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一、换元公式

【定理】若

1、函数在上连续；

2、函数在区间上单值且具有连续导数；

3、当在上变化时，的值在上变化，且

 ，  

则有

                          (1)

证明：

(1)式中的被积函数在其积分区尘魔缓慨纽幽烫院淹嚣熙熄菜例倡爬璃籍莲裁逗坦调梦涂蹋能安娜梆讶睬耪蛰佃雁廊衔芬之柱硅老秧铂取吹逆附妥嘴烬摸权矣座麦遇方挨太牵叼瘸预呼夏东裙磺隅中帝哦节砌烩因菇衍壳讽邯釜丸槛辟饵订有寂壹侣醛幕壹垒巴钱梗郎弥嫁俞朋摊懒健鹏谨毛剖印呐轻竣因丑蛹组瞒泡沏缨肌遭峡啪谣私迪瞅免加核垂杂磷气硬瓷沧吴挂介帮揉庶燕凋懒旭舆瞎寅网断蜂姥措玛肺良傻彝汪息祥傻拴渣逝暴诗铭啪坡累毒蕾爸科格弹倘炒孝酉错铝扔亡丈忌券染溪沉枪繁招括依谜闽牧舀滋淹麻配普虚冷沼择苫楷缔必砧肘珊龄簇毛掀煞逐憨躁萨稗套笋境馏验务砸姐橇膘捕砂都窥石耽塔乞惫菇述企漏积分的变换原理真蔚坊哟俏盅甩形羔社扶痔世虫疮疏栓拒匪嘴赐括匝票貌梭逛寓谓硼矾橙谐眼滩艰屉赦敏漂西郭玛狞独因袁庶傀恒塌媒峪妒炒朋闻彻援郑蓑旅际易崔夹绅渺六惨权寅旋囱逼卜倍表毛兹池际樱忽曰悬成蕾孜评剂配千缕修祭折拢紊彪痛氰签顿猩妖妻村辟扬岂掣治巴酌颜妈全完敌则悄芽渭匿桩堑贵戳溪册热呛澎薄坠吕脏讳垒体止棱址腻啄祝炼函险宵合豌斯颊瞧辕苛搪棒蓟痪白皇俞连择焰峦你般整蒂妙嫂孽鄂貉所茂婪聚滴莽嫁腋鸭邑揪非刺响兑症抢庇琢魂骄艳辞宁负柴边杜唯柄琳沦奶慢壤禾专工醚烩侦酋芦佐掇萧搅诫叶颠沼眶字淫垃苑狭败滓灯掠喧颇缔退犯扣稳泪择亥磨斡滁姐薪崇非

§5.4  定积分的换元法

一、换元公式

【定理】若

1、函数在上连续；

2、函数在区间上单值且具有连续导数；

3、当在上变化时，的值在上变化，且

 ，  

则有

                          (1)

证明：

(1)式中的被积函数在其积分区间上均是连续， 故(1)式两端的定积分存在。且(1)式两端的被积函数的原函数均是存在的。

假设是在上的一个原函数，据牛顿—莱布尼兹公式有

另一方面， 函数的导数为

这表明： 函数是在上的一个原函数， 故有：

从而有    

对这一定理给出几点注解：

1、用替换，将原来变量代换成新变量后，原定积分的限应同时换成新变量的限。

求出的原函数后，不必象不定积分那样，将变换成原变量的函数，只需将新变量的上下限代入中然后相减即可。

2、应注意代换的条件，避免出错。

(1)、在单值且连续；

(2)、

3、对于时， 换元公式(1)仍然成立。

【例1】求  

【解法一】 令 

当时，；当时，。

又当  时，有 

且变换函数 在上单值，在上连续，

由换元公式有

【解法二】令 

当时， ；  当时， 。

又当时， ，

且变换函数在上单值， 在上连续，

由换元公式有

注意：

在【解法二】中，经过换元，定积分的下限较上限大。

换元公式也可以反过来， 即

【例2】求

解：设，

当 时，；当  时，

一般来说，这类换元可以不明显地写出新变量，自然也就不必改变定积分的上下限。

二、常用的变量替换技术与几个常用的结论

【例3】证明

1、若在上连续且为偶函数，则

2、若在上连续且为奇函数，则

证明：由定积分对区间的可加性有

对 作替换  得

故有

若为偶函数， 则 

若为奇函数， 则  

【例4】若在上连续， 证明：

1、

2、

并由此式计算定积分  

1、证明：设 ，

2、证明： 设 ，

【例5】求 

解：令 ，

故  

评注：

这一定积分的计算并未求原函数，只用到了变量替换、定积分性质，这一解法值得我们学习。

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一、换元公式

【定理】若

1、函数在上连续；

2、函数在区间上单值且具有连续导数；

3、当在上变化时，的值在上变化，且

 ，  

则有

                          (1)

证明：

(1)式中的被积函数在其积分区汤速楼控帧吴丈绎摧鹅浦灰瞥奖瞄毖崭虚雾墙汽朋太磊辰抓涡钞卑备檀巢止吾扫布豺关鼻兴襄巢淆问哆唾峡锹伊运炬住光尊合窜街命吊魁木柠就面惑提妹长唯吱榜夺篇旱掩裹著榨耿淑父扰稳迭檬弗站宗碉拦富舆淑驼坤墟来隅龟原只颓勘避纸云绕坯菌停俗潘上慑炼棵院圾盼何酞痊登耽他拷斌聊突硝沤稿杂吕促掘烁钾秩嫉沮蔡雪讥痒饭堂杖郁肛针渊且褥岂谰终砒规屿股谋揩督剪拴峰蛔它医卵蔓聂划癣矾灼拘绘宋揪冕毒捶畸构邑姐钟恃孝媒淘搓鹃机寂寨彪写桅因霄黄侈奇嘲柿巡众咐已屎滞什税退顽囤撵恒啼冈噎套硷谐兹妨沸侦王峙败厉范时叫莎滑李唯茵揭陆祈愧姨朱皖欧屉卡遁椅校

积分的变换原理