《概率论》1.5

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1.5条件概率
一．条件概率
为了考虑在事件A已发生的条件下，事件B发生的概率，先看一个例子：
例1抓阄问题:设5个人分3张电影票,采用抓阄方式(补2张假票,记A={第一个人抓到真票}B={第二个人抓到真票}.用1,2,3表示真票;4,5表示假票.观察前两个人的结果:
1221314151
1323324252(*14243443531525354554.
1212
∴P(A,P(B.
2020
现在已知A发生（即已知第一个人抓到
真票），问事件B发生的概率是多少？记为P(B|A.
由样本空间(*知
61
P(B|A(P(B;
122
另一方面,P(AB620,

6P(AB20则有P(B|A.1212P(A
20
6
上式有如下二个特点:
①B看着是缩小了的样本空间;
②P(B|A可用两个事件的概率之比来表示.
一般的,将上式作为条件概率的定义.定义1设A,B为两个事件,且P(A0,称
P(AB
P(B|A
P(A
为在A已发生的条件下事件B发生的条件概率.
直接验证可得,条件概率符合概率定义的三条(自证:
1°P(B|A0,BS;2°P(S|A1;
3°若BiBj,ij,则有P(
i1
Bi|AP(Bi|A.
i1

条件概率有与概率相应的那些性质(自证如:
P(AB|CP(A|CP(B|CP(AB|C


例2在有3个孩子的家庭中，已知至少有一
个女孩，求至少有一个男孩的概率.
例3一次掷10颗骰子,已知至少出现一个1
点,问至少出现两个1点的概率是多少?


二．乘法公式设P(A0,则有
P(ABP(AP(B|A一般,设A1,A2,,An为n个事件,n2,且
P(A1A2An10则有
P(A1A2AnP(An|A1A2An1
P(An1|A1An2P(A2|A1P(A1

例4（传染病模型）设袋中有r只红球，t只
白球，每次取一只，记其颜色后放回，并再放入a只同色的球.若在袋中连取四次,试求第一、二次取红球且第三、四次取白球的概率.
三.全概率公式和贝叶斯公式
定义2设为E试验,S为样本空间,
B1,B2,,Bn是一组事件,若1BiBj,ij,i,j1,2,,n;2
ni1
BiS.
则称B1,B2,,Bn是S的一个划分.
定理1对于样本空间S,A为一个事件,B1,B2,,Bn为S的一个划分,且P(Bi0,i1,2,,n.则
P(AP(A|B1P(B1P(A|BnP(Bn.上式称为全概率公式.


定理2设S为样本空间,A为一个事件,B1,B2,,Bn为S的一个划分,且P(Bi0,i1,2,,n,P(A0.则
P(Bi|A
P(A|BiP(Bi
P(A|BP(B
j
j
j1
n
,i1,2,,n
上式称为贝叶斯公式.


例5当机器良好时,产品的合格率为0.9,
当机器出故障时,产品的合格率为0.3,每天开机时,机器良好的概率为0.75.试求:已知某日的第一件产品是合格品时,机器良好的概率.

现在我们来讨论全概率公式与贝叶斯定理之间的关系。首先，它们都是用简单事件的概率来计算复杂事件概率问题。在全概率公式中，如果把Bi看作导致事件A发生的原因，则全概率公式是一个“由因求果”的问题，这里P(Bi是事先已知的，称为“先验概率”。在贝叶斯定理中，“结果”事件A已经发生，我们要求是A发生是由于“原因”Bi引起的概率，则贝叶斯定理是一个“执果寻因”的问题，这里P(Bi|A是得到信息A之后得出的概率，称为“后验概率”。我们看到，后验概率P(Bi|A的计算要以先验概率P(Bi为基础，所以两者有不可分割的联系。
例6某服装车间有一、二、三3个工段生产
同一种服装。各工段产量分别占总量的25%，35%，40%，它们的次品率分别为5%，4%，2%。若从中任取一件发现是次品，求恰为各工段生产的概率。


A表示抽到一件产品是次品事件。Bi表示产品是i工段生产的事件。P(A0.0345，P(B1|A0.362P(B2|A0.406，P(B3|A0.232
这种从总产品中抽取一件，由某个条件（如次品）的概率大小来确定它由哪个部门生产的方式称为“贝叶斯决策”，在经济决策中有很大用处。

作业

1、由长期统计资料得知,某一地区在四月
份下雨(记作事件A的概率为415,刮风(记作事件B的概率为715,既刮风又下雨的概率为110.
求:P(A|B,P(B|A,P(AB
2、某考生回答一道四选一的选择题，已知
他知道正确答案的概率为0.5，不知道答案但猜对的概率为0.25.那么他答对题的概率是多大？
3、有两个口袋，甲袋中有两个白球，一个
黑球，乙袋中有一个白球，两个黑球。现由甲袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球。问：（1）取到白球的概率；
（2）若发现从乙袋中取出的是白球，那么从甲袋中取出放入乙袋的球，黑、白哪种颜色的可能性大？（具体计算说明）

《概率论》1.5

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