河南省洛阳市17-18学年高二上学期期末考试

数学（理）试卷

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则（ ）

A． B． C．或 D．

2．命题“任意一个无理数，它的平方不是有理数”的否定是（ ）

A．存在一个有理数，它的平方是无理数 B．任意一个无理数，它的平方是有理数

C．任意一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方是有理数

3．抛物线的准线方程为（ ）

A． B． C． D．

4．在中，已知，则（ ）

A． B． C．1 D．2

5．等差数列的前项和为，已知，则的值为（ ）

A．63 B． C． D．21

6．在正方体中，为棱的中点，是棱上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．

7．若正数满足，则的最小值为（ ）

A． B．4 C．8 D．9

8．“”是“方程表示图形为双曲线”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

9．在中，角所对的边分别是，若与平行，则一定是（ ）

A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰三角形

10．已知平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，则与底面所成角的正弦值为（ ）

A． B． C． D．

11．椭圆的焦点分别为，弦过，若的内切圆面积为，两点的坐标分别为和，则的值为（ ）

A．6 B． C． D．3

12．已知数列满足且，设，则的值是（ ）

A． B． C． D．

二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．各项为正数的等比数列中，与的等比中项为，则 .

14．若命题“满足”为真命题，则实数的取值范围是 .

15．若双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率为 .

16．下列命题：

（1）已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是；

（2）已知向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标为；

（3）在三棱锥中，各条棱长均相等，是的中点，那么；

（4）已知三棱锥，各条棱长均相等，则其内切球与外接球的体积之比为.

其中真命题是 .（填序号）

三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．已知分别是的三个内角的对边，是的面积，，且.

（1）求角的大小；

（2）求的面积的最大值.

18．已知动点在抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为，动点满足.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点的直线交轨迹于两点，设直线的斜率为，求的值.

19．已知数列中，，.

（1）求证：是等比数列，并求d 通项公式；

（2）数列满足，求数列的前项和.

20．精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量万件（生产量与销售量相等）与推广促销费万元之间的函数关系为（其中推广促销费不能超过5千元）.已知加工此农产品还要投入成本万元（不包括推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为元/件.

（1）试将该批产品的利润万元表示为推广促销费万元的函数；（利润=销售额-成本-推广促销费）

（2）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？

21.在三棱锥中，，为的中点，平面，垂足落在线段上，已知.

（1）证明：；

（2）在线段上是否存在一点，使得二面角为直二面角？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

22．设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点.

（1）证明：为定值，并写出点的轨迹方程；

（2）设点的轨迹为曲线，直线交于两点，为坐标原点，求面积的取值范围.

试卷答案

一、选择题

1-5：CDABC 6-10：ACADC 11-12：DB

二、填空题

13． 14． 6 15． 16．（2）（4）

三、解答题

17．解：（1）已知

∴

由余弦定理

得

∴

∴，即的大小为.

（2）由（1）知

∵，

∴

当且仅当时，面积的最大值为.

18．解：（1）设，则

∴，，

∵，∴，∴

而，

∴.

（2）由题意知直线的斜率存在，设为，直线的方程为，设，，

由得，

∴，

∴

∴，

故的值为.

19.解：（1）∵

∴

∴，

∵，，

∴是以为首项，以4为公比的等比数列

∴，

∴，

∴，

（2），

∴①

②

①-②得

∴.

20．解：（1）由题意知

∴.

（2）∵

∴

.

当且仅当时，上式取“”

∴当时，.

答：当推广促销费投入3万元时，利润最大，最大利润为27万元.

21．（1）法一：∵,为的中点，

∴，

∵平面，

∴，

∵垂足落在线段上，

∴平面，

∴.

法二：如图，以为原点，分别以过点与共线同向的向量，，方向上的单位向量为单位正交基建立空间直角坐标系，则

∴

∴

∴

（2）假设点存在，设，，则，

∴，

∴，

∴，

∴

设平面的法向量为，平面的法向量为

由得，

令，可得，

由得，

令，可得，

若二面角为直二面角，则，得，

解得，∴

故线段上是否存在一点，满足题意，的长为.

22. 解：（1）证明：因为，

故，所以，

故，

又圆的标准方程为，从而

由椭圆定义可得点的轨迹方程为.

（2）当直线与轴不垂直时，设的方程为，

由得，

则，

所以

到直线距离为，则，

则

令，则

则

，

易知，

∴

当与轴垂直时，，综上.

河南省洛阳市2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题+Word版含答案