第一章 复数与复变函数(1)

1、计算

3、设试用三角形式表示及。

解:

11、设三点适合条件及试证明就是一个内接于单位圆的正三角形的顶点。

证明:

所组成的三角形为正三角形。

为以为圆心,1为半径的圆上的三点。

即就是内接于单位圆的正三角形。

、

17、证明:三角形内角与等于。

证明:有复数的性质得:

第一章 复数与复变函数(2)

7、试解方程。

解:由题意,所以有;

;所以;

;;;、

12.下列关系表示的z点的轨迹的图形就是什么？它就是不就是区域？

解:此图形表示一条直线,它不就是区域。

解:即此图形为的区域。

解:此图形为的区域。

解:此图形表示区间辐角在的部分。

解:表示半径为1的圆的外上半部分及边界,它就是区域。

解:它表示虚部大于小于等于的一个带形区域。

解:此图形表示两圆的外部。

解:,,它表示两相切圆半径为的外部区域。

解:此图形表示半径为2的圆的内部,且的部分,它就是区域。

)

解:此图象表示半径为2的圆的内部且辐角主值在的部分,它就是区域。

第二章 解析函数(1)

4、若函数在区域D上解析,并满足下列的条件,证明必为常数、

证明:因为在区域上解析,所以。

令,即。

由复数相等的定义得:,。

所以,(常数) ,(常数),即为常数。

5 、证明函数在平面上解析,并求出其导数。

(1)

证明:设=

则,

;

;

满足。

即函数在平面上可微且满足条件,故函数在平面上解析。

8.由已知条件求解析函数, ,。

解:, 。

所以即就是平面上调与函数。由于函数解析,根据条件得,于就是,,其中就是x的待定函数,再由C—R条件的另一个方程得=,

所以,即。于就是

又因为,所以当,时,得

所以。

第二章 解析函数(2)

12、设就是的解析函数,证明, 。

证明:就是z上的解析函数,所以,在上处处可微,即,,

所以,,所以,

同理,,所以,

即得所证。

14、若,试证:(1)。

证:

=

=

18、解方程。

解:,

即,设

,得,即。

20、试求及。

解:

《高等数学》第四册数学物理方法