的分式方程3的解为正整数，且关于y的不等式组至多有六个整数解，则符合条件的所有整数m的取值之和为（　　）

A．1 B．0 C．5 D．6

【解答】解：化简不等式组为，

解得：﹣2＜y，

∵不等式组至多有六个整数解，

∴4，

∴m≤3，

将分式方程的两边同时乘以x﹣2，得

x+m﹣1＝3（x﹣2），

解得：x，

∵分式方程的解为正整数，

∴m+5是2的倍数，

∵m≤3，

∴m＝﹣3或m＝﹣1或m＝1或m＝3，

∵x≠2，

∴2，

∴m≠﹣1，

∴m＝﹣3或m＝1或m＝3，

∴符合条件的所有整数m的取值之和为1，

故选：A．

二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）

13．（4分）计算：|1|+20＝　　．

【解答】解：原式1+1

．

故答案为：．

14．（4分）如图，矩形ABCD中，AD＝4，AB＝2．以A为圆心，AD为半径作弧交BC于点F、交AB的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为　π﹣2　．

【解答】解：连接AF，

由题意得，AF＝AD＝4，

由勾股定理得，BF2，

∴∠BAF＝60°，

∴阴影部分的面积π﹣2，

故答案为：π﹣2．

15．（4分）重庆9月5日到10日的最高气温的折线统计图如图所示，则这六天的最高气温的中位数是　29　°C．

【解答】解：这六天的气温从低到高为：25，28，28，30，31，32，处在第3、4位的两个数的平均数为（28+30）÷2＝29°C，

因此中位数是29°C．

16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为斜边AB上的一点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合．若DC＝5，则AF＝　　．

【解答】解：在Rt△ACB中，BC＝6，∠ACB＝90°，

∵将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，

∴BD＝DE，

∵将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合，

∴AD＝DE，

∴AD＝DB，

∴CD＝DA＝DBAB，

∵DC＝5，

∴AB＝10，

∴AC8，

∴∠DCA＝∠A，

∵∠CDB＝∠CDE，∠FDE＝∠FDA，

∴∠CDF＝90°，

∴∠CDF＝∠ACB，

∴△CDF∽△ACB，

∴，

∴，

∴CF，

∴AF＝AC﹣CF，

故答案为：．

17．（4分）A，B两地相距20km，甲从A地出发向B地前进，乙从B地出发向A地前进，两人沿同一直线同时出发，甲先以8km/h的速度前进1小时，然后减慢速度继续匀速前进，甲乙两人离A地的距离s（km）与时间t（h）的关系如图所示，则甲出发　2　小时后与乙相遇．

【解答】解：甲减速后的速度为：（20﹣8）÷（4﹣1）＝4（km/h），

一道速度为：20÷5＝4（km/h），

设甲出发x小时后与乙相遇，根据题意得

8+4（x﹣1）+4x＝20，

解得x＝2．

即甲出发2小时后与乙相遇．

故答案为：2．

18．（4分）为响应“双十二购物狂欢节”活动，某零食店推出了甲、乙、丙三类饼干礼包，已知甲、乙、丙三类礼包均由A、B、C三种饼干搭配而成，每袋礼包的成本均为A、B、C三种饼干成本之和．每袋甲类礼包有5包A种饼干、2包B种饼干、8包C种饼干；每袋丙类礼包有7包A种饼干、1包B种饼干、4包C种饼干．已知甲每袋成本是该袋中A种饼干成本的3倍，利润率为30%，每袋乙的成本是其售价的，利润是每袋甲利润的；每袋丙礼包利润率为25%．若该网店12月12日当天销售甲、乙、丙三种礼包袋数之比为4：6：5，则当天该网店销售总利润率为　25%　．

【解答】解：设每包A、B、C三种饼干的成本分别为x、y、z，依题意得：

5x+2y+8z＝15x，

∴5x＝y+4z，

由甲礼包的利润率为30%，则可求甲礼包的售价为19.5x，成本15x；

∵每袋乙的成本是其售价的，利润是每袋甲利润，

可知每袋乙礼包的利润是4.5x2x，

则乙礼包的售价为12x，成本为10x；

由丙礼包的组成可知，丙礼包的成本为7x+y+4z＝12x，

∵每袋丙礼包利润率为25%，

∴丙礼包的售价为15x，成本为12x；

∵甲、乙、丙三种礼包袋数之比为4：6：5，

∴100%＝25%，

∴总利润率是25%，

故答案为25%．

三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）

19．（8分）如图△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠ADE＝155°，求∠B的度数．

【解答】解：∵∠ADE＝155°，∠ADE+∠CDE＝180°，

∴∠CDE＝25°．

∵DE∥BC，

∴∠C＝∠CDE＝25°．

在△ABC中，∠A＝90°，

∴∠B+∠C＝90°，

∴∠B＝90°﹣25°＝65°．

20．（8分）今年猪肉价格受非洲猪瘟疫情影响，有较大幅度的上升，为了解某地区养殖户受非洲猪瘟疫情感染受灾情况，现从该地区建档的养殖户中随机抽取了部分养殖户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A级：非常严重；B级：严重；C级：一般；D级：没有感染），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解决下列问题：

（1）本次抽样调查的养殖户的总户数是　60　；把图2条形统计图补充完整．

（2）若该地区建档的养殖户有1500户，求非常严重与严重的养殖户一共有多少户？

（3）某调研单位想从5户建档养殖户（分别记为a，b，c，d，e）中随机选取两户，进一步跟踪监测病毒传播情况，请用列表或画树状图的方法求出选中养殖户e的概率．

【解答】解：（1）21÷35%＝60户，60﹣9﹣21﹣9＝21户，

故答案为：60，补全条形统计图如图所示：

（2）1500750户，

答：若该地区建档的养殖户有1500户中非常严重与严重的养殖户一共有750户；

（3）用表格表示所有可能出现的情况如下：

共有20种不同的情况，其中选中e的有8种，

∴P（选中e），

四．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）

21．（10分）（1）（x+2y）2+（x+y）（x﹣y）

（2）（m﹣1）

【解答】解：（1）（x+2y）2+（x+y）（x﹣y）

＝x2+4xy+4y2+x2﹣y2

＝2x2+4xy+3y2；

（2）（m﹣1）

．

22．（10分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣2，5），并且与y轴相交于点P，直线y＝﹣x+3与y轴相交于点Q，点Q恰与点P关于x轴对称，求这个一次函数y＝kx+b的表达式．

【解答】解：由题意可得，点Q的坐标是（0，3），点P的坐标是（0，﹣3），

把（0，﹣3），（﹣2，5）代入一次函数y＝kx+b得b＝﹣3，﹣2k+b＝5，

解得b＝﹣3，k＝﹣4．

所以这个一次函数的表达式：y＝﹣4x﹣3．

23．（10分）温润有度，为爱加温．近年来设计精巧、物美价廉的暖风机逐渐成为人们冬天必备的“取暖神器”，今年11月下旬某商场计划购进A、B两种型号的暖风机共900台，每台A型号暖风机售价为600元，每台B型号暖风机售价为900元．

（1）若要使得A、B两种型号暖风机的销售额不低于69万元，则至多购进多少台A型号暖风机？

（2）由于质量超群、品质卓越，11月下旬购进的A、B两种型号的暖风机全部售完．该商场在12上旬又购进了A、B两种型号的暖风机若干台，并且进行“双12”促销活动，每台A型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠a%，A型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条件下的最高购进量增加a%，每台B型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠a%，B型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条件下的最低购进量增加a%，A、B两种型号的暖风机在12月上旬的销售额比（1）问中最低销售额增加了a%，求a的值．

【解答】解：（1）设购进x台A型号暖风机，则购进（900﹣x）台B型号暖风机，

依题意，得：600x+900（900﹣x）≥690000，

解得：x≤400．

答：至多购进400台A型号暖风机．

（2）依题意，得：600（1a%）×400（1a%）+900（1a%）×（900﹣400）（1+a%）＝690000（1a%），

整理，得：150a﹣12a2＝0，

解得：a1＝12.5，a2＝0（不合题意，舍去）．

答：a的值为12.5．

24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且ED⊥DB，FB⊥BD．

（1）求证：△AED≌△CFB．

（2）若∠A＝30°，∠DEB＝45°，DA＝5，求DF的长．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝CB，∠A＝∠C，AD∥CB，AB∥CD，

∴∠ADB＝∠CBD，

∵ED⊥DB，FB⊥BD，

∴∠EDB＝∠FBD＝90°，

∴∠ADE＝∠CBF，

在△AED和△CFB中，

，

∴△AED≌△CFB（ASA）；

（2）作DH⊥AB，垂足为H，

在Rt△ADH中，∠A＝30°，

∴AD＝2DH，

在Rt△DEB中，∠DEB＝45°，

∴EB＝2DH，

∵ED⊥DB，FB⊥BD．

∴DE∥BF，

∵AB∥CD，

∴四边形EBFD为平行四边形，

∴FD＝EB，

∴DA＝DF＝5．

25．（10分）计算：A＝（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）（364+1）．

【解答】解：A（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）（364+1）

（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）（364+1）

（34﹣1））（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）（364+1）

（38﹣1）（38+1）（316+1）（332+1）（364+1）

（316﹣1）（316+1）（332+1）（364+1）

（332﹣1）（332+1）（364+1）

（364﹣1）（364+1）

（3128﹣1）

．

五．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）

26．（12分）如图抛物线y＝ax2+bx+6的开口向下与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（2，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一个动点（不与点C重合）

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P是抛物线上一个动点，若△PCA的面积为12，求点P的坐标；

（3）如图2，抛物线的顶点为D，在抛物线上是否存在点E，使得∠EAB＝2∠DAC，若存在请直接写出点E的坐标；若不存在请说明理由．

【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+6）（x﹣2）＝a（x2+4x﹣12），

﹣12a＝6，解得：a，

函数的表达式为：yx2﹣2x+6…①，

顶点D坐标为（﹣2，8）；

（2）如图1所示，过点P作直线m∥AC交抛物线于点P′，在直线AC下方等距离处作直线n交抛物线与点P″、P′″，

过点P作PH∥y轴交AC于点H，作PG⊥AC于点G，

∵OA＝OC，∴∠PHG＝∠CAB＝45°，则HPPG，

S△PCAPG×ACPG×612，解得：PH＝4，

直线AC的表达式为：y＝x+6，

则直线m的表达式为：y＝x+10…②，

联立①②并解得：x＝﹣2或﹣4，

则点P坐标为（﹣2，8）或（﹣4，6）；

直线n的表达式为：y＝x+2…③

同理可得点P（P″、P′″）的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，1），

综上，点P的坐标为（﹣2，8）或（﹣4，6）或（﹣3，1）或（﹣3，1）．

（3）点A、B、C、D的坐标为（﹣6，0）、（2，0）、（0，6）、（﹣2，8），

则AC，CD，AD，

则∠ACD＝90°，

sin∠DAC，

延长DC至D′使CD＝CD′，连接AD′，过点D作DH⊥AD′，

则DD′＝2，AD＝AD′，

S△ADD′DD′×ACDH×AD′，

即：2DH，解得：DH，

sin2∠DAC＝sin∠DAD′=12580=35=' class='_13'>sin∠EAB，

则tan∠EAB，

①当点E在AB上方时，

则直线AE的表达式为：yx+b，

将点A坐标代入上式并解得：

直线AE的表达式为：yx④，

联立①④并解得：x（不合题意值已舍去），

即点E（，）；

②当点E在AB下方时，

同理可得：点E（，），

综上，点E（，）或（，）．

2020-2021学年重庆市沙坪坝区九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析