一补数与二补数(1's Complement and 2's Complement)

二补数 (2's complement) :是一种用二进位表示有号数的方法，也是一种将数字的正负号变号的方式，常在计算机科学中使用。

一个数字的二补数就是将该数字作位元反向运算（即一补数），再将结果加 1，即为该数字的二补数。
在二补数系统中，一个负数就是用其对应正数的二补数来表示。

优点：二补数系统的最大优点是可以在加法或减法处理中，不需因为数字的正负而使用不同的计算方式。
          只要一种加法电路就可以处理各种有号数加法，而且减法可以用一 个数加上另一个数的二补数来表示，因此只要有加法电路及二补数电路即可完成各种有号数加法及减法，在电路设计上相当方便。

特点：二补数系统的 0 只有一个表示方式，这点和一补数系统不同（在一补数系统中，0 有二种表示方式），因此在判断数字是否为 0 时，只较比对一个不同的条件即可。

补数和负数

再转载一篇“补数和负数”，将知识整理补充全面。转自：【The Life, The Code】

补数表示法

     1. 补数的意义：在计算机执行算术运算时，对于减法运算，为求简化电路的设计起见，均使用补数(Complement) 的原理，使减法运算利用补数及加法运算来取代。

     2. 补数的定义：对任一以 b 为基底 (Base, Radix) 的非负数 N，存在有二种补数表示法，即 b's 补数及 (b-1)'s 补数，兹分述于下：

        a. b's 补数定义

           若 N 为一以 b 为基底的非负数，设其整数部份含有 n 位元，小数部份含有 m 位元，则 N 的 b's 补数定义为

               bn - N (N0)
               0      (N = 0)

           注：此定义可避免出现两种不同的表示式来代表 0。

           例：若一正数 N=31.4，且基底 b=9，则其 9's 补数可如下求出：

           解：由题意知整数部份 n=2，小数部份 m=1，代入公式可得

                   92 - 31.4 = (100)9 - (31.4)9 = (57.5)9

        b. (b-1)'s 补数定义

           若 N 为一以 b 为基底的非负数，设其整数部份含有 n 位元，小数部份含有 m 位元，

           则 N 的 (b-1)'s 补数定义为

               bn - b-m - N

           注：此定义并未针对 N=0 特殊处理，因此会产生不同的 0 的表示式，造成溷淆。

           例：如上例，正数 N=31.4，基底 b=9，则 8's 补数可如下求出：

           解：由题意知整数部份 n=2，小数部份 m=1，代入公式可得

           92 - 9-1 - 31.4 = (100)9 - (0.1)9 - (31.4)9 = (57.4)9

        c. 根据上述定义，任何补数均可求得，惟需代公式求算嫌繁琐；因此一般均有较速简易的

           求补数方法，兹分述如下：

           (i)  (b-1)'s 补数求法

                将每一位元以 (b-1) 减去其值，即可得 (b-1)'s 补数。

           (ii) b's 补数求法

                将 (b-1)'s 补数之最小一位加 1 即可得 b's 补数。

                b's的补数值=(b-1)'s补数值+(最小位加1)

                注：二进位数值求 1 的补数，只要将原来数值中位元为 1 的改为 0，位元为 0 的改为 1，

               便可得 1 的补数，至于 2 的补数则只需将 1 的补数值的最小位加 1 即可。

               范例：计算二位数之 1's 补数及 2's 补数

               (1) 1010101   (2) 10000

               注：常考题：求二进位的一补数 (1's complement) 或二补数 (2's complement)

负数表示法

      假设有一正数Ｘ其在二进位数字系统中表示如下：

          X=0Xn-2Xn-3......X1X0

      其中符号位元 0 代表此值为正数， Xn-2Xn-3......X1X0表示此正数在计算机中的二进位值。

      注：正数衹有上述一种唯一的表示法。

           在计算机中，常见的负整数表示法有以下三种

           (1)符号大小值法(Sign Magnitude)

           (2)一补数法(1's complement)  

           (3)二补数法(2's complement)，兹分述于下：

      (1) 符号大小值法：

            -X=1Xn-2Xn-3......X1X0

            其中符号位元 1 代表此数为负数，此种表示法正数与负数之间衹有符号位元不同。

      (2) 一补数法

            此法是将二进位值（包含符号位元）取一补数。

            -X=1X'n-2X'n-3......X'1X'0

      (3) 二补数法

            此法是将二进位值（包含符号位元）取二补数。

            -X=1X'n-2X'n-3......X'1X'0 + 00.....001

            注：符号大小值法及一补数法有 +0 与 -0 的区别，而二补数法没有区别。

一补数与二补数