第1章 交流电机的数学模型及参数关系 ................................................................. 1

1.1 三相异步电动机的数学模型 .......................................................................... 2

1.2 三相同步电动机的数学模型 .......................................................................... 5

1.3 永磁同步电动机的数学模型 .......................................................................... 8

1.4 无刷直流电动机的数学模型 ........................................................................ 14

1.5 交流电机的参数计算 .................................................................................... 17

1.5.1 笼型绕组的多回路模型 ....................................................................................... 17

1.5.2 电感参数的解析计算 ........................................................................................... 19

1.5.3 磁路饱和问题的处理 ........................................................................................... 25

第1章 交流电机的数学模型及参数关系

交流电机的数学模型及参数关系章 第1本章针对现代交流传动控制系章坐标变换与电机统一理论的基础上，在第5永磁同步电动机和无刷直流电动三相同步电动机、统中常用的三相异步电动机、下面首先阐述电机建为后续的系统仿真奠定基础。机进行数学建模和参数分析， 模的三个共性问题。交流电机的数学模型由电机绕组的电压方程（包括磁链 正方向的规定 1.

方程）和电机转子的运动方程（包括转矩方程）组成。由于是对电力传动系统进即考虑的都是电动机，所以采用电动机惯例列写电压方程和运动方程，行分析，?u；在电磁系统方面，以外加电压时，产生正值磁链为正，线圈流入正向电流i?同向，为驱动性质，与转子转速同时，在机械系统方面，电机的电磁转矩Tem? 1-1为制动性质，与转子转速所示。反向，如图而外加负载转矩TL?

i ?uRTemTL 正方向的规定图1-1

交流电机的定子一般采用三相对称绕组，为简化问题，同时 2. 基本假设

又不影响数学模型的精度，常作如下假设： 定子内壁、转子外表面光滑，不计齿槽效应。1)

气隙磁密按正弦规律分布，不计空间高次谐波。2)

铁芯磁路为线性，不计磁饱和效应。3)

各类交流电机的转子运动方程都是一样的，即 3. 转子运动方程?d??J??T?RT? emΩLtd 1-1） （ ??d???p 0td???p为转动部为转子位置角，式中，为电机极对数，为转子机械角速度，J0RT 分的转动惯量，为机械阻尼系数。其区别仅在于电磁转矩的不同计算。?em －1 －

1章 交流电机的数学模型及参数关系第 1.1 三相异步电动机的数学模型三相异步电动机可分为绕线型和笼按照转子结构型式的不同，基本结构 1.

也是按一定规律分布绕线转子异步电动机的转子绕组和定子绕组一样，型两种。形，大、的三相对称绕组，可以联结成Y形或△形。一般小容量电动机联结成△个滑环上，用一套中容量电动机联结成Y形。转子绕组的33条引线分别接到用以改善电其目的是把外接的电阻或电动势串联到转子回路，电刷装置引出来， 1-2机的调速性能及实现能量回馈等，如图所示。

A定子绕组a转子绕组cbBC

绕线转子异步电动机的定、转子绕组图1-2

它是一个自行短路笼型转子异步电动机的转子绕组则与定子绕组大不相同，在铁心的的绕组。在转子的每个槽里放置一根导体，每根导体都比转子铁心长，如果把转子铁两端用两个端环把所有的导条都短路起来，形成一个短路的绕组。所示，因此又叫笼心拿掉，则剩下来的绕组其形状象一个松鼠笼子，如图1-3a型转子。导条材料有用铜的，也有用铝的。如果导条用的是铜材料，就需要把事最先做好的裸铜条插入转子铁心上的槽里，再用铜端环套在伸出两端的铜条上，就用熔化了的铝液直接浇铸在转子铁心如果导条用的是铝材料，后焊接在一起。 所示。的槽里，连同端环、风扇一次铸成，如图1-3b

b)

a)

笼型转子图1-3

铸铝绕组 b) a) 铜条绕组 －2 －

第1章 交流电机的数学模型及参数关系

节将做专1.5笼型转子的绕组结构较为特殊，其数学建模比较复杂，在本章所示是一台绕线转1-4门介绍。这里先建立绕线转子异步电动机的数学模型。图C、A、B子三相异步电动机的定、转子绕组分布示意图，定子三相绕组分别用相绕组轴aA相绕组轴线与转子、b、c表示，定子表示，转子三相绕组分别用a???表示定子旋转磁场的同步角线间的夹角为逆时针旋转，，转子以电角速度1 速度。

a??ubbuauAAucuCcC

三相异步电动机的绕组分布图1-4 图 三相异步电动机各绕组的电压平衡方程为 2．电压方程iLMiu0R??????????ABCABCsrABCssp?? 1-2） （ ??????????LMiuiR0??????????abcrsrabcabcr为定、转子绕组的电和和式中，为定、转子绕组的电压向量，iiuuabcABCabcABC 流向量。uu????aA????uu,uu?? ）（ 1-3 ????bABCBabc????uu????cCii????aA????iii?,?i ） （1-4 ????ABCbabcB????ii????cCRRRR、 ，转子每相电阻为为定、转子的电阻矩阵，设定子每相电阻为，则21rs00R0R0????21????0,?R0RRR?00 ）1-5（ ????2s1r????R000R0????21 －3 －

第1章 交流电机的数学模型及参数关系

转子的电感矩阵，对于对称的隐极电机，各绕组的自感以及定子各为定、LL、rs转子绕设定子绕组的自感为，绕组间的互感和转子各绕组间的互感均为常值。L1 ，则组的自感为，定子各绕组间的互感为，转子各绕组间的互感为MLM212MMMMLL????212121????MLL?M?LMML, ）（1-1 ????22s12r11????LMMMLM????212112为定、转子绕组间的互感矩阵，不计气隙谐波磁场时，各个互感系数MM、rssr? ，则角的余弦函数。设定、转子绕组轴线重合时其互感为均是M12π22π?????)cos(cos(??cos)?? 33??ππ22T?????)cos(M?Mcoscos(??)?M 1-7） （ 12rssr33??ππ22?????cos)cos(cos(??)?? 33??）是一组变系数的微分方程，该方可见，三相异步电动机的电压方程（1-2 程亦可以简写为 ） （1-8 )ip(Lu?Ri?i、u 为整个电机的电压向量和电流向量，式中，iu????ABCABC ）（1-9 ?,u?i????iu????abcabcL、R 为整个电机的电阻矩阵和电感矩阵，ML0R????srss ）（ 1-10 ?,?RL????LMR0????rrsrT ），电磁转矩可按下式计算3．转矩方程 根据式（5-11emM???sr0??i??ppL? ??ABCT00 ）（1-11 ]ii?ii[?T???? M?abcemABC?i2?2????rs0abc ????）也是一个非线性1-11-11由式（1-1）和式（）不难看出，转子运动方程（ 的微分方程。 －4 －

交流电机的数学模型及参数关系第1章

1.2 三相同步电动机的数学模型就基本结构而言，三相同步电动机的定子与三相异步电动机基本结构 1.

机座及端盖等附件的定子没有什么区别，也是由定子三相对称绕组、定子铁心、 所组成。如图同步电机的转子有两种结构形式，一种是有明显的磁极，称为凸极式，所示。这种结构的磁极是用钢板叠成或用铸钢铸成，磁极上套有串联线圈，1-5aSN、构成励磁绕组。在励磁绕组中通入直流电流，使磁极产生极性，其极性呈通过与集电环相接触的静交替排列。励磁绕组两个出线端联接到两个集电环上，止电刷向外引出；另一种是无明显的磁极，转子为一个圆柱体，表面上开有槽，所示。这种结构的励磁绕组嵌于转子表面的槽中，下线称为隐极式，如图1-5b也可以采用隐极式。同步发电机的转子可以采用凸极式，但比较坚固。较为困难，对于把发电机的转子做成凸极式的；对于水轮发电机，由于水轮机的转速较低，把发电机的转为了很好地固定励磁绕组，汽轮发电机，由于汽轮机的转速较高， 子做成隐极式的。~~

NNSSNSb)

a)

1-5 同步电机的基本结构图 隐极式 b) a) 凸极式为了能在结构上与凸极式同步发电机相近，同步电动机大都做成凸极式的，够自起动，一般还在转子磁极的极靴上装设类似于异步电动机的笼型起动绕组。所示是一台凸极式三相同步电动机的定、转子绕组分布示意图，定子三相1-1图dA相绕组轴线与转子C表示，转子上有励磁绕组f，定子B绕组分别用A、、???表示定子旋转磁场的同逆时针旋转，轴方向间的夹角为转子以电角速度，1??? 。（为简便计，此处暂不考虑笼型起动绕组）步角速度，在稳态运行时1 －5 －

交流电机的数学模型及参数关系第1章

?if

三相同步电动机的绕组分布图图1-1

三相同步电动机各绕组的电压平衡方程为2．电压方程

?d?A?i?uR? AAstd??d?B??Riu? BsBtd 1-12） （ ??d?C?Rui? CsCtd??d?f?iu?R? ffftd?????为为转子励磁绕组的磁链，式中，为定子各相绕组的磁链，R、、fsBACR 为励磁绕组的电阻。定子每相绕组的电阻，f 对于定子三相绕组和转子励磁绕组，磁链方程为?iMi?Mi?L?i?M?fBCAAfACAABA??iM?Mi??Mi?Li?fBBCCBfBBAAB ） （ 1-13??iLi?Mi?M?Mi??CfCfCAACBBCC??ii?Mi?M?Mi?L?ffCfBfAAfCfBLL、、L感互相绕组自相，式中定子各绕组的感间的子和定各CABM、M、、MMM、、M θ的函数，即均为转子角位移CBBCCABAAABC －6 －

第1章 交流电机的数学模型及参数关系

??2?LcosL?L?s2As0?π2??)2(??L?LcosL s2Bs03?π2??)Lcos2(?L?L?? Cs0s23 （1-14）???2M?M??M?Mcoss2CBBCs0?π2??)?2(?M?McosMM??? CAs0s2AC3?π2?)?M?cos2(?M?M??M s2s0ABBA3?分别是定子分别是定子绕组自感和互感的恒值分量，和其中，和MMLLs2s0s2s0 绕组自感和互感二倍频分量的幅值。为转子励磁绕组的自感，当不计齿槽效应时，定子铁心内圆为光滑圆柱，Lf的大小与转子位故无论转子转到什么位置，转子磁动势所遇磁阻不变，因而Lf 置无关，为常值。是励磁绕组与定子绕组间的互感，按气隙M、M、M、M、M、MfCCffABfAffB 磁场为正弦分布的假定，应有???cos?MM?MAfmAffA?π2?? ）（1-15 )?MM?Mcos(?? AfmBffB3?π2??)??Mcos(M?M? AfmCffC3? 为励磁绕组轴线与定子相绕组轴线重合时的互感。式中，MAfm）也是一组变系数的微分方程，该1-12可见，三相同步电动机的电压方程（ 方程可以简写为 ） （1-11 )u?Ri?LiRi?p(pψ? 分别为电压向量、电流向量和磁链向量，式中，ψi、u、?iu??????AAA???????iu??????BBBψui?,??, ） 1-17（ ???????iuCCC???????iu??????fffLR、 分别为电阻矩阵和电感矩阵， －7 －

第1章 交流电机的数学模型及参数关系

MMML00R0????AfACAABs????MLMM000R????BfBBABCs?,LR? ）（1-18 ????MMML000RCfCACBCs????LMMMR000????ffCfAfBf 可按下式计算），电磁转矩 根据式（5-113．转矩方程TempL?T0 1-19） （ i?iT em??2L?L?f 的函数。，其余元素仍为转子角位移中仅θ的偏导数式中，电感矩阵0?L ???? 永磁同步电动机的数学模型1.3

永磁同步电动机的定子与一般电励磁同步电动机的定子相 基本结构 1.

同，定子铁芯通常由带有齿和槽的冲片叠成，在槽中嵌入交流绕组。当三相对称转子部分则采用永磁体在气隙中产生同步旋转磁场。电流通入三相对称绕组时， 励磁。不仅无励磁损耗以及与集永磁同步电动机毋需再由直流电源提供励磁电流，使电动机的效率和功率因数大电环、电刷有关的损耗，而且可以提高功率因数，永磁同步电动机的无刷结构又是另一个突出的优为提高，具有显著的节能效果。点，与一般电励磁同步电动机相比，永磁体宛如一个集成块，集励磁电源、引入装置（集电环、电刷）和励磁绕组于一体，使转子结构得以简化。不仅如此，采以适用性能优良的永磁材料可以减小永磁体体积，并使转子磁路结构灵活多样，分别列举了永磁同步电动机两种典型的转子结构，图1-7应不同技术要求的需要。因而转子零件较不需要隔磁衬套，其中径向结构极间漏磁较少，可采用导磁轴，工艺也较简单；切向结构每极磁通由两块永磁体并联提供，可产生较大的气少， 隙磁通。

NNNSSSSNNSSSSNNNb)a)

永磁同步电动机的转子结构1-7 图 a) 径向结构 b) 切向结构 －8 －

第1章 交流电机的数学模型及参数关系

永磁同步电动机转子外径表面均匀，应属于隐极电机。但从几何结构上看，这是因为同步电机的主永磁同步电动机却属于凸极电机。是，从电气性能上看，交轴电枢反应磁路的磁导，分别决定于直、要参数直、交轴电枢反应电抗X、Xaqad；但在永磁同步电动机中，情况有所不同，在电励磁同步电动机中，X?Xaqad因因为在直轴磁路中有永磁体，永磁体的磁导率很低，其导磁性能与空气相似，而在交轴1-8a所示；而大大减小了直轴电枢反应的作用，表现为较小，如图Xad交轴电枢反应的主要是软铁极靴和套环类的磁性材料，导磁性能较好，磁路中， 。所示。因此，在永磁同步电动机中作用较大，较大，如图1-8bXXX?aqaqad

轴d

轴qNNSSSSNNb)a)

永磁同步电动机的电枢反应磁路1-8 图 b) 交轴磁路 a) 直轴磁路这里讨论的永磁同步电动机转子上装设有类似笼型转子异步电为具一般性，，使电动机具有自起动能力。当由三相交流电1-7所示）动机的笼型绕组（如图所以也称为源供电时，笼型绕组可以提供起动转矩，同时保护永磁体免于去磁， 起动绕组。所示是一台三相自起动永磁同步电动机定、转子的绕组分布示意图，1-9图相绕Am和笼型起动绕组。定子、AB、C三相绕组，转子上有永磁体定子上有??轴轴方向间的夹角为逆时针旋转，转子，转子以电角速度q组轴线与转子d轴方轴和dq轴沿逆时针方向超前d90o电角度。为简明起见，笼型起动绕组用来代替，并且已将起动绕组的参数折算到定子方，kqkd向上各自短路的绕组和 同时设永磁体交链于定子相绕组磁链的幅值保持不变。 －9 －

第1章 交流电机的数学模型及参数关系

B

kkAC

永磁同步电动机的绕组分布图图1-9

2．相坐标系统中的数学模型 (1) 电压方程。永磁同步电动机各绕组的电压平衡方程为?d?a?Riu?? aastd??d?b?Riu? ） （1-20 ? bbstd??d?c?i?uR ccs?td??d?kd?iu?R? ?kdkdkdtd ） （1-21 ??d?kq?Ri?u? kqkqkqtd? 为转子直、交轴起动绕组电阻。式中，为定子相绕组电阻，RRR、skqkd (2) 磁链方程。定、转子绕组的磁链方程为?cos???iMMLMM??????π2??aabcaaakdakqa???????)cos(????iLMMMM 3??????bbbabbkdbcbkq??π2???????iMLMMM? ?????)cos(?cckdbccckqcacm?????? 3???iLMM0M??????kdckdbkdkdkdakd1?????????iMLMM0????????kqkqbkqckqkqakq0?? ）（1-22M、、L、LL、MM 为定子相绕组间的互感，式中，为定子相绕组自感，cabccabba －10 －

第1章 交流电机的数学模型及参数关系

转子直轴起动绕组为转子直、交轴起动绕组的自感，M、M、MLL、ckdbkdakdkqkd转子交轴起动绕组与定子相绕组间的与定子相绕组间的互感，M、M、Mckqbkqakq? 互感，为永磁体交链于定子相绕组磁链的幅值。m 各电感系数由下式计算??2LcosL?L??s2s0a?π2??)(?L?Lcos2L? ）（1-23 ? s2s0b3?π2??)Lcos2(?L?L? s2s0c?3???2cos?M?MM??s2bcs0?π2??)?Mcos2(M??M? ）（ 1-24 ? s2s0ca3?π2??)?2M??M?Mcos( s2s0ab?3?L?L?L?σkdaadkd ）（1-25 ?L?L?L?kqaaqkqσ??cos?LM?aadakd?π2??)cos(?M?L 1-21） （ ? aadbkd3?π2??)cos(?M?L aadckd?3???sin?LM??aaqakq?π2??)?M?Lsin(? 1-27 ） （ ? aaqbkq3?π2??)sin(?M?L? aaqckq?3?MLLM分别是定式中， 和和分别是定子相绕组自感和互感的恒值分量，s2s2s0s0LL、分别是转子直、交轴起动子相绕组自感和互感的二倍频分量的幅值，σkqkdσL、L 分别是同步电机的直、交轴激磁电感。绕组的自漏感，aaqaadLL、前者是定子分别与通过气隙进入转子的定子磁链相对应，激磁电感aaqaad而后者是定子相绕组轴线与交轴重相绕组轴线与直轴重合时相应的相绕组自感， －11 －

第1章 交流电机的数学模型及参数关系

? 时），当合时相应的相绕组自感。设为定子相绕组自漏感，根据式（1-23L0?σs L?L?L?Ls2σs0saadπ?? 时，而当 2 L?L?L?Ls2σs0saaq 所以1?L??L)L?(L? σsaads0aaq2 ）（1-28 ?1?)?LL?(L aaqaads22?产生的直、交轴气隙磁场在定相绕组电流另外，根据互感的定义，定子Bib 相绕组中所形成的互感磁链为子Cπ22π2π2π????)sin(sin(???)cos()?)?LLicos(i bbaadaaq3333 相应的互感为ππ2π2π22????)??)cos(sin(?)?LLcos(sin(?) aaqaad3333M?（其中负号是因为相绕组轴线在空间互差设定子相绕组间的互漏感为3π/2σs C两相绕组间的总互感为，则定子B、电角度）π2π2π2π2????)sin(Lsin(??cos())??M?M?Lcos(?)? aaqaadsbcσ3333 11?2cosL(?L)?(LM???L)? aaqsσaadaadaaq24 1-24）比较可知将上式与式（1?M)?L?LM?(? σaads0aaqs4 ）（1-29 ?1?)L?L?M( aaqs2aad2?ML均和互漏感）和式（1-29），并考虑到定子绕组的自漏感由式（1-28σssσ1?LMLM?很小，对于理想的凸极同步电机而言，，。 s0s0s2s22 (3) 转矩方程。在有永磁体存在的电磁装置中，磁场储能为1TT?SiW?Lii? 1-30）（ mm2 式中， ）中的电感矩阵，为磁链方程（1-22L －12 －

第1章 交流电机的数学模型及参数关系

Tπ22π????? ，0cos(S?cos)?)cos(1??? 33??T]iii?[iii 。kqcakdb ），电磁转矩可按下式计算根据式（5-11TemW?SL?1?T?m 1-31） （)?(T?ip?i mem0????2??m将静止的相坐标系 由于转子结构不对称，-q-0坐标系统中的数学模型 3．dddqABC、-统中的定子三相绕组变换为随转子一起旋转的、坐标系统中的、-0q 两相绕组，可使数学模型得到简化。采用的坐标变换式为π22π???????)coscos()cos(?? 33??π22π2?????)?)?sin??sin(sin(C?? （ 1-32） 333??111???? 222?? 其相应的反变换式为????1sin?cos????π2π21?????C?))??sin(cos(1? 1-33） （ 33??ππ22????1)?sin()cos(???? 33?? 即有如下关系式T1T?][uu[uu]u?Cu （1-34） 0cbdqaT1T?]ii[ii]i?Ci[ （ 1-35 ） 0cdqabT?1T??????]][?C[ 1-31（ ） 0dbcaq 该变换满足合成磁动势不变约束。-0）中，不计零序分量，可得1-20d-q(1) 电压方程。将上面三式代入式（ 坐标系统中的定子电压方程????pu?Ri??qsddd 1-37）（ ?????iR?p?u?qqsqd?? 式中，为电角频率。p? －13 －

第1章 交流电机的数学模型及参数关系

。1-21）转子电压方程无需变换，仍为式（坐标系-0-q）代入式（1-22）中，可得d(2) 磁链方程。将式（1-35）、（1-31 统中的定、转子磁链方程???ii?L?L?mkddddaad 1-38） （ ??iLL?i??kqqqqaaq???ii?L?L?mdkdadkdkd ） （1-39 ??iLLi???kqqkqkqaq 为直、交轴同步电感。式中，为直、交轴电枢反应电感，LLL、L、qdaqad 各电感系数之间的关系为3?L?L? aadad2 ）（1-40 ?3?L?L aaqaq2?L??LL?σadd 1-41） （ ?L?L?L?qσaq 式中，为定子绕组漏感Lσ ） （1-42 ML?L?σσsσs，经），并利用磁链方程（1-38转矩方程。把式（1-35）代入式（1-29）(3)

的表达式-0坐标系统中电磁转矩推导，可得d-qTem3??)?iiT?p( ）（1-43 ddemq0q2 1.4 无刷直流电动机的数学模型堵转转矩大等优点而在各种运动控制系统中等直流电动机由于调速性能好、运行时所形成的机械摩擦到广泛应用，但是直流电动机具有电刷和换向器装置，电因摩擦而产生的火花还会引起无线电干扰。严重影响了电机的精度和可靠性，刷和换向器装置使直流电动机结构复杂、噪音大，维护也比较困难。所以，长期以来人们在不断寻求可以不用电刷和换向器装置的直流电动机。随着电子技术、这种电动机利用电诞生了无刷直流电动机。计算机技术和永磁材料的迅速发展，子开关线路和位置传感器来代替电刷和换向器，既具有直流电动机的运行特性，它的转速不再受机械又具有交流电动机结构简单、运行可靠、维护方便等优点，无刷直流换向的限制，可以制成转速高达每分钟几十万转的高速电动机。因此， 伺服电动机和力矩电动机等使用。电动机用途非常广泛，可作为一般直流电动机、 －14 －

第1章 交流电机的数学模型及参数关系

无刷直流电动机由电动机本体、电子开关线路和转子位置传 1. 基本结构所示，其中直流电源通过开关线路向电感器三部分组成，其系统构成如图1-10并提供信号控制开关线动机定子绕组供电，位置传感器检测电动机的转子位置， 使之按照一定的规律导通和关断，从而控制电动机的转动。路中的功率开关器件，所示，其中电动机结构与永磁同步电无刷直流电动机的基本结构如图1-11主要有表面式和内动机相似，转子是由永磁材料制成的具有一定极数的永磁体，所示。定子是电动机的电枢，嵌式两种结构，其中表面式最为常见，如图1-12各相绕组分别与电子开定子铁心中安放着对称的多相绕组，可接成星形或角形，1-11关线路中的相应开关器件相连接，电子开关线路有桥式和非桥式两种。图 表示的是常用的三相星形桥式连接方式。其作用是检测转子磁场相对于定位置传感器是无刷直流电动机的重要部分， 子绕组的位置。它有多种结构形式，常见的有电磁式、光电式和霍尔元件。

负载直流电源电动机本体开关线路位置传感器

无刷直流电动机的系统构成图1-10

SSS513AΩaUbNdcSCBSSS264

1-11 无刷直流电动机的基本结构图隔磁块永磁体

隔磁套

转子铁心NSSNNSSN紧圈SNNSNSNS转轴b)a)

无刷直流电动机的转子结构图1-12

内嵌式 b) a) 表面式

－15 －

第1章 交流电机的数学模型及参数关系

由于无刷直流电动机的气隙磁场、感应电动势以及电枢电流 2. 电压方程都是非正弦的，所以采用直、交轴坐标变换已不是有效的分析方法。通常，直接 利用电动机本身的相变量来建立数学模型，既简明又具有较好的准确度。转子各方向磁路的磁阻基本上1-12a所示的表面式永磁体转子结构，对于图均为常值。这不随转子位置的变化而改变，所以定子相绕组的自感和互感ML 样，定子三相绕组的电压平衡方程为eiLMM0uR0i????????????aaaa????????????piMiLu??R0?M0e ）（1-44 ????????????bbbb????????????eiu0LM0RiM????????????cccc为为定子相绕组电流，式中，为定子相绕组电压，eei、e、u、u、i、i、ucabcaacbb 为定子相绕组电阻。定子相绕组感应电动势，R Y联接且没有中线时，应有当三相绕组为 1-45） （ 0i??i?icba 并且 ）（1-41 Mi??Mi?Miacb ，得到电压方程）将以上两式代入式（1-4400uR0iM0eiL?????????????aaaa????????????piL?R0u?000ie?M? ????????????bbbb????????????eM0ui00L?Ri0????????????cccc ）（1-47 所示。根据电压方程，可以画出无刷直流电动机的等效电路，如图1-13iM?LRa

uaeaeecbiRML?bubiRM?Lcuc

无刷直流电动机的等效电路图1-13

转矩方程。无刷直流电动机的电磁功率为3.

ie?i?eieP? ）1-48（ cabbcema 所以，相应的电磁转矩为 －16 －

第1章 交流电机的数学模型及参数关系

i?eiei?ePcacaembb 1-49） （ ?T? em??? 是转子旋转的机械角速度。式中，因此就电动机本体而言，无刷直流电动机是一台方波型的永磁同步电动机，例如其结构及性能与永磁同步电动机有诸多相似之处。但也存在一些重要区别，并根据转永磁同步电动机可以利用旋转变压器或旋转编码器连续检测转子位置，以确保定子旋转磁动势与转子磁动子的转速随时调整定子侧逆变器的控制频率，而无刷直流电动机则仅需检测势同步，因此所产生的电磁转矩基本上是恒定的；转子的若干位置即可，根据这些位置便可决定定子侧逆变器开关器件的通断时这也是无刷直流刻，从而保证定子旋转磁动势在平均意义上与转子磁动势同步，事实上，电动机属于同步电动机的原因，因此所产生的电磁转矩存在一定的脉动。影响无刷直流电动机转矩脉动的因素是很多的，主要包括电磁因素、电流换相、[23] 齿槽效应、电枢反应以及机械加工等。交流电机的参数计算1.5

1.5.1 笼型绕组的多回路模型为了正确分析笼笼型绕组根据其作用的不同，又称为起动绕组或阻尼绕组。笼型绕组实际上包含多条型绕组在交流电机中的作用，有必要采用多回路模型。笼型导条的数目越多，电流回路就越多，所以可以采用多回路的方法电流回路，来模拟笼型绕组。原则上说，电流回路的选取方法是多种多样的，只要包含（或mq轴方向把笼型绕组分为两大组：覆盖）所有导条和端环就行。这里按照d、 1-14所示。d轴回路和n条q轴回路，如图条 n的计算公式为轴回路数m和q轴回路数设每极导条数为，则dbb?为偶数时）bm?n?（? 2 （1-50） ?1b?1b??为奇数时）（n?bm?, 22? d、q轴回路的电压方程为按照电动机惯例所规定的正方向，?dm??dim,,,ii?1,?0?2R?? djijdtd?1j? 1-51） （??dn??qin,1?,2,,?0?iRi? qijqj?td?1j?RRR（或个回路的电阻（称为自电阻），轴的第其中，、分别为d轴和qidiidijiiqR个回路之间的互电阻。互电阻的出现个回路与第jiqd）为轴（或轴）第qij －17 －

第1章 交流电机的数学模型及参数关系

实际上是由于列电压平衡方程而是由于在导条和端环里流过了不同回路的电流， 引入的参数，没有直接的物理意义。 3251431245qddi3322qii1q1qiiiiiiii1d2d1d2d1d1d2d2d

1-14 笼型绕组的多回路模型图根据由状态方程计算得上述方法是根据导条的实际分布情况来划分回路的。通过代数运算可以进一步计算出每一根导条和每一段端环的实出的各回路电流，，1-50）际电流值。下面以每极有5根导条为例进行说明，此时按照式（个短路的绕组交轴方向有32个短路的绕组，，即直轴方向有2d3、1d?m2，n? 个导条电流为1-14容易看出，笼型绕组的5。由图3q、1q、2qi2i??q3B1?i?i?i?q1d2B2?i??ii 1-52） （ ?q2dB31?i?i??i4B1d2q?i??i?i??q1d2B5 个端环电流为笼型绕组的5i?i??ii?q1qq32R1?i?i?ii??qq3R22d2?ii??ii? ） （1-53 ?q2d1d33R?iii?i??qd321R4d?ii?i?i???q2q3d5R2 －18 －

第1章 交流电机的数学模型及参数关系

电感参数的解析计算1.5.2

电励磁三相凸极同步电机具有代表性，其气隙 电感计算的一般化公式 1.

最大，变化周轴方向气隙长度最小，q是不均匀的， d轴方向气隙长度ggminmax π，可以用下面的气隙分布函数来表述，期为1??? 1-54） （ ?g ???2?cos20? 为转子位置自变量。因为其中，1??)(?0?g? min???? 20?π1??)(??g max???2??20????111111?????? ，所以，。???????? 20ggg22g????maxminminmax[3] 这样，电感计算的一般化公式为??NlN???????yx0??????2 ） （1-55?L?2cos???cos?? 0xyxxyy2p4??0??Np、是气隙磁导率，是电机极距，是铁芯有效长，式中，是电机极对数，lx00??相、、x相等效正弦分布绕组的每相串联匝数，分别是x相、y分别是Nxyy?相绕组轴线轴与定子d相绕组轴线与定子a相绕组轴线间的夹角，a是转子y 1-15所示。间的夹角，如图B

q1q2qdf3q1d2dθ?AC

凸极同步电机的结构示意图图1-15

－19 －

第1章 交流电机的数学模型及参数关系

定子绕组的自感和互感2.

π2π2??????，得 (1) 定子相绕组的自感。将、、）代入式（1-550? bca33 到定子相绕组主自感??2Lcos?L?L?s2s0aa?π2??)?cos2(L?L?L ）（1-51 ? s2bbs03?π2??)?cosL?L?L2( s2ccs0?3? 分别为主自感的恒定分量与倍频分量，式中，、LLs2s022????lNlNs0s0?? ，?LL? 202ss0p84p004NkN?N为定子每相绕组为定子每相等效正弦分布绕组的串联匝数，，N 1sw1sπ 的实际串联匝数，为定子相绕组的基波绕组系数。kw为定子相绕组的自漏感（包括槽漏感、端部漏磁、齿顶漏感及谐波漏设Lσs 感等），则定子相绕组的全自感为??2?LLcosL?L?L?L??s2sσs0σsaaa?π2??）2（??L?LcosLL?L?L? 1-57） （ ? s2bbσss0σbs3?π2??）?LL??L?Lcos2（L?L? s2σss0csσcc?3?（忽，定子相绕组间的互感可表示为根据式（1-55）(2) 定子相绕组间的互感。M ）略定子相绕组间的互漏感σsL?s0?2?LcosM?M??? bcs2cb2?Lπ2?s0??M?M?）?cos?L2（ ） 1-58 （? acs2ca32?Lπ2?s0?）??MM??cos?L2（ s2baab?32? 转子绕组的自感和互感3.

转子绕组的自感。(1)

1?k。由于励磁绕组为整距集中绕组，其基波绕组系数励磁绕组的自感。1) f －20 －

第1章 交流电机的数学模型及参数关系

为励磁绕组每极串联匝数，则励磁绕组的等效正弦分布绕组串联匝数设Nf4NkN? 。 frffπ?? ，得到励磁绕组的主自感代入式（将1-55）?f2??N????rfLLL?? ） （1-59 ?? s2s0ffN??s为励磁绕组的自漏感（包括励磁绕组端部漏感、极间漏感及极面漏感设Lσf ，则励磁绕组的全自感为等）2??N????rfL?L?L?LL?L? ）（ 1-10 ?? s2fffs0fσfσN??s个阻尼绕组为短距集k。由于直轴第（k=1,2）2) 直轴第k个阻尼绕组的自感?πy??dk?dk?个阻为直轴第k，其中中绕组，其基波绕组系数，ysin?k?? dkdkdk?2??，则直个阻尼绕组的每极串联匝数（）尼绕组的节距。设为直轴第k1NN?dkkd4NkN? 轴第k个阻尼绕组的等效正弦分布绕组串联匝数。 ddkrkdkπ?? k个阻尼绕组的主自感1-55将），得到直轴第代入式（?dk2??N????dkrLL?L? ）（1-11 ?? s2ds0kkN??s个阻尼绕组槽部漏感、k个阻尼绕组的自漏感（包括直轴第设为直轴第kLσkd 个阻尼绕组的全自感为，则直轴第k端部漏感及极顶漏感等）2??N????drkL?L??L?LL?L ） （ 1-12?? σdddσds2s0kkkkkN??s个阻尼绕组也是短k。由于交轴第）k个阻尼绕组的自感（k=1,2,33) 交轴第?πy??qkqk????k，其中为交轴第，距集中绕组，其基波绕组系数ysink??? qkqkqk?2??1NN?，为交轴第k个阻尼绕组的每极串联匝数（）个阻尼绕组的节距。设qkkq4NN?k 则交轴第。个阻尼绕组的等效正弦分布绕组串联匝数k qqqrkkkπ －21 －

第1章 交流电机的数学模型及参数关系

π???? k个阻尼绕组的主自感1-55），得到交轴第代入式（将 qk22N????qrk??L??LL （1-13） ?? s2s0kkqN??s个阻尼绕组槽部漏感、个阻尼绕组的自漏感（包括交轴第k设为交轴第kLσkq ，则交轴第k个阻尼绕组的全自感为端部漏感及极顶漏感等）2N????qrk??LL??L?L?L?L 1-14 ）（?? σqqσqqs2kkkks0kN??s (2) 转子绕组间的互感。????代将、1) 励磁绕组与直轴第k个阻尼绕组间的互感（k=1,2）。??fdk （忽略互漏感），得到励磁绕组与直轴第k个阻尼绕组间的互感入式（1-55）MσdfkNN??dkrrf ） （1-15 LM??LM? s2kdffkds02Ns??，得到直轴）=1,22) 直轴阻尼绕组间的互感。将）代入式（1-55（k?dk ）阻尼绕组间的互感（忽略互漏感Mσ12dNN??dr1d2rLML??M? （1-11） s221d12ds02Nsπ????，得到1-55）3) 交轴阻尼绕组间的互感。将（k=1,2,3）代入式（ qk2 交轴阻尼绕组间的互感（忽略互漏感）Mσ?1)qk(kNN???r2qr1q?LMM?L?? q2112s2qs02N?sNN???r3qr1q （1-17） ?L?L?MM? qs231s013q2N?sNN???r3qr2q??MLL?M? qs0qs232232N?s转子绕组的漏感。因为转子绕组之间的互漏感非常小，通常不予考虑，(3)

所以这里仅说明转子绕组自漏感的计算方法。[3] 励磁绕组的自漏感。励磁绕组的自漏感可按以下经验公式进行计算1)

2??lpN?L2 （1-18） mfσ0σf0f －22 －

交流电机的数学模型及参数关系1章 第 ? 是转子铁芯长，是励磁回路的比漏磁导。式中，lσfmaadbhpp2t?mm )0.44)1?.15(()?0)?1.75(?.20)?1.27(?0.525?4.00(?0. σflccccmpppm ）（ 1-19 式中，2? ，)D/(?h4?bd?ippt ，?)p/(2?b?2πdc?0ppt ，??)2h?2p)/(c???b?π(h20mmpm 2)/?a(b?bmpp?分别为极为气隙长，为定子铁芯内径，分别为极靴高和宽，bh、Dbh、mmipp 身高和宽，如图1-11所示。tb2p

m

1-11 凸极同步电机的转子磁极图 2) 笼型绕组的自漏感。首先，计算每根阻尼导条的漏电感??? ） （1-70 )?L?l(tBarB0c??l 为槽比漏磁导，式中，为齿顶比漏磁导。为导条长，Btcbs2?1 hds2?2?64.30?0.0? 1-71） （ cbbs2?1s2 d2?22)?(1b???221s2? ）（ 1-72???lnarctg tππbb2bs2s2s2dbh、 为导条孔的直径，式中，分别为导条孔的高和宽2s2s2 其次，计算每段端环的漏电感

－23 －

第1章 交流电机的数学模型及参数关系

?lt2e20 ）（1-73 )0L?.(ln25? Ringπ2re 为端环截面的等效半径。式中，为每段端环长，为端环到转子端面的距离，trl2ee，则极间阻尼环的漏电）设磁极之间起连接作用的阻尼环长度为（图1-11tj2 感为tj2 （1-74） L?L RingjRingt2 这样，直轴第个阻尼绕组的自漏感为k （1-75） )21?L2L?4kL(k?,RingσkdBar 交轴第个阻尼绕组的自漏感为k 1-71） （)2,3LL?4(k－1)(k?1,?L2L?2RingσkqBarjRing 4. 定、转子绕组间的互感π2π2??????、、、(1) 定子相绕组与转子励磁绕组间的互感。将0? bca33??）1-55，得到定子相绕组与转子励磁绕组间的互感（忽略互漏感代入式（?fM ）σsf??cos?MM?M?afmfaaf?π2??)cos(M?M?M? ） （1-77? afmfbbf3?π2??)??MMcos(M? afmcffc?3?N??rfLL?M? 。式中， 2safm0sNsπ2???0?、。将、(2) 定子相绕组与转子直轴阻尼绕组间的互感 ba3π2??????k，得到定子相绕组与转子直轴第、）k （=1,2）代入式（1-55 cdk3M ）个阻尼绕组间的互感（忽略互漏感σdsk －24 －

第1章 交流电机的数学模型及参数关系

??cos?MM?M?dmkkakddaa?π2??)cos(??M?MM 1-78） （? dmkdbabkdk3?π2??)cos(??M?MM dmkdkdcack?3?N??drk 。式中，LL??M s2dms0akNsπ2???、、(3) 定子相绕组与转子交轴阻尼绕组间的互感。将0? ba3π2π???????，得到定子相绕组与转子交1-55） （、k=1,2,3）代入式（ qck23 个阻尼绕组间的互感（忽略互漏感）轴第kMσskq??sin?M??MM?qmkkqaaakq?π2??)?Msin(?M?M? 1-79） （? qmkakqkqbb3?π2??)?Msin(M?M?? qmqcakckqk?3?N??qkr 。式中，L?ML? s2aks0qmNs 1.5.3 磁路饱和问题的处理在电机系统仿一般来说，磁路饱和效应对于电机的运行性能有较大的影响，在电机数学模型中考虑磁真中如何简便而又有效地考虑这种效应是非常重要的。通常处路饱和效应，就意味着模型中的电感参数是随电机的运行状态而变化的，事先得到电机的空载特性曲线或磁化特性曲理的方法是通过计算或实验的手段，这种处理方法只适合某线，然后根据该曲线得到电感参数的饱和修正值。但是，种特定情况下（如额定工况）的仿真，因为电机的运行状态是多种多样的，磁路 饱和程度将随着各激励源的大小而变化。 由此可见，磁路饱和问题的处理应该从以下三个方面来考虑： 1) 要适应电机运行状态的变化。 要与数学模型及仿真模型相结合。2)

要与参数计算手段或实验测试方法相匹配。3)

q 交流电机的磁路饱和问题比较复杂，不仅d、 1. 磁化电流——饱和因子轴磁路之间的饱和q、、轴磁路的饱和程度分别受到dq轴磁动势的影响，而且d[58]这程度也会相互影响，。这就是所谓的交叉饱和效应对于三相凸极同步电机，计算里采用一种基于磁场计算或实验测试的饱和因子法，该方法不仅概念清楚， －25 －

第1章 交流电机的数学模型及参数关系

简便，而且可以较好地与电机模型相结合。同时也关系到电感参数计算与所建立的电机模型有关，饱和因子如何选取，、、的等效磁化电流、的难易，这里选用分别正比于dq轴合成磁动势iFFdmdmqm 、的选取方法。作为某电感的饱和因子。下面具体说明饱和因子iiiLdmqmqm三相绕组，、C定子A、B设三相凸极同步电动机正处于图1-15所示的位置，T，转转子采用笼型多回路模型，各绕组电流为]iii[iiiiiiI?3q1qa1db2qc2df? 。子位置角为轴方q轴，并进行合成，可得定子在d、d将各定子电流分别投影到轴和q 向上的磁化电流为π22π????)icos(cos(??)i?icos??i? acdb33 1-80） （?π2π2????)isin(?)?isin(sini??i?? cabq33? 总的磁化电流为i??Niii?Ni??2dfddm1dsf ）（1-81 ?i?ii?Ni?i??qmsq1q2q3q 为定子相绕组的有效串联匝数，为励磁绕组的有效串联匝数。式中，NNfsii的大小（包括正负）决定了电机磁路的 饱和因子、2. 二元函数关系 dmqm是上述两个饱和因子饱和程度，因此可以认为电机数学模型中的某电感系数L。在仿真计算时，采用二元函数插值的方法的二元函数，记为、i)ii,L(idmqmqmdm 就可以方便地得到所需要的电感系数值。在由磁场计算或实验测试求取某一电感值时，可以 3. 对电感数据的要求

ii、只要保证磁化电流合理选取各绕组电流的大小，以及转子位置角的大小，dmqm所1-17的变化范围基本符合电机的实际运行情况。最后得到的结果应该类似图 示的曲线或二维数组，这样仿真时便可以进行插值处理。 －26 －

第1章 交流电机的数学模型及参数关系

LL

0.30.34i(1)(1)i4????dmqm2)i(2()i22????0.20.2dmqm03()i0i(3)??dmqm2i2)(4i(4)??0.10.1dmqm4i(5)i(54)??dmqmii860-8-6-424-28620-6-8-44-2qmdma) b)

图1-17 凸极同步电机的饱和电感曲线

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交流电机的数学模型及参数关系