考研数学一(线性代数)-试卷14

发布时间：2023-02-18 07:09:36

考研数学一（线性代数）-试卷14(总分：54.00，做题时间：90分钟一、选择题(总题数：11，分数：22.001.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：2.设矩阵A=（分数：2.00）A.-6。B.6。C.D.√，矩阵B满足AB+B+A+2E=O，则｜B+E｜=(解析：解析：化简矩阵方程，构造B+E，用因式分解法，则有A(B+E+(B+E=-E，即(A+E(B+E=-E，两边取行列式，由行列式乘法公式得｜A+E｜.｜B+E｜=1，又｜A+E｜=-1，因此选C。223.下列命题中①如果矩阵AB=E，则A可逆且A=B；②如果n阶矩阵A，B满足(AB=E，则(BA=E；③如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则A+B必不可逆；④如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则AB必不可逆。正确的是(（分数：2.00）A.①②。B.①④。C.②③。D.②④。√解析：解析：如果A、B均为n阶矩阵，命题①当然正确，但是题中没有n阶矩阵这一条件，故①不正确。例如-1显然A不可逆。若A、B为n阶矩阵，(AB=E，即(AB(AB=E，则可知A、B均可逆，于是22ABA=B，从而BABA=E，即(BA=E。因此②正确。若设=｜A｜｜B｜=0，故AB必不可逆。因此④正确。所以应选D。4.设A=，B是4×2的非零矩阵，且AB=O，则(显然A、B都不可逆，但A+B=可逆，可知③不正确。由于A、B为均n阶不可逆矩阵，知｜A｜=｜B｜=0，且结合行列式乘法公式，有｜AB｜（分数：2.00）A.a=1时，B的秩必为2。B.a=1时，B的秩必为1。C.a≠1时,B的秩必为1。√D.a≠1时，B的秩必为2。解析：解析：当a=1时，易见r(A=1；当a≠1时，则即r(A=3。由于AB=0，A是3×4矩阵，所以r(A+r(B≤4。当a=1时，r(A=1，1≤r(B≤3。而B是4×2矩阵，所以B的秩可能为1也可能为2，因此选项A、B均不正确。当a≠1时，r(A=3，必有r(B=1，选项D不正确。所以应选C。5.现有四个向量组①(1，2，3，(3，-1，5，(0，4，-2，(1，3，0；②(a，1，b，0，0TTTTT，(c，0，d，2，0，(e，0，f，0，3；③(a，1，2，3，(b，1，2，3，(c，3，4，5，TTTTT
(d，0，0，0；④(1，0，3，1，(-1，3，0，-2，(2，1，7，2，(4，2，14，5。则下列结论正确的是(（分数：2.00）A.线性相关的向量组为①④；线性无关的向量组为②③。B.线性相关的向量组为③④；线性无关的向量组为①②。C.线性相关的向量组为①②；线性无关的向量组为③④。D.线性相关的向量组为①③④；线性无关的向量组为②。√解析：解析：向量组①是四个三维向量，从而线性相关，可排除B。由于(1，0，0，(0，2，0，(0，0，3线性无关，添上两个分量就可得向量组②，故向量组②线性无关。所以应排除C。向量组③中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，于是α1，α2，α4线性相关，那么添加α3后，向量组③必线性相关。应排除A。由排除法，所以应选D。6.设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示，则(（分数：2.00）A.当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关。B.当r＞s时，向量组Ⅱ必线性相关。C.当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关。D.当r＞s时，向量组Ⅰ必线性相关。√解析：解析：因为向量组Ⅰ可由向量组Ⅱ线性表示，故r(Ⅰ≤r(Ⅱ≤S。又因为当r＞s时，必有r(Ⅰ＜r，即向量组Ⅰ的秩小于其所含向量的个数，此时向量组Ⅰ必线性相关，所以应选D。7.已知α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，那么向量α1-α2，α1+α2-2α3，（分数：2.00）A.4。√B.3。C.2。D.1。解析：解析：由Aαi=b(i=1，2，3有A(α1-α2=Aα1-Aα2=b-b=0，A(α1+α2-2α3=Aα+Aα2-2Aα3=b+b-2b=0，A(α1-3α2+2α3=Aα1-3Aα2+2Aα3=b-3b+2b=0，-α2，α1+α2-3α3，TTTTTTTTT(α2-α1，α1-3α2+2α3中，是方程组Ax=0解向量的共有(1即α1(α2-α1，α1-3α2+2α3均是齐次方程组Ax=0的解。所T以应选A。8.设A为n阶矩阵，A是A的转置矩阵，对于线性方程组(1Ax=0和(2AAx=0，必有(（分数：2.00）A.(1的解是(2的解，(2的解也是(1的解。√B.(1的解是(2的解，(2的解不是(1的解。C.(2的解是(1的解，(1的解不是(2的解。D.(2的解不是(1的解，(1的解也不是(2的解。解析：解析：如果α是(1的解，有Aα=0，可得AAα=A(Aα=A0=0，即α是(2的解。故(1的解必是(2的解。反之，若α是(2的解，有AAα=0，用α左乘可得0=α0=α(AAα=(αTTTTTTTTTA(Aα=(Aα(Aα，若设Aα=(b1，b2，…，bn，那么(Aα(Aα=b1+b2+…+b=02TTT22nbi=0(i=1，2，…，n，即Aα=0，说明α是(1的解。因此(2的解也必是(1的解。所以应选A。9.三阶矩阵A的特征值全为零，则必有(（分数：2.00）A.秩r(A=0。B.秩r(A=1。

考研数学一(线性代数)-试卷14

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