商丘市2015年高三第二次模拟考试

数 学（理科）

本试卷分试题卷和答题卡两部分。试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页；答题卡共6页。满分为150分，考试时间为120分钟。考生作答时，请按要求把答案涂、写在答题卡规定的范围内，超出答题框或答在试题卷上的答案无效。考试结束只交答题卡。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

（1）已知集合,，则

（A） （B） （C） （D）

（2）复数为纯虚数，若(为虚数单位)，则实数的值为

（A） （B）　 （C）　 （D）

（3）已知向量a = (,1)，b = (0, -1)，c = (k,)，若a - 2b与c共线，则的值为

（A） （B）　 （C）　 （D）

（4）下列命题，真命题是

（A）的充要条件是 （B）R，

（C）R， （D）若为假，则为假

（5）设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为

（A） （B） （C）　 （D）

（6）在递增的等比数列中，已知，，且前项和为，则

（A） （B） （C） （D）

（7）执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为

（A）

（B）

（C）

（D）

（8）已知直线与曲线相切，

则的值为

（A） （B） （C） （D）

（9）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是

（A） （B） （C） （D）

（10）已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为的正方形，如图所示，则它的体积为

（A） （B）

（C） （D）

（11）已知以为焦点的抛物线上的两点满足，

则弦中点到准线的距离为

（A） （B） （C） （D）

（12）已知定义在R上的函数对任意都满足，且当时，，则函数的零点个数为

（A） （B）　 （C）　 （D）

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

（13）设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为 .

（14）设，则展开式的常数项为 .

（15）已知的三个顶点在以为球心的球面上，且，，球心到平面的距离为，则球的表面积为 .

（16）的内角的对边分别为，已知，，则 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

（17）（本小题满分12分）

已知正项等差数列的前项和为，且满足，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足，，求数列的前项和.

（18）（本小题满分12分）

将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物次，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到障碍物时，向左、

右两边下落的概率分别是、.

（Ⅰ）分别求出小球落入袋和袋中的概率；

（Ⅱ）在容器的入口处依次放入个小球，记为落入袋中的小球个数，求的分布列和数学期望．

（19）（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥的底面为

菱形，，，

.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设为椭圆上一点，若过点的直线与椭圆相交于不同的两点和，满足（为坐标原点），求实数的取值范围.

（21）（本小题满分12分）

已知函数(R)．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若对任意实数，当时，函数的最大值为，求的取值范围．

请考生在第22、23、24三道题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

（22）（本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲

如图，四边形内接于⊙，过点作⊙的切

线交的延长线于，已知.

证明：（Ⅰ）；

（Ⅱ）．

（23）（本小题满分10分） 选修4—4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，直线的极坐标方程为：，曲线的参数方程为：

（Ⅰ）写出直线的直角坐标方程；

（Ⅱ）求曲线上的点到直线的距离的最大值.

（24）（本小题满分10分） 选修4—5：不等式选讲

已知关于的不等式，其解集为.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，均为正实数，且满足，求的最小值.

商丘市2015年 高三第二次模拟考试

数学（理科）参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分） DAAC DDBB CDAB

二、填空题（每小题5分，共20分） （13）； （14）； （15）； （16）.

三、解答题（共70分）

（17）解：（Ⅰ）法一：设正项等差数列的首项为，公差为，，

则………………………………………………………2分

得 ………………………………………………………………………………4分

. …………………………………………………………6分

法二：是等差数列且，，

又 ………………………………………………………………………2分

，， …………………………………3分

, …………………………………………………………4分

. …………………………………………………6分

（Ⅱ），且，.

当时，

，…………………8分

当时，满足上式，. ……………………………9分

. ……………………………………………10分

.………………………12分

（18）解：（Ⅰ）记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，则事件的对立事件为事件. …………………………………………………………1分

而小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，

故, …………………………………………3分

从而.…………………………………………………4分

（Ⅱ）显然，随机变量的所有可能取值为.……………………………………5分

且.…………………………………………………………………………6分

故， ，

， ，

.

则的分布列为

……………………………………………10分

故的数学期望为. …………………………………………12分

（19）解：（Ⅰ）证明：取的中点，连接．

∵，∴.………………………………………………………1分

又四边形是菱形，且，

∴是等边三角形，∴.…………………………………………2分

又，∴，

又，∴ …………………………………………4分

（Ⅱ）由，，易求得，，

∴，.………………………………………………5分

以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直坐标系，

则，，，，

∴，，.…………………………6分

设平面的一个法向量为，则，，

∴，∴，，∴. ……………8分

设平面的一个法向量为，则，，

∴，∴，，∴. …………10分

∴，

∵ 二面角为钝角，∴二面角的余弦值为.………12分

（20）解：（Ⅰ）由题意，以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为，

∴圆心到直线的距离（*）………………………………1分

∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，

∴,， 代入（*）式得， ∴，

故所求椭圆方程为 ……………………………………………………4分

（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，设，

将直线方程代入椭圆方程得：，

∴，∴.

设,，则， …………………6分

由，

当,直线为轴，点在椭圆上适合题意； …………………………………7分

当，得

∴. ………………………………………………8分

将上式代入椭圆方程得：，

整理得：，由知，， ……………………………10分

所以， ……………………………………………………………11分

综上可得. ……………………………………………………………12分

（21）解：（Ⅰ）当时，，

则，……………………………………1分

令，得或；令，得，

∴函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. ………4分

（Ⅱ）由题意，

（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时，不存在实

数，使得当时，函数的最大值为.……………6分

（2）当时，令，有，，

①当时，函数在上单调递增，显然符合题意.……………7分

②当即时，函数在和上单调递增，

在上单调递减，在处取得极大值，且，

要使对任意实数，当时，函数的最大值为，

只需，解得，又，

所以此时实数的取值范围是. ……………………………9分

③当即时，函数在和上单调递增，

在上单调递减，要存在实数，使得当时，

函数的最大值为，需，

代入化简得，①

令，因为恒成立，

故恒有，所以时，①式恒成立，

综上，实数的取值范围是. …………………………………12分

（22）解：（Ⅰ）∵与⊙相切于点，

∴. …………………2分

又，

∴，

∴. …………………………5分

（Ⅱ）∵四边形内接于⊙，

∴， ……………………………………………………………6分

又， ∴∽. ……………………8分

∴，即，∴. ………………………10分

（23）解：（Ⅰ），, ………………………3分

，即. …………………………………5分

（Ⅱ）解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为，

所以，曲线上的点到直线的距离

.……………10分

解法二：曲线为以为圆心，为半径的圆.圆心到直线的距离为,

所以，最大距离为.……………………………………………10分

（24）解：（Ⅰ）不等式可化为， …………………………………1分

∴，即, ……………………………………2分

∵其解集为，∴ ，. ………………………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

（方法一：利用基本不等式）

∵，

∴，∴当且仅当时，取最小值为.……………10分

. （方法二：利用柯西不等式）

∵，

∴，∴当且仅当时，取最小值为.……………10分

（方法三：消元法求二次函数的最值）

∵，∴，

∴，

∴当且仅当时，取最小值为.………………………………10分

河南省商丘市2015年高三第二次模拟考试理科数学试题及答案