指数函数exp(x)的求导证明
发布时间：2018-06-30 05:34:04
在高中时，指数函数![](https://wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=19&md5sum=27cc518ce120e2ad233677fcf3c6f611&sign=6af27ed6cf&rtcs_flag=1&rtcs_ver=3.2&l=webapp&bucketNum=41&ipr={"t":"img","w":"19","h":"21","dataType":"gif","c":"word/media/image1.png"})
的导数为其本身，我觉得这个性质非常奇妙，可书上只有一个等式，并没有给出证明，我那时候百思不得其解。上大学后，书上也没有明确给出其严格的证明。下面是我的证明方法，当然要用到极限的概念。
首先，自然对数的定义为：
![](https://wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=96&md5sum=27cc518ce120e2ad233677fcf3c6f611&sign=6af27ed6cf&rtcs_flag=1&rtcs_ver=3.2&l=webapp&bucketNum=41&ipr={"t":"img","w":"96","h":"39","dataType":"gif","c":"word/media/image2.png"})
则
![](https://wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=356&md5sum=27cc518ce120e2ad233677fcf3c6f611&sign=6af27ed6cf&rtcs_flag=1&rtcs_ver=3.2&l=webapp&bucketNum=41&ipr={"t":"img","w":"356","h":"45","dataType":"gif","c":"word/media/image3.png"})
注意到上式中的最后一个式子，令![](https://wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=77&md5sum=27cc518ce120e2ad233677fcf3c6f611&sign=6af27ed6cf&rtcs_flag=1&rtcs_ver=3.2&l=webapp&bucketNum=41&ipr={"t":"img","w":"77","h":"23","dataType":"gif","c":"word/media/image5.png"})
则有![](https://wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=64&md5sum=27cc518ce120e2ad233677fcf3c6f611&sign=6af27ed6cf&rtcs_flag=1&rtcs_ver=3.2&l=webapp&bucketNum=41&ipr={"t":"img","w":"64","h":"21","dataType":"gif","c":"word/media/image6.png"})
，且当时，，所以
![](https://wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=193&md5sum=27cc518ce120e2ad233677fcf3c6f611&sign=6af27ed6cf&rtcs_flag=1&rtcs_ver=3.2&l=webapp&bucketNum=41&ipr={"t":"img","w":"193","h":"45","dataType":"gif","c":"word/media/image9.png"})
最后，根据导数的定义，即有
![](https://wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=381&md5sum=27cc518ce120e2ad233677fcf3c6f611&sign=6af27ed6cf&rtcs_flag=1&rtcs_ver=3.2&l=webapp&bucketNum=41&ipr={"t":"img","w":"381","h":"44","dataType":"gif","c":"word/media/image10.png"})
得证。
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