高一数学 2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义导学案 新人教A版

一、预习目标：

预习平面向量的数量积及其几何意义；平面向量数量积的重要性质及运算律；

二、预习内容：

1.平面向量数量积（内积）的定义：

2.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

3．“投影”的概念：作图

4.向量的数量积的几何意义：

5．两个向量的数量积的性质：

设word/media/image1_1.png、word/media/image2_1.png为两个非零向量，e是与word/media/image2_1.png同向的单位向量.

1︒ e⋅word/media/image2_1.png=word/media/image2_1.png e =

2︒ word/media/image1_1.png⊥word/media/image2_1.png⇔word/media/image1_1.png⋅ word/media/image2_1.png=

设word/media/image1_1.png、word/media/image2_1.png为两个非零向量，e是word/media/image1_1.png与同向的单位向量.

e⋅word/media/image1_1.png =word/media/image1_1.png⋅e =

3︒ 当word/media/image1_1.png与word/media/image2_1.png同向时，word/media/image1_1.png⋅word/media/image2_1.png= 当word/media/image1_1.png与word/media/image2_1.png反向时，word/media/image1_1.png⋅word/media/image2_1.png = 特别的word/media/image1_1.png⋅word/media/image1_1.png= |word/media/image1_1.png|2或word/media/image3_1.png

4︒ cosθ =

5︒ |word/media/image1_1.png⋅word/media/image2_1.png| ≤ |word/media/image1_1.png||word/media/image2_1.png|

三、提出疑惑：

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

课内探究学案

一、学习目标

1说出平面向量的数量积及其几何意义；

2.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律；

3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；

学习重难点：。平面向量的数量积及其几何意义

二、学习过程

创设问题情景，引出新课

1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？

2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？

3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义

探究一：

数量积的概念

1、给出有关材料并提出问题3：

（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，

那么力F所做的功：W=

（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：

①W（功）是 量，

②F（力）是 量，

③S（位移）是 量，

④α是 。

（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?

2、明晰数量积的定义

（1）数量积的定义：

已知两个非零向量word/media/image1_1.png与word/media/image2_1.png，它们的夹角为word/media/image5_1.png，我们把数量 ︱word/media/image1_1.png︱·︱word/media/image2_1.png︱cosword/media/image5_1.png叫做word/media/image1_1.png与word/media/image2_1.png的数量积（或内积），记作：word/media/image1_1.png·word/media/image2_1.png，即：word/media/image1_1.png·word/media/image2_1.png= ︱word/media/image1_1.png︱·︱word/media/image2_1.png︱cosword/media/image5_1.png

（2）定义说明：

①记法“word/media/image1_1.png·word/media/image2_1.png”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“word/media/image6_1.png ”代替。

② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。

（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？

（4）学生讨论，并完成下表：

例1 ：已知｜word/media/image1_1.png｜＝３，｜word/media/image2_1.png｜＝６，当①word/media/image1_1.png∥word/media/image2_1.png，②word/media/image1_1.png⊥word/media/image2_1.png，③word/media/image1_1.png与word/media/image2_1.png的夹角是60°时，分别求word/media/image1_1.png·word/media/image2_1.png.

解：

变式：

. 对于两个非零向量word/media/image1_1.png、word/media/image2_1.png，求使|word/media/image1_1.png+tword/media/image2_1.png|最小时的t值，并求此时word/media/image2_1.png与word/media/image1_1.png+tword/media/image2_1.png的夹角.

探究二：研究数量积的意义

word/media/image8_1.png1.给出向量投影的概念：

如图，我们把│word/media/image2_1.png│cosword/media/image5_1.png（│word/media/image1_1.png│cosword/media/image5_1.png）

叫做向量word/media/image2_1.png在word/media/image1_1.png方向上（word/media/image1_1.png在word/media/image2_1.png方向上）的投影，

记做： OB1=︱│word/media/image2_1.png│︱cosword/media/image5_1.png

2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？

3. 研究数量积的物理意义

请同学们用一句话来概括功的数学本质：

探究三：探究数量积的运算性质

1、提出问题6：比较︱word/media/image1_1.png·word/media/image2_1.png︱与︱word/media/image1_1.png︱×︱word/media/image2_1.png︱的大小，你有什么结论？

2、明晰：数量积的性质

3.数量积的运算律

（1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也用？

（2）、明晰：数量积的运算律：

例2、（师生共同完成）已知︱word/media/image1_1.png︱=6，︱word/media/image2_1.png︱=4, word/media/image1_1.png与word/media/image2_1.png的夹角为60°，求（word/media/image1_1.png+2word/media/image2_1.png ）·（word/media/image1_1.png-3word/media/image2_1.png），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？

解：

变式：（1）(word/media/image1_1.png+word/media/image2_1.png)2=word/media/image1_1.png2+2word/media/image1_1.png·word/media/image2_1.png+word/media/image2_1.png2

（2）(word/media/image1_1.png+word/media/image2_1.png )·(word/media/image1_1.png-word/media/image2_1.png)= word/media/image1_1.png2—word/media/image2_1.png2

（三）反思总结

(四)当堂检测

1 .已知|word/media/image1_1.png|=5， |word/media/image2_1.png|=4， word/media/image1_1.png与word/media/image2_1.png的夹角θ=120o，求word/media/image1_1.png·word/media/image2_1.png.

2. 已知|word/media/image1_1.png|=6， |word/media/image2_1.png|=4，word/media/image1_1.png与word/media/image2_1.png的夹角为60o求(word/media/image1_1.png+2word/media/image2_1.png)·(word/media/image1_1.png-3word/media/image2_1.png)

.

3 .已知|word/media/image1_1.png|=3， |word/media/image2_1.png|=4， 且word/media/image1_1.png与word/media/image2_1.png不共线，k为何值时，向量word/media/image1_1.png+kword/media/image2_1.png与word/media/image1_1.png-kword/media/image2_1.png互相垂直.

4.已知｜word/media/image1_1.png｜＝３，｜word/media/image2_1.png｜＝６，当①word/media/image1_1.png∥word/media/image2_1.png，②word/media/image1_1.png⊥word/media/image2_1.png，③word/media/image1_1.png与word/media/image2_1.png的夹角是60°时，分别求word/media/image1_1.png·word/media/image2_1.png.

5.已知|word/media/image1_1.png|=1，|word/media/image2_1.png|=word/media/image12_1.png，(1)若word/media/image1_1.png∥word/media/image2_1.png，求word/media/image1_1.png·word/media/image2_1.png；(2)若word/media/image1_1.png、word/media/image2_1.png的夹角为６０°，求|word/media/image1_1.png+word/media/image2_1.png|；(3)若word/media/image1_1.png-word/media/image2_1.png与word/media/image1_1.png垂直，求word/media/image1_1.png与word/media/image2_1.png的夹角.

6.设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量word/media/image1_1.png=2m+n与word/media/image2_1.png=2n-3m的夹角.

课后练习与提高

1.已知|word/media/image1_1.png|=1，|word/media/image2_1.png|=word/media/image13_1.png，且(word/media/image1_1.png-word/media/image2_1.png)与word/media/image1_1.png垂直，则word/media/image1_1.png与word/media/image2_1.png的夹角是（ ）

A. 60° B.30° C.135° D.４５°

2.已知|word/media/image1_1.png|=2，|word/media/image2_1.png|=1，word/media/image1_1.png与word/media/image2_1.png之间的夹角为word/media/image14_1.png，那么向量m=word/media/image1_1.png-4word/media/image2_1.png的模为（ ）

A.2 B.2word/media/image15_1.png C.6 D.12

3.已知word/media/image1_1.png、word/media/image2_1.png是非零向量，则|word/media/image1_1.png|=|word/media/image2_1.png|是(word/media/image1_1.png+word/media/image2_1.png)与(word/media/image1_1.png-word/media/image2_1.png)垂直的（ ）

A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知向量word/media/image1_1.png、word/media/image2_1.png的夹角为word/media/image14_1.png，|word/media/image1_1.png|=2，|word/media/image2_1.png|=1，则|word/media/image1_1.png+word/media/image2_1.png|·|word/media/image1_1.png-word/media/image2_1.png|= .

5.已知word/media/image1_1.png+word/media/image2_1.png=2i-8j，word/media/image1_1.png-word/media/image2_1.png=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么word/media/image1_1.png·word/media/image2_1.png= .

6.已知word/media/image1_1.png⊥word/media/image2_1.png、c与word/media/image1_1.png、word/media/image2_1.png的夹角均为60°，且|word/media/image1_1.png|=1，|word/media/image2_1.png|=2，|c|=3，则(word/media/image1_1.png+2word/media/image2_1.png-c)２＝______.

高一数学 2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义导学案 新人教A版