2020年湖北省十堰市中考数学试卷

一、选择题：

1．（3分）气温由﹣2℃上升3℃后是（　　）℃．

A．1 B．3 C．5 D．﹣5

2．（3分）如图的几何体，其左视图是（　　）

A． B． C． D．

3．（3分）如图，AB∥DE，FG⊥BC于F，∠CDE=40°，则∠FGB=（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°

4．（3分）下列运算正确的是（　　）

A． B． C． D．

5．（3分）某交警在一个路口统计的某时段来往车辆的车速情况如表：

则上述车速的中位数和众数分别是（　　）

A．50，8 B．50，50 C．49，50 D．49，8

6．（3分）下列命题错误的是（　　）

A．对角线互相平分的四边形是平行四边形

B．对角线相等的平行四边形是矩形

C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形

D．对角线互相垂直的矩形是正方形

7．（3分）甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与做60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（　　）

A． B． C． D．

8．（3分）如图，已知圆柱的底面直径BC=，高AB=3，小虫在圆柱表面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（　　）

A． B． C． D．

9．（3分）如图，10个不同的正偶数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和，如，表示a1=a2+a3，则a1的最小值为（　　）

A．32 B．36 C．38 D．40

10．（3分）如图，直线y=x﹣6分别交x轴，y轴于A，B，M是反比例函数y=（x＞0）的图象上位于直线上方的一点，MC∥x轴交AB于C，MD⊥MC交AB于D，AC•BD=4，则k的值为（　　）

A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6

二、填空题

11．（3分）某颗粒物的直径是0.0000025，把0.0000025用科学记数法表示为　 　．

12．（3分）若a﹣b=1，则代数式2a﹣2b﹣1的值为　 　．

13．（3分）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED=　 　．

14．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC=6，BD=5，则BC的长为　 　．

15．（3分）如图，直线y=kx和y=ax+4交于A（1，k），则不等式kx﹣6＜ax+4＜kx的解集为　 　．

16．（3分）如图，正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG分别交AE，AF于M，N．下列结论：①AF⊥BG；②BN=NF；③=；④S四边形CGNF=S四边形ANGD．其中正确的结论的序号是　 　．

三、解答题（本大题共9小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（5分）计算：|﹣2|+﹣（﹣1）2020．

18．（6分）化简：（+）÷．

19．（7分）如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？

20．（9分）某中学艺术节期间，学校向学生征集书画作品，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班（用A，B，C，D表示），对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．

请根据以上信息，回答下列问题：

（1）杨老师采用的调查方式是　 　（填“普查”或“抽样调查”）；

（2）请你将条形统计图补充完整，并估计全校共征集多少件作品？

（3）如果全校征集的作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，现要在获得一等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别相同的概率．

21．（7分）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2．

（1）求实数k的取值范围；

（2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值．

22．（8分）某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱．

（1）写出y与x中间的函数关系书和自变量x的取值范围；

（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？

23．（8分）已知AB为⊙O的直径，BC⊥AB于B，且BC=AB，D为半圆⊙O上的一点，连接BD并延长交半圆⊙O的切线AE于E．

（1）如图1，若CD=CB，求证：CD是⊙O的切线；

（2）如图2，若F点在OB上，且CD⊥DF，求的值．

24．（10分）已知O为直线MN上一点，OP⊥MN，在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，AC∥OP交OM于C，D为OB的中点，DE⊥DC交MN于E．

（1）如图1，若点B在OP上，则

①AC　 　OE（填“＜”，“=”或“＞”）；

②线段CA、CO、CD满足的等量关系式是　 　；

（2）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α（0°＜α＜45°），如图2，那么（1）中的结论②是否成立？请说明理由；

（3）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α（45°＜α＜90°），请你在图3中画出图形，并直接写出线段CA、CO、CD满足的等量关系式　 　．

25．（12分）抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（m，0），与y轴交于C．

（1）若m=﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；

（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧的抛物线上有一点E，使S△ACE=S△ACD，求点E的坐标；

（3）如图2，设F（﹣1，﹣4），FG⊥y于G，在线段OG上是否存在点P，使∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

2020年湖北省十堰市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：

1．（3分）（2020•十堰）气温由﹣2℃上升3℃后是（　　）℃．

A．1 B．3 C．5 D．﹣5

【分析】根据有理数的加法，可得答案．

【解答】解：由题意，得

﹣2+3=+（3﹣2）=1，

故选：A．

【点评】本题考查了有理数的加法，异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值．

2．（3分）（2020•十堰）如图的几何体，其左视图是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据从左边看得到的图象是左视图，可得答案．

【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，

故选：B．

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图象是左视图．

3．（3分）（2020•十堰）如图，AB∥DE，FG⊥BC于F，∠CDE=40°，则∠FGB=（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°

【分析】先根据平行线的性质，得到∠B=∠CDE=40°，直观化FG⊥BC，即可得出∠FGB的度数．

【解答】解：∵AB∥DE，∠CDE=40°，

∴∠B=∠CDE=40°，

又∵FG⊥BC，

∴∠FGB=90°﹣∠B=50°，

故选：B．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．

4．（3分）（2020•十堰）下列运算正确的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．

【解答】解：A、与不能合并，所以A选项错误；

B、原式=6×2=12，所以B选项错误；

C、原式==2，所以C选项准确；

D、原式=2，所以D选项错误．

故选C．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

5．（3分）（2020•十堰）某交警在一个路口统计的某时段来往车辆的车速情况如表：

则上述车速的中位数和众数分别是（　　）

A．50，8 B．50，50 C．49，50 D．49，8

【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列，第10、11个数的平均数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是50，得到这组数据的众数．

【解答】解：要求一组数据的中位数，

把这组数据按照从小到大的顺序排列，第10、11两个数的平均数是50，

所以中位数是50，

在这组数据中出现次数最多的是50，

即众数是50．

故选：B．

【点评】本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．

6．（3分）（2020•十堰）下列命题错误的是（　　）

A．对角线互相平分的四边形是平行四边形

B．对角线相等的平行四边形是矩形

C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形

D．对角线互相垂直的矩形是正方形

【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．

【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形是正确的，不符合题意；

B、对角线相等的平行四边形是矩形是正确的，不符合题意；

C、一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形，原来的说法错误，符合题意；

D、对角线互相垂直的矩形是正方形是正确的，不符合题意．

故选C．

【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定定理，难度不大．

7．（3分）（2020•十堰）甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与做60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】设甲每小时做x个零件，根据题意可得，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，据此列方程．

【解答】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x﹣6）个零件，

由题意得，=．

故选A．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．

8．（3分）（2020•十堰）如图，已知圆柱的底面直径BC=，高AB=3，小虫在圆柱表面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（　　）

A． B． C． D．

【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．

【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．

在RT△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=3，

所以AC=3，

∴从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为2AC=6，

故选D．

【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．

9．（3分）（2020•十堰）如图，10个不同的正偶数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和，如，表示a1=a2+a3，则a1的最小值为（　　）

A．32 B．36 C．38 D．40

【分析】由a1=a7+3（a8+a9）+a10知要使a1取得最小值，则a8+a9应尽可能的小，取a8=2、a9=4，根据a5=a8+a9=6，则a7、a10中不能有6，据此对于a7、a10，分别取8、10、12、14检验可得，从而得出答案．

【解答】解：∵a1=a2+a3

=a4+a5+a5+a6

=a7+a8+a8+a9+a8+a9+a9+a10

=a7+3（a8+a9）+a10，

∴要使a1取得最小值，则a8+a9应尽可能的小，

取a8=2、a9=4，

∵a5=a8+a9=6，

则a7、a10中不能有6，

若a10=8，则a6=a9+a10=12，

∴a7=14，则a4=14+2=16、a2=16+6=22、a3=6+12=18、a1=18+22=40；

综上，a1的最小值为40，

故选：D．

【点评】本题主要考查数字的变化类，根据题目要求得出a1取得最小值的切入点是解题的关键．

10．（3分）（2020•十堰）如图，直线y=x﹣6分别交x轴，y轴于A，B，M是反比例函数y=（x＞0）的图象上位于直线上方的一点，MC∥x轴交AB于C，MD⊥MC交AB于D，AC•BD=4，则k的值为（　　）

A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6

【分析】过点D作DE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，然后求出OA与OB的长度，即可求出∠OAB的正弦值与余弦值，再设M（x，y），从而可表示出BD与AC的长度，根据AC•BD=4列出即可求出k的值．

【解答】解：过点D作DE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，

令x=0代入y=x﹣6，

∴y=﹣6，

∴B（0，﹣6），

∴OB=6，

令y=0代入y=x﹣6，

∴x=2，

∴（2，0），

∴OA=2，

∴勾股定理可知：AB=4，

∴sin∠OAB==，cos∠OAB==

设M（x，y），

∴CF=﹣y，ED=x，

∴sin∠OAB=，

∴AC=﹣y，

∵cos∠OAB=cos∠EDB=，

∴BD=2x，

∵AC•BD=4，

∴﹣y×2x=4，

∴xy=﹣3，

∵M在反比例函数的图象上，

∴k=xy=﹣3，

故选（A）

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是根据∠OAB的锐角三角函数值求出BD、AC，本题属于中等题型．

二、填空题

11．（3分）（2020•十堰）某颗粒物的直径是0.0000025，把0.0000025用科学记数法表示为　2.5×10﹣6　．

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：0.0000025用科学记数法表示为2.5×10﹣6，

故答案为：2.5×10﹣6．

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

12．（3分）（2020•十堰）若a﹣b=1，则代数式2a﹣2b﹣1的值为　1　．

【分析】原式前两项提取2变形后，将a﹣b=1代入计算即可求出值．

【解答】解：∵a﹣b=1，

∴原式=2（a﹣b）﹣1=2﹣1=1．

故答案为：1．

【点评】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

13．（3分）（2020•十堰）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED=　20°　．

【分析】由菱形的性质可知O为BD中点，所以OE为直角三角形BED斜边上的中线，由此可得OE=OB，根据等腰三角形的性质和已知条件即可求出∠OED的度数．

【解答】解：

∵四边形ABCD是菱形，

∴DO=OB，

∵DE⊥BC于E，

∴OE为直角三角形BED斜边上的中线，

∴OE=BD，

∴OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB，

∵∠ABC=140°，

∴∠OBE=70°，

∴∠OED=90°﹣70°=20°，

故答案为：20°．

【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质，得到OE为直角三角形BED斜边上的中线是解题的关键．

14．（3分）（2020•十堰）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC=6，BD=5，则BC的长为　8　．

【分析】连接BD，根据CD是∠ACB的平分线可知∠ACD=∠BCD=45°，故可得出AD=BD，再由AB是⊙O的直径可知△ABD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出BC的长．

【解答】解：连接BD，

∵∠ACB=90°，

∴AB是⊙O的直径．

∵ACB的角平分线交⊙O于D，

∴∠ACD=∠BCD=45°，

∴AD=BD=5．

∵AB是⊙O的直径，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴AB===10．

∵AC=6，

∴BC===8．

故答案为：8．

【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．

15．（3分）（2020•十堰）如图，直线y=kx和y=ax+4交于A（1，k），则不等式kx﹣6＜ax+4＜kx的解集为　1＜x＜　．

【分析】根据题意得由OB=4，OC=6，根据直线y=kx平行于直线y=kx﹣6，得到===，分别过A，D作AM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，则AM∥DN∥y轴，根据平行线分线段成比例定理得到==，得到ON=，求得D点的横坐标是，于是得到结论．

【解答】解：如图，由y=kx﹣6与y=ax+4得OB=4，OC=6，

∵直线y=kx平行于直线y=kx﹣6，

∴===，

分别过A，D作AM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，

则AM∥DN∥y轴，

∴==，

∵A（1，k），

∴OM=1，

∴MN=，

∴ON=，

∴D点的横坐标是，

∴1＜x＜时，kx﹣6＜ax+4＜kx，

故答案为：1＜x＜．

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．

16．（3分）（2020•十堰）如图，正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG分别交AE，AF于M，N．下列结论：①AF⊥BG；②BN=NF；③=；④S四边形CGNF=S四边形ANGD．其中正确的结论的序号是　①③　．

【分析】①易证△ABF≌△BCG，即可解题；

②易证△BNF∽△BCG，即可求得的值，即可解题；

③作EH⊥AF，令AB=3，即可求得MN，BM的值，即可解题；

④连接AG，FG，根据③中结论即可求得S四边形CGNF和S四边形ANGD，即可解题．

【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=BC=CD，

∵BE=EF=FC，CG=2GD，

∴BF=CG，

∵在△ABF和△BCG中，，

∴△ABF≌△BCG，

∴∠BAF=∠CBG，

∵∠BAF+∠BFA=90°，

∴∠CBG+∠BFA=90°，即AF⊥BG；①正确；

②∵在△BNF和△BCG中，，

∴△BNF∽△BCG，∴==，

∴BN=NF；②错误；

③作EH⊥AF，令AB=3，则BF=2，BE=EF=CF=1，

AF==，

∵S△ABF=AF•BN=AB•BF，

∴BN=，NF=BN=，

∴AN=AF﹣NF=，

∵E是BF中点，

∴EH是△BFN的中位线，

∴EH=，NH=，BN∥EH，

∴AH=，=，解得：MN=，

∴BM=BN﹣MN=，MG=BG﹣BM=，

∴=；③正确；

④连接AG，FG，根据③中结论，

则NG=BG﹣BN=，

∵S四边形CGNF=S△CFG+S△GNF=CG•CF+NF•NG=1+=，

S四边形ANGD=S△ANG+S△ADG=AN•GN+AD•DG=+=，

∴S四边形CGNF≠S四边形ANGD，④错误；

故答案为 ①③．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了相似三角形的判定和对应边比例相等的性质，本题中令AB=3求得AN，BN，NG，NF的值是解题的关键．

三、解答题（本大题共9小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（5分）（2020•十堰）计算：|﹣2|+﹣（﹣1）2020．

【分析】原式利用绝对值的代数意义，立方根定义，以及乘方的意义计算即可得到结果．

【解答】解：原式=2﹣2+1=1．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．（6分）（2020•十堰）化简：（+）÷．

【分析】根据分式的加法和除法可以解答本题．

【解答】解：（+）÷

=

=

=

=．

【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．

19．（7分）（2020•十堰）如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？

【分析】过A作AC⊥BD于点C，求出∠CAD、∠CAB的度数，求出∠BAD和∠ABD，根据等边对等角得出AD=BD=12，根据含30度角的直角三角形性质求出CD，根据勾股定理求出AD即可．

【解答】解：只要求出A到BD的最短距离是否在以A为圆心，以8海里的圆内或圆上即可，

如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，

∵∠CAD=30°，∠CAB=60°，

∴∠BAD=60°﹣30°=30°，∠ABD=90°﹣60°=30°，

∴∠ABD=∠BAD，

∴BD=AD=12海里，

∵∠CAD=30°，∠ACD=90°，

∴CD=AD=6海里，

由勾股定理得：AC==6≈10.392＞8，

即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．

【点评】考查了勾股定理的应用和解直角三角形，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．

20．（9分）（2020•十堰）某中学艺术节期间，学校向学生征集书画作品，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班（用A，B，C，D表示），对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．

请根据以上信息，回答下列问题：

（1）杨老师采用的调查方式是　抽样调查　（填“普查”或“抽样调查”）；

（2）请你将条形统计图补充完整，并估计全校共征集多少件作品？

（3）如果全校征集的作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，现要在获得一等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别相同的概率．

【分析】（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查．

（2）由题意得：所调查的4个班征集到的作品数为：6÷=24（件），C班作品的件数为：24﹣4﹣6﹣4=10（件）；继而可补全条形统计图；

（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽中一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查．

故答案为抽样调查．

（2）所调查的4个班征集到的作品数为：6÷=24件，

平均每个班=6件，C班有10件，

∴估计全校共征集作品6×30=180件．

条形图如图所示，

（3）画树状图得：

∵共有20种等可能的结果，两名学生性别相同的有8种情况，

∴恰好抽中一男一女的概率为：=．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时考查了概率公式．

21．（7分）（2020•十堰）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2．

（1）求实数k的取值范围；

（2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值．

【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=﹣4k+5≥0，解之即可得出实数k的取值范围；

（2）由根与系数的关系可得x1+x2=1﹣2k、x1•x2=k2﹣1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16+x1•x2中，解之即可得出k的值．

【解答】解：（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2，

∴△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5≥0，

解得：k≤，

∴实数k的取值范围为k≤．

（2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2，

∴x1+x2=1﹣2k，x1•x2=k2﹣1．

∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16+x1•x2，

∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）=16+（k2﹣1），即k2﹣4k﹣12=0，

解得：k=﹣2或k=6（不符合题意，舍去）．

∴实数k的值为﹣2．

【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出△=﹣4k+5≥0；（2）根据根与系数的关系结合x12+x22=16+x1x2，找出关于k的一元二次方程．

22．（8分）（2020•十堰）某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱．

（1）写出y与x中间的函数关系书和自变量x的取值范围；

（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？

【分析】（1）根据价格每降低1元，平均每天多销售10箱，由每箱降价x元，多卖10x，据此可以列出函数关系式；

（2）由利润=（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式，求出最大值．

【解答】解：（1）根据题意，得：y=60+10x，

由36﹣x≥24得x≤12，

∴1≤x≤12，且x为整数；

（2）设所获利润为W，

则W=（36﹣x﹣24）（10x+60）

=﹣10x2+60x+720

=﹣10（x﹣3）2+810，

∴当x=3时，W取得最大值，最大值为810，

答：超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元．

【点评】本题主要考查二次函数的应用，由利润=（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式求最值，用二次函数解决实际问题是解题的关键．

23．（8分）（2020•十堰）已知AB为⊙O的直径，BC⊥AB于B，且BC=AB，D为半圆⊙O上的一点，连接BD并延长交半圆⊙O的切线AE于E．

（1）如图1，若CD=CB，求证：CD是⊙O的切线；

（2）如图2，若F点在OB上，且CD⊥DF，求的值．

【分析】（1）连接DO，CO，易证△CDO≌△CBO，即可解题；

（2）连接AD，易证△ADF∽△BDC和△ADE∽△BDA，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可解题．

【解答】解：（1）连接DO，CO，

∵BC⊥AB于B，

∴∠ABC=90°，

在△CDO与△CBO中，，

∴△CDO≌△CBO，

∴∠CDO=∠CBO=90°，

∴OD⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（2）连接AD，

∵AB是直径，∴∠ADB=90°，

∴∠ADF+∠BDF=90°，∠DAB+∠DBA=90°，

∵∠BDF+∠BDC=90°，∠CBD+∠DBA=90°，

∴∠ADF=∠BDC，∠DAB=∠CBD，

∵在△ADF和△BDC中，，

∴△ADF∽△BDC，

∴=，

∵∠DAE+∠DAB=90°，∠E+∠DAE=90°，

∴∠E=∠DAB，

∵在△ADE和△BDA中，，

∴△ADE∽△BDA，

∴=，

∴=，即=，

∵AB=BC，

∴=1．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证△ADF∽△BDC和△ADE∽△BDA是解题的关键．

24．（10分）（2020•十堰）已知O为直线MN上一点，OP⊥MN，在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，AC∥OP交OM于C，D为OB的中点，DE⊥DC交MN于E．

（1）如图1，若点B在OP上，则

①AC　=　OE（填“＜”，“=”或“＞”）；

②线段CA、CO、CD满足的等量关系式是　AC2+CO2=CD2　；

（2）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α（0°＜α＜45°），如图2，那么（1）中的结论②是否成立？请说明理由；

（3）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α（45°＜α＜90°），请你在图3中画出图形，并直接写出线段CA、CO、CD满足的等量关系式　CO﹣CA=CD　．

【分析】（1）①如图1，证明AC=OC和OC=OE可得结论；

②根据勾股定理可得：AC2+CO2=CD2；

（2）如图2，（1）中的结论②不成立，作辅助线，构建全等三角形，证明A、D、O、C四点共圆，得∠ACD=∠AOB，同理得：∠EFO=∠EDO，再证明△ACO≌△EOF，得OE=AC，AO=EF，根据勾股定理得：AC2+OC2=FO2+OE2=EF2，由直角三角形中最长边为斜边可得结论；

（3）如图3，连接AD，则AD=OD证明△ACD≌△OED，根据△CDE是等腰直角三角形，得CE2=2CD2，等量代换可得结论（OC﹣OE）2=（OC﹣AC）2=2CD2，开方后是：OC﹣AC=CD．

【解答】解：（1）①AC=OE，

理由：如图1，∵在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，

∴∠ABO=∠AOB=45°，

∵OP⊥MN，

∴∠COP=90°，

∴∠AOC=45°，

∵AC∥OP，

∴∠CAO=∠AOB=45°，∠ACO=∠POE=90°，

∴AC=OC，

连接AD，

∵BD=OD，

∴AD=OD，AD⊥OB，

∴AD∥OC，

∴四边形ADOC是正方形，

∴∠DCO=45°，

∴AC=OD，

∴∠DEO=45°，

∴CD=DE，

∴OC=OE，

∴AC=OE；

②在Rt△CDO中，

∵CD2=OC2+OD2，

∴CD2=AC2+OC2；

故答案为：AC2+CO2=CD2；

（2）如图2，（1）中的结论②不成立，理由是：

连接AD，延长CD交OP于F，连接EF，

∵AB=AO，D为OB的中点，

∴AD⊥OB，

∴∠ADO=90°，

∵∠CDE=90°，

∴∠ADO=∠CDE，

∴∠ADO﹣∠CDO=∠CDE﹣∠CDO，

即∠ADC=∠EDO，

∵∠ADO=∠ACO=90°，

∴∠ADO+∠ACO=180°，

∴A、D、O、C四点共圆，

∴∠ACD=∠AOB，

同理得：∠EFO=∠EDO，

∴∠EFO=∠AOC，

∵△ABO是等腰直角三角形，

∴∠AOB=45°，

∴∠DCO=45°，

∴△COF和△CDE是等腰直角三角形，

∴OC=OF，

∵∠ACO=∠EOF=90°，

∴△ACO≌△EOF，

∴OE=AC，AO=EF，

∴AC2+OC2=FO2+OE2=EF2，

Rt△DEF中，EF＞DE=DC，

∴AC2+OC2＞DC2，

所以（1）中的结论②不成立；

（3）如图3，结论：OC﹣CA=CD，

理由是：连接AD，则AD=OD，

同理：∠ADC=∠EDO，

∵∠CAB+∠CAO=∠CAO+∠AOC=90°，

∴∠CAB=∠AOC，

∵∠DAB=∠AOD=45°，

∴∠DAB﹣∠CAB=∠AOD﹣∠AOC，

即∠DAC=∠DOE，

∴△ACD≌△OED，

∴AC=OE，CD=DE，

∴△CDE是等腰直角三角形，

∴CE2=2CD2，

∴（OC﹣OE）2=（OC﹣AC）2=2CD2，

∴OC﹣AC=CD，

故答案为：OC﹣AC=CD．

【点评】本题是几何变换的综合题，考查了三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、旋转的性质、勾股定理、四点共圆的性质等知识，并运用了类比的思想解决问题，有难度，尤其是第二问，结论不成立，要注意辅助线的作法；本题的2、3问能标准作图是关键．

25．（12分）（2020•十堰）抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（m，0），与y轴交于C．

（1）若m=﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；

（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧的抛物线上有一点E，使S△ACE=S△ACD，求点E的坐标；

（3）如图2，设F（﹣1，﹣4），FG⊥y于G，在线段OG上是否存在点P，使∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式，并配方求对称轴；

（2）如图1，设E（m，m2+2m﹣3），先根据已知条件求S△ACE=10，根据不规则三角形面积等于铅直高度与水平宽度的积列式可求得m的值，并根据在对称轴左侧的抛物线上有一点E，则点E的横坐标小于﹣1，对m的值进行取舍，得到E的坐标；

（3）设点P（0，y）．分两种情况：

①当m＜0时，如图2，△POB∽△FGP，根据对应线段成比例即可求出m的取值范围；

②当m＞0时，如图3，△POB∽△FGP，根据对应线段成比例即可求出m的取值范围．

【解答】解：（1）当m=﹣3时，B（﹣3，0），

把A（1，0），B（﹣3，0）代入到抛物线y=x2+bx+c中得：

，解得，

∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；

对称轴是：直线x=﹣1；

（2）如图1，设E（m，m2+2m﹣3），

由题意得：AD=1+1=2，OC=3，

S△ACE=S△ACD=×AD•OC=×2×3=10，

设直线AE的解析式为：y=kx+b，

把A（1，0）和E（m，m2+2m﹣3）代入得，

，

解得：，

∴直线AE的解析式为：y=（m+3）x﹣m﹣3，

∴F（0，﹣m﹣3），

∵C（0，﹣3），

∴FC=﹣m﹣3+3=﹣m，

∴S△ACE=FC•（1﹣m）=10，

﹣m（1﹣m）=20，

m2﹣m﹣20=0，

（m+4）（m﹣5）=0，

m1=﹣4，m2=5（舍），

∴E（﹣4，5）；

（3）设点P（0，y）．

①当m＜0时，

如图2，△POB∽△FGP

得=

∴m=y2+4y=（y+2）2﹣4

∵﹣4＜y＜0，

∴﹣4≤m＜0．

②当m＞0时，

如图3，△POB∽△FGP

∴=

∴=

∴m=﹣y2﹣4y=﹣（y+2）2+4

∴﹣4＜y＜0

∴0＜m≤4

综上所述，m的取值范围是﹣4≤m≤4且m≠0．

【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、配方法求对称轴、等腰直角三角形的性质和判定、三角形面积的求法，及三角形全等的判定与性质．

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