第五章 定积分及其应用

习 题 5-1

1. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值：

（1）, （2）, （3）, （4）.

解：若在几何上表示由曲线，直线及轴所围成平面图形的面积. 若时，在几何

上表示由曲线，直线及轴所围平面图形面积的负值.

（1）由下图（1）所示，.

（2）由上图（2）所示，.

（3）由上图（3）所示，.

（4）由上图（4）所示，.

2. 设物体以速度作直线运动，用定积分表示时间从0到5该物体移动的路程S.

解：

3. 用定积分的定义计算定积分,其中为一定常数.

解：任取分点,把分成个小区间

，小区间长度记为=-,在每个小区间

上任取一点作乘积的和式：,

记, 则.

4. 利用定积分定义计算.

解：连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对 等分，分点取相应小区间的右端点，故

=

= =

当（即），由定积分的定义得： =．

5. 利用定积分的估值公式，估计定积分的值.

解：先求在上的最值，由

, 得或.

比较 的大小，知

，

由定积分的估值公式，得,

即 .

6. 利用定积分的性质说明与，哪个积分值较大？

解：在区间内： 由性质定理知道：

7. 证明：。

证明：考虑上的函数，则，令得

当时，0' altImg='8fe83a8d09ecd1eb1f68f914ede82ccc.png' w='47' h='20' class='_1'>，当时，

∴在处取最大值，且在处取最小值.

故，即。

8. 求函数在闭区间[-1，1]上的平均值.

解：平均值

9. 设在[0，1]上连续且单调递减，试证对任何有.

证明： =

=

，其中

又单调减，则，故原式得证.

习 题 5.2

1. 计算下列定积分

（1）; （2）; （3）; (4) .解：（1）

（2）=+==4+.

（3）=+==2+2=4.

(4) =.

2. 计算下列各题：

（1）， （2）， （3）, （4）,

（5）, （6）, （7）,

（8）,（9）, （10）, （11）

解：（1）=. （2）=.

（3）. （4）=.

（5）. （6）.

（7）===.

(8) ==.

(10) ===.

（10）===.

3. 求下列极限

（1） . （2）.

解：（1）此极限是“”型未定型，由洛必达法则，得

==

（2）

4. 设，求y的极小值

解： 当，得驻点，0. x=1' altImg='be88e50a4b0db63c558f0ea00acd159c.png' w='142' h='20' class='_2'>为极小值点，

极小值

5. 设，求。

解：

6. 设，求。

解：当时，

当时，

当时，，

故

7. 设是连续函数，且，求。

解：令，则，从而

即，，∴

8．。

解：原式

9．求由所决定的隐函数对的导数。

解：将两边对求导得， ∴

习 题 5.3

1. 下面的计算是否正确，请对所给积分写出正确结果：

（1）==

=.

（2）===2

=2.

答：（1）不正确，应该为：

=

（2）不正确，应该为：

=2.

2. 计算下列定积分:

(1), (2). （3）；

（4）； （5）； （6）；

（7）； （8）； （9）；

(10)； (11) ；（12）。

解：（1）令=,则,当= 0 时，= 0；当= 4 时，，于是

=

（2）==.

(3)

(4)

(5)令，，，时；时，.

于是

(6) 令，则，.当时，，当时，.

原式.

(7) 令，.当时，；当时，.

原式

(8) 因为=

从而=.

(9) 原式

(10) 原式

(11) 原式

（12）设，，于是

=

3. 计算下列定积分：

（1）； （2）； （3）；

（4）； (5)； (6)；

(7)； (8) ； （9）； （10）。

解：（1）==

=.

(2) =

=＝=1

(3) =

=

移项合并得.

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

而

,

故 .

（10）

4. 利用函数的奇偶性计算下列积分：

（1）; (2) ；

(3); （4）.

解：(1) =

(2) 原式

(3) ∵为奇函数，∴

（4） 利用定积分的线性性质可得原式，而前两个积分的被积函数都是奇数，故这两个定积分值均为0， 原式

5. 如果，且求

解：

由已知条件得

，即

，， 即得。

6.若在区间上连续,证明

(1)=

(2)= ,由此计算

证明：（1）设.且当时，；当

故

（2）设，

=

利用此公式可得：==

= =.

7. 设在上连续，证明 。

证明 .令，，则

故.

8. 设是以为周期的连续函数，证明：

。

证明 .

令，则

(∵以为周期)

故

9. 设在上连续，证明：

证明 利用分部积分法，

=

习 题 5.4

1. 下列解法是否正确？为什么？

.

答：不正确.因为在[，]上存在无穷间断点 ， 不能直接应用公式计算，事实上，

++

++不存在,

故发散.

2. 下列广义积分是否收敛？若收敛，则求出其值.

（1） ； （2） ； （3）；

（4） （5）； （6）；

解：（1）=, 发散.

（2）=

（3）

（4）

（5）=.

（6），发散

3.下列广义积分是否收敛？若收敛，则求出其值.

（1） （2） （3）

解：（1） =+

=

(2) 令，于是

(3)

。

4.证明广义积分 当时收敛；当时发散。

证明：当，发散；

当=。

5.已知，求常数

解：左端

右端

∴ ， 解之或。

习 题 5.5

1、求由下列曲线围成的平面图形的面积：

（1）及直线；

解：如图，解方程组，得交点，所求面积为

.

（2）与（两部分均应计算）；

解：如图，解方程组，得交点、，

所求上半部分面积为

.

所求下半部分面积为

（3）与直线；

解：如图，解方程组，得交点，所求面积为

.

（4）轴与直线.

解：选为积分变量，如图，所求面积为

2.求二曲线与所围公共部分的面积

解： 当等于0和时，两曲线相交，所围公共部分的

面积为

.

3、求由所围成的图形，绕轴及轴旋转所得的两个不同的旋转体的体积.

解：如图，绕轴旋转所得的旋转体的体积为

绕轴旋转所得的旋转体的体积为.

4、有一立体，以长半轴、短半轴的椭圆为底，

而垂直于长轴的截面都是等边三角形，求该立体的体积.

解：解：取坐标系如图，底面椭圆方程为

垂直于轴的截面为等边三角形，对应于的

截面的面积为

于是所求立体体积为

5、计算曲线相对应于到的一段曲线弧长.

解：由弧长的公式得:

.

6、计算相应于自到的一段弧长.

解：由弧长的极坐标公式得:

.

7、求星形线的全长.

解：由弧长的参数方程公式得:

.

8、设把一金属杆的长度由拉长到时，所需的力等于，其中为常数，试求将该金属杆由长度拉长到所作的功.

解：由于金属杆拉长所需的力与拉长的长度成正比，且，其中为常数。选择金属杆拉长的长度为积分变量，其取值范围为，对于任意，在拉长的长度区间上，功元素为，于是资料个人收集整理，勿做商业用途

。

9.一个底半径为，高为的圆柱形水桶装满了水，要把桶内的水全部吸出，需要做多少功（水的密度为）？

解：建立如图坐标系. 取为积分变量,

, 任取子区间，

相应一薄层水被抽到桶外需做的功近似为

,

于是，把桶内的水全部吸出，需做功

.

10、一矩形闸门垂直立于水中，宽为，高为，问闸门上边界在水面下多少米时？

它所受的压力等于上边界与水面相齐时所受压力的两倍.

解：设所求高度为，建立如图坐标系，任取小区间，小区间上压力元素为

于是，由题意得：

从而。

习题5.6

（小时）

本章复习题A

1、求下列极限：

（1）； （2）

（3）； （4）

1、解：（1）

。

（2）原式。

（3）。

（4）。

2、求的导函数。

解：。

3、求证下列各式：

（1）； （2）。

证明：（1）设，先求在上的最大、最小值。

由得内驻点，

由知

在上积分得。

（2）。

4、求下列积分：

（1）；

解：。

（2）；

解：。

（3） ；

解：。

（4）；

解：=。

（5）。

解：

5．求连续函数，使它满足.

解 当时，令，，；，．，则

，两边求导数：

两边积分及得：

6．若，求

解：令，则，。当时，；当

时，

∴，从而

7．求无穷积分.

（1）；

解：

（2）.

解

8．设，求.

解：

9．设时，的导数与是等价无穷小，其中具有二阶连续导数.试求.

解：依题意有

本章复习题B

一、选择题

1．设上连续，则在上的平均值是（ ）．

A． B．

C． D．

2．设函数，则（ ）．

A． B． C． D．

3．设是连续函数，且为偶函数，则在对称区间上的定积分（ ）．

A． B． C． D．

4．利用定积分的有关性质可以得出定积分（ ）．

A． B．

C． D．

5．已知函数，则（ ）．

A． B． C． D．

6．设，且，则（ ）．

A． B． C． D．

7．设在上连续，是的一个原函数，则 （ ）．

A． B． C． D．

8． 若与是两条光滑曲线（其中），则由这两条曲线及直线，所围的平面区域的面积为（ ）．

A． B．

C． D．

一、选择题答案

1．D 2．D 3．B 4．C 5．B 6．C 7．B 8．C资料个人收集整理，勿做商业用途

二、填空题

1． . 2． .

3．设是方程所确定的的函数，则 .

4．设是连续函数，，则 .

5．已知则 .

6．无穷积分若收敛，则 .

二、填空题答案 1．0 2．54 3． 4． 5．8 6．

三、计算题

1．利用定积分的定义或性质求下面的极限：

（1）；

解：

令，有，利用夹逼准则得

（2）.

解：令

故。

2．计算积分.

解：I=

故I。

3．计算广义积分

大学高等数学定积分及其应用答案