专题六 函数导数专题

【命题趋向】函数是高考考查能力的重要素材，以函数为基础编制的考查能力的试题在历年的高考试卷中占有较大的比重．这部分内容既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题．一般说来，选择题、填空题主要考查函数的概念、单调性与奇偶性、函数图象、导数的几何意义等重要知识，关注函数知识的应用以及函数思想方法的渗透，着力体现概念性、思辨性和应用意识．解答题大多以基本初等函数为载体，综合应用函数、导数、方程、不等式等知识，并与数学思想方法紧密结合，对函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、有限与无限思想等进行较为深入的考查，体现了能力立意的命题原则．这些综合地统揽各种知识、应用各种方法和能力的试题充分显示了函数与导数的主干知识地位．在中学引入导数知识，为研究函数的性质提供了简单有效的方法．解决函数与导数结合的问题，一般有规范的方法，利用导数判断函数的单调性也有规定的步骤，具有较强的可操作性．高考中，函数与导数的结合，往往不是简单地考查公式的应用，而是与数学思想方法相结合，突出考查函数与方程思想、有限与无限思想等，所考查的问题具有一定的综合性．在一套高考试卷中一般有2-3个小题有针对性地考查函数与导数的重要知识和方法，有一道解答题综合考查函数与导数，特别是导数在研究函数问题中的应用，这道解答题是试卷的把关题之一．

【考点透析】函数和导数的主要考点包括函数的概念、图象与性质，函数与方程，函数模型及其应用，导数及其应用、微积分及微积分基本定理等．

【例题解析】

题型1 函数的概念及其表示

例1 （2008高考山东文5）设函数则的值为（ ）

A． B． C． D．

分析：由内向外逐步计算．

解析：，故．答案A．

点评：本题考查分段函数的概念和运算能力．解决的关键是由内到外“逐步有选择”的代入函数解析式，求出函数值．

例2如图，函数的图象是曲线，其中点的坐标分别为，则的值等于 ．

分析：从图象上理解自变量与函数值的对应关系．

解析：对于．

点评：图象是表示函数的一种方法，图象上反应了这个函数的一切性质．

题型2 函数的图象与性质

例3已知为非零实数，若函数的图象关于原点中心对称，则 ．

分析：图象的对称性反应在函数性质上就是这个函数是奇函数，根据奇函数对定义域内任意都有点特点可得一个关于的恒等式，根据这个恒等式就可以确定的值，特别地也可以解决问题．

解析： 对于函数的图象关于原点中心对称,则对于，因此有．答案．

点评：函数的奇偶性是函数的重要性质之一，这两个性质反应了函数图象的某种对称性，这二者之间是可以相互转换的．

例4设，则（ ）

A． B． C． D．

分析：以和为分界线，根据指数函数与对数和的性质解决．

解析：对于，因此．答案A．

点评：大小比较问题，可以归结为某个函数就归结为一个函数、利用函数的单调性比较，不能归结为某个函数一般就是找分界线．

题型3 函数与方程

例5．函数的零点的个数是

A． B． C． D．

分析：这是一个三次函数，可以通过研究这个函数的单调性与极值，结合函数图象的基本特征解决．

解析：对于，因此函数在上单调递增，而对于，因此其零点的个数为个．答案B．

点评：本例和例9在本质方法上是一致的，其基本道理就是“单调函数至多有一个零点”，再结合连续函数的零点定理，探究问题的答案．

例6．函数有且仅有一个正实数的零点，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

分析：函数中的二次项系数是个参数，先要确定对其分类讨论，再结合一次函数、二次函数的图象布列不等式解决．

解析：当时，为函数的零点；当是，若，即时，是函数唯一的零点，若，显然函数不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价与方程有一个正根一个负根，即，即．综合知答案B．

点评：分类讨论思想、函数与方程思想是高考所着重考查的两种数学思想，在本题体现的淋漓尽致．还要注意函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，如本题中的就是函数的“不变号零点”，对于“不变号零点”，函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点时要注意这个问题．

题型4 简单的函数模型及其应用

例7．经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近天内的销售量（件）与价格（元）均为时间（天）的函数，且销售量近似满足（件），价格近似满足（元）．

（1）试写出该种商品的日销售额与时间（）的函数表达式；

（2）求该种商品的日销售额的最大值与最小值．

分析：函数模型就是销售量乘以价格，价格函数带有绝对值，去掉绝对值后本质上是一个分段函数，建立起这个分段函数模型后，求其最值即可．

解析：（1）

＝

（2）当时，的取值范围是，在时，取得最大值为；

当1时，的取值范围是，

在时，取得最小值为．

答案：总之，第天，日销售额取得最大为元；第天，日销售额取得最小为元．

点评：分段函数模型是课标的考试大纲所明确提出要求的一个，分段函数在一些情况下可以用一个带有绝对值的解析式统一表达，要知道带有绝对值的函数本质上是分段函数，可以通过“零点分区”的方法去掉绝对值号再把它化为分段函数．

题型5 导数的意义、运算以及简单应用

例8．（2008高考江苏8）直线是曲线的一条切线，则实数 ．

分析：切线的斜率是，就可以确定切点的坐标，切点在切线上，就求出来的值．

解析：

方法一，令得，即切点的横坐标是，则纵坐标是，切线过点，所以．

方法二：设曲线上一点点坐标是，由知道过该点的曲线的切线的斜率是，故过该点的曲线的切线方程是，即，根据已知这条直线和直线重合，故．

答案：．

点评：本题考查导数几何意义的应用，即曲线上一点处的导数值是曲线在该点的切线的斜率，解题的突破口是切点坐标，这也是解决曲线的切线问题时的一个重要思维策略．在解题中不少考生往往忽视“切点在切线上”这个简单的事实，要引以为戒．

例9．已知物体 的运动方程为（是时间，是位移），则物体在时刻时的速度为

A． B． C． D．

分析：对运动方程求导就是速度非常．

解析：，将代入即得．答案D．

点评：本题考查导数概念的实际背景，考试大纲明确提出“了解导数概念的实际背景”，要注意这样的考点．

例10．若函数满足：对于任意的都有恒成立，则的 取值范围是 ．

分析：问题等价于函数在区间的最大值与最小值的差不大于，可以通过求函数在上的最值解决．

解析：问题等价于函数在的．，函数的极小值点是，若，则函数在上单调递减，故只要，即只要，即；若，此时，由于，故当时，，此时只要即可，即，由于，故，故此时成立；当时，此时，故只要即可，此显然．故，即的取值范围是．

点评：三次函数一直以来都是大纲区高考的一个主要考点，主要用这个函数考查考生对用导数研究函数性质、研究不等式等问题的理解和掌握程度，随着课标的考试大纲对导数公式的强化，课标区高考的函数导数解答题已经把函数的范围拓宽到了指数函数、对数函数、三角函数等（包括文科），但三次函数是高中阶段可以用导数研究的最为透彻的函数之一，高考也不会忽视了这个函数!

题型6 导数在研究函数、方程、不等式等问题中的综合运用

例11已知函数，

（1）当时，判断在定义域上的单调性；

（2）若在上的最小值为，求的值；

（3）若在上恒成立，求的取值范围．

分析：（1）通过判断导数的符号解决；（2）确立函数的极值点，根据极值点是不是在区间上确立是不是要进行分类讨论和分类讨论的标准；（3）由于参数是“孤立”的，可以分离参数后转化为一个函数的单调性或最值等解决．

解析：（1）由题意：的定义域为，且．

，故在上是单调递增函数．

（2）由（1）可知：

① 若，则，即在上恒成立，此时在上为增函数，

（舍去）．

② 若，则，即在上恒成立，此时在上为减函数，

（舍去）．

③ 若，令得，

当时，在上为减函数，

当时，在上为增函数，

，

综上可知：．

（3）．

又

令，

在上是减函数，，即，

在上也是减函数，．

令得，∴当在恒成立时，．

点评：本题前两问是借助于导数和不等式这两个工具研究函数的性质，地三问是借助于导数研究不等式，这是目前课标区高考中函数导数解答题的主要命题模式．求一个函数在一个指定的闭区间上的最值的主要思考方向就是考虑这个函数的极值点是不是在这个区间内，结合函数的单调性确立分类讨论的标准．本题第三问实际上是对函数两次求导，也要注意这个方法．

例12．已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．

（1）求证：为关于的方程的两根；

（2）设，求函数的表达式；

（3）在（2）的条件下，若在区间内总存在个实数（可以相同），使得不等式成立，求的最大值．

分析：（1）写出曲线上任意一点处的切线方程后，把点点坐标代入，就会得到一个仅仅含有参数的方程，而两个切点的横坐标都适合这个方程，则两个切点的横坐标必是一个以参数为系数的一个方程的两个解；（2）根据第一的结果和两点间距离公式解决；（3）根据第二问的结果探究解题方案．

解析：（1）由题意可知：，

∵ ， ∴切线的方程为：，

又切线过点，有，

即， ① 　

同理，由切线也过点，得．②

由①、②，可得是方程（ * ）的两根．

（2）由（ * ）知．

，

∴．

（3）易知在区间上为增函数，

，

则．

即，即，

所以，由于为正整数，所以．

又当时，存在，满足条件，所以的最大值为．

点评：本题第一问的解决方法具有一般的意义，许多过一点作曲线的两条切线、两个切点的横坐标之间的关系都可以得到这个结论，这对进一步解决问题往往是关键的一步．本题第三问的解决方法用的是先估计、再确定的方法，也只得仔细体会．

例13．已知，其中是自然常数，

（1）讨论时,的单调性、极值；

（2）求证：在（1）的条件下，；

（3）是否存在实数，使的最小值是，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由．

分析：（1）求导后解决；（2）去绝对值后构造函数、利用函数的单调性解决，或是证明函数；（3）根据极值点是不是在区间确立分类讨论的标准，分类解决．

解析：（1）

当时，，此时为单调递减，

当时，，此时为单调递增，

的极小值为．

（2）的极小值，即在的最小值为，

令

又， 当时

在上单调递减

当时，

（3）假设存在实数，使有最小值，，

①当时，由于，则

函数是上的增函数

解得（舍去）

②当时，则当时，

此时是减函数

当时，，此时是增函数

解得

点评：本题的第二问实际上可以加强为证明对任意的证明；第三问的解答方法具有一般的意义，即求函数在指定闭区间上的最值分类就是按照极值点是不是在这个区间上进行的．

题型7 函数的应用、生活中的优化问题

例14．（2008高考江苏卷17）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形的顶点及的中点处，已知，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形的区域上（含边界），且与等距离的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道，设排污管道的总长为

（1）按下列要求建立函数关系式：

①设，将表示为的函数；

②设，将表示为的函数关．

（2）请你选用（1）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短．

分析：（1）已经指明了变量，只需按照有关知识解决即可；（2）根据建立的函数模型，选择合理的模型和方法解决．

解析：（1）①如图，延长交于点，由条件知垂直平分，若，则，故

又，所以

所求函数关系式为

②若，则，所以

所求函数关系式为．

（2）选择函数模型①．

方法一：（使用导数的方法）

令得，，当时，是的减函数；当时，是的增函数．所以函数在处取得极小值，这个极小值就是函数在的最小值，．

当时，．因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到两点的距离均为时，铺设的排污管道的总长度最短．

方法二：（传统的方法），记，则，化为，

其中，由正弦函数的有界性知，

解得或，又当时，故，

即的最小值为，当时，，

由此知可以取，此时，即当时，函数有最小值（下同方法一）．

方法三：（从几何意义上考虑）同方法二，，

则可以看作是平面上的定点，与动点上连点的斜率，

而动点是单位圆在第二象限的后半区的一段弧，

设过点的直线方程为，由于圆心到直线的距离不大于圆的半径，

则(下面的分析类似解法一)．

选用函数模型②：

方法一：（导数的方法）

，令则，

平方得，解得，由于，

故，并且可以判断这个是函数的最小值点，

此时，下面对实际问题的解释类似上面的解法．

方法二：（判别式的方法）将函数看作常数，移项，平方，

整理得，由于是实数，

故，即，

解得，或，由于，舍掉这个解，

故函数的最小值是，当时，

方程有两个相等的实数根

（下面对实际问题的解释类似于上面的解法）．

点评：本题考查函数的概念、解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力．命题者匠心独具地把对同一个问题让考生用不同的变量建立数学模型，而在接下来的第二问中又要求考生选用所建立的两个函数模型中的一个来解决优化问题，这就要求考生有对数学模型较高的鉴赏能力，选用的模型不同，其简繁程度就不同，使考生在比较鉴别中体会数学的美学价值，是一道值得称道的优秀试题．

题型8 定积分（理科）

例15．若，则实数等于

A． B． C． D．

分析：根据微积分基本定理计算定积分，利用方程解决．

解析：．答案A．

点评：根据微积分基本定理计算定积分的关键是找到一个函数，使这个函数的导数等于被积函数，同时要合理地利用定积分的性质和函数的性质简化计算．

例16．（广东潮州市2008~2009学年度第一学期高三级期末质量检测理科第13题）两曲线所围成的图形的面积是_________．

分析：根据函数图象把所求的面积表示为函数的定积分，根据微积分基本定理求出这个定积分即可．

解析：由，解得，或，即两曲线的交点和，所求图形的面积为．答案．

点评：定积分的简单应用主要就是求曲边形的面积，注意根据函数图象准确地地用定积分表示这个面积．

【专题训练与高考预测】

一、选择题

1．已知函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是 （ ）

A． B． C． D．

2．定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有，且，则的值为

（ ）

A． B． C．0 D．1

3．已知函数①；②；③；④．其中对于定义域内的任意一个自变量都存在唯一个自变量，使成立的函数是 （ ）

A．③ B．②③ C．①②④ D．④

4．设，函数的导函数是，且是奇函数 ． 若曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为 （ ）

A． B．

C． D．

5．已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是 （ ）

A．　 B． C．　　 D．

6．一质点沿直线运动，如果由始点起经过称后的位移为，那么速度为零的时刻是 （ ）

A．秒 B．秒末 C．秒末 D．秒末和秒末

二、填空题

7．已知函数，则关于的不等式的解集是 ．

8．已知函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围为_________．

9．（文科）有下列命题：①函数的图象中，相邻两个对称中心的距离为；②函数的图象关于点对称；③关于的方程有且仅有一个实数根，则实数；④已知命题：对任意的，都有，则：存在，使得．其中所有真命题的序号是 ．

9．（理科）（1） ．

【解析】这个面积是．

三 解答题

10．已知函数，其中为实数．

（1）若时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，若关于的不等式恒成立，试求的取值范围．

11．已知，，

（1）若在处取得极值，试求的值

和的单调增区间；

（2）如右图所示，若函数的图象在连续

光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在

使得？（用含有

的表达式直接回答）

（3）利用（2）证明：函数图象上任意两点的连线斜率不小于．

12．已知函数．

（1）若函数与的图象在公共点P处有相同的切线，求实数的值并求点P的坐标；

（2）若函数与的图象有两个不同的交点M、N，求的取值范围；

（3）在（2）的条件下，过线段的中点作轴的垂线分别与的图像和的图像交点，以为切点作的切线，以为切点作的切线．是否存在实数使得，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．

【参考答案】

1．解析：A 条件等价于函数单调递减．

2．解析：D 由，得，因此，是周期函数，并且周期是函数的图象关于点成中心对称, 因此， =-，所以，

，＝

3．解析：A ②④是周期函数不唯一，排除；①式当=1时，不存在使得成立，排除；答案：A．

4．解析：D ，由于是奇函数，故对任意恒成立，由此得，由得，即，解得，故，故切点的横坐标是．

5．解析：D，因为在上为减函数，故在上恒成立，即在上恒成立，等价于在上的最大值．设，，故，，选答案D．

6．解析：D，即，令，解得或，选答案D．

7．解析： 是奇函数，

又，在单调递增，故定义在上的且是增函数．由已知得

即．

故．

即不等式的解集是．

8．解析： 对一切恒成立，，令，则当时，函数取最大值，故，即．

9．（文科）解析：③④ ①函数，相邻两个对称中心的距离为，错误；②函数图象的对称中心应为，错误；③正确；④正确．

9．（理科）解析： ．

（2）直线与抛物线所围成图形的面积为 ．

10．解析：（1）．当时，，从而得，故曲线在点处的切线方程为，即．

（2）．由，得，令则令则，即在上单调递增．所以，因此，故在单调递增．则，因此的取值范围是．

11．解析：（1），

依题意，有，即 ．

，．

令得或，

从而的单调增区间为和．

（2）．

（3），

由（2）知，对于函数图象上任意两点，在之间一定存在一点,使得，又，故有，证毕．

12．解析：（1）设函数与的图象的公共点，则有

①

又在点P有共同的切线

∴代入①得

设

所以函数最多只有个零点，观察得是零点，

∴，此时

（2）方法1 由

令

当时，，则单调递增

当时，，则单调递减，且

所以在处取到最大值，

所以要使与有两个不同的交点，则有．

方法2 根据（1）知当时，两曲线切于点，此时变化的的对称轴是，而是固定不动的，如果继续让对称轴向右移动即，两曲线有两个不同的交点，当时，开口向下，只有一个交点，显然不合，所以．

（3）不妨设，且，则中点的坐标为

以为切点的切线的斜率

以为切点的切线的斜率

如果存在使得，即 ①

而且有和，

如果将①的两边同乘得

，

，即．

设，则有，令，

，∵，∴

因此在上单调递增，故，所以不存在实数使得．

高考数学-函数与导数（知识点归纳+习题）