12.3　乘法公式

1　两数和乘以这两数的差

课前知识管理

1、两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差：(a+b)(a-b)=a2-b2所以，我们把这个公式叫作平方差公式.平方差公式可以形象记忆为：(□+△)(□—△)=□2—△2.

几何背景：如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2.　　

若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ+SⅢ＝SⅠ+SⅣ＝（a+b）（a－b），从而验证了平方差公式（a+b）（a－b）＝a2－b2.

2、平方差公式的特征：（1）公式左边的两个因式都是二项式，必须是相同的两数的和与差.或者说两个二项式必须有一项完全相同，另一项只有符号不同.（2）公式中的a与b可以是数，也可以换成一个代数式.

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典例精析：

知识点1：直接应用平方差公式

例1、计算：．

【解题思路】此题是两个二项式相乘，且这两个二项式中各有一完全相同的项，另外一项－与互为相反数，符合平方差公式的结构特点，因此，可直接套用平方差公式．

【解】=．

【方法归纳】将两个括号内的相同项看作□，符号相反的项－与看作△，就可以直接运用平方差公式.

对应练习：计算(y—2x)(—2x—y).

知识点2：连用平方差公式化简

例2、化简：.

【解题思路】本题的前两项能利用平方差公式得到，它与第三项又能构成平方差公式，依次类推，较轻松地得到结果.

【解】原式==

=

【方法归纳】连用平方差公式使运算量大大减小，实现简算目的.

对应练习：计算：

知识点3：分组后运用平方差公式

例3、计算: (2a+3)(3a+5)(2a-3)(3a-5).

【解题思路】若直接运算,则计算比较繁琐,如果运用乘法的交换律将第一、三结合，第二、四结合分组，就可以利用乘法公式计算.

【解】(2a+3)(3a+5)(2a－3)(2a－5)=[(2a+3)(2a－3)][(3a+5)(3a－5)]=(4a2-9)(9a2－25)=36a4－181a2+225.

【方法归纳】根据算式中各因式的特征，恰当分组后利用乘法公式可以简化计算，减少运算量.

对应练习：计算：(x+2)(x2+4)(x—2).

知识点4：添项后运用平方差公式

例4．计算；．

【解题思路】本题若添上一个因式“２－１”后，则可以连续四次运用平方差公式计算．

【解】原式＝

＝＝．

【方法归纳】本题的解题关键是在不改变原式的值的前提下，将原式添上一个因式，使得它能运用乘法公式计算．

对应练习：某同学在计算时，把写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：.

请借鉴该同学的经验，计算：.

知识点5：逆用平方差公式

例5．计算：

【解题思路】若直接运用完全平方公式展开再相减，运算量大，若把式中的“”与“”分别视为平方差公式中的a、b，逆用平方差公式，则运算简便．

解：

.

【方法归纳】本题正向思考解题较为麻烦，若抓住题目的特征，逆用公式解题，往往显得简单．

对应练习：计算：.

知识点6：变形后运用平方差公式

例6.计算.

【解题思路】注意到93接近整百数100，二者相差7，若使用数字93、7巧构平方差公式便可实现简算.

【解】.

【方法归纳】公式可以变形为.

对应练习：计算：

知识点7：拆项变形后使用

例7、计算(x-y+1)(x+y-5).

【解题思路】观察式子的特点,可以将两个多项式拆成两个数的和与这两个数的差的形式.然后利用平分差公式计算.

解：

(x-y+1)(x+y-5)=(x-y-2+3)(x-y-2-3)=[(x-2)-(y-3)][(x-2)+(y-3)]=(x-2)2-(y-3)2=x2-4x+4-y2+6y-9=x2-y2-4x+6y-5.

【方法归纳】拆项的关键在于将两个因式中的相同项、相反项正确分析出来，并恰当分组，使之符合平方差公式的结构特征.

对应练习：

易错警示

例8、计算：(2x+3)(2y-3).

错解：(2x+3)(2y-3)=4xy-9.

错解分析：(2x+3)(2y-3)中的两个因式不符合“两个数的和与这两个数的差的积”，因此不能用平方差公式做，只能按多项式乘以多项式的法则进行运算．

正解：(2x+3)(2y-3)=4xy-6x+6y-9.

例9、(2x+9)(2x-9).

错解：(2x+9)(2x-9)=4x2-9.

错解分析：(2x+9)(2x-9)应等于2x与9的平方差，即(2x)2-92，错解中没有把第二项9平方，当第二项是完全平方数时，很容易犯这样的错误．

正解：(2x+9)(2x-9)=(2x)2-92=4x2-81.

例10、(a3-8)(a3+8).

错解：(a3-8)(a3+8)=a9-64.

错解分析：(a3-8)(a3+8)中(a3)2=a6，而(a3)2≠a9.

正解：(a3-8)(a3+8)=(a3)2-82=a6-64.

例11、(-2a-7)(2a-7)．

错解：(-2a-7)(2a-7)＝4a2-49.

错解分析：(-2a-7)(2a-7)符合平方差公式的特征，但到底是哪个数的平方减去哪个数的平方呢？错解中认为就是前面一个数的平方减去后面一个数的平方，但(-2a-7)(2a-7)≠(-2a)2-72，应该是两式中符号相同的数的平方减去符号相反的那个数的平方，即： (-2a-7)(2a-7)=(-7-2a)(-7+2a) =(-7)2-(2a)2或(-2a-7)(2a-7)=－(2a+7)(2a-7) =－[(2a)2-72]．

正解：　(-2a-7)(2a-7) = (-7-2a)(-7+2a) =(-7)2-(2a)2=49-4a2．　

课堂练习评测

知识点1：平方差公式

1、在边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形（如图1），把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（如图2），分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是 （用字母表示）．

2、已知，则的值是

3、下列计算中，错误的有（ ）

①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2；

③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

知识点2：平方差公式的实际应用

4、一个长方形的面积是(x2－9)平方米，其长为(x＋3)米，用含有x的整式表示它的宽为___________米.

知识点3：平方差公式的运用

5、计算：;

6、计算：(3x-2y)(9x2+4y2)(-2y-3x)

7、平方差公式的常见变形

(1)位置变化:(a+b)(-b+a)=________;

(2)符号变化:(-a-b)(a-b)=_______.

(3)系数变化:(2a+3b)(2a-3b)=_______.

(4)指数变化:(a2+b3)(a2-b3)=_____.

(5)项数变化:(a+2b-c)(a-2b-c)=_________________;

(6)连用公式:(a+b)(a-b)(a2+b2)= __________________.

课后作业练习

一、填空题

1、_______. 2、______.

3、______. 4、_______.

5、_______. 6、_______.

7、_______.

8、_______）_______）.

二、选择题

9、下列各式中，能直接用平方差公式计算的是（ ）

A ; B ;

C ; D .

10、下列各式中，运算结果是的是（ ）

A ; B ;

C ; D .

11、为了应用平方差公式计算(x+2y-1)(x-2y+1),下列变形正确的是( )

A.[x-(2y+1)]2 B.[x-(2y-1)][x+(2y-1)]

C.[(x-2y)+1][(x-2y)-1] D.[x+(2y+1)]2

2019八年级数学上册 第12章 整式的乘除 12.3 乘法公式 1 两数和乘以这两数的差学案