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《经济数学基础14》期末总复习

各位同学：

本复习材料的计算题务必要动手做做才能掌握其方法，改变具体的数字也必须会的。对同学们而言，这是成败的关键！努力复习吧，胜利在向你招手！

试题类型：试题类型分为单项选择题、填空题和解答题．三种题型分数的百分比为：单选择题15%，填空题15％，解答题70％．

内容比例：微积分占58%，线性代数占42%

考核形式：期末考试采用闭卷笔试形式，卷面满分为100分．

考试时间：90分钟．

复习建议：

说明 .虽然试卷中给出了导数、积分公式，但要在复习时通过练习题有意识的记记，要把公式中的x念成u，并注意幂函数有两个特例（）当公式记，考试时才能尽快找到公式并熟练应用。导数的计算重点要掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法则；积分的计算重点是凑微分和分部积分法（要记住常见凑微分类型、分部积分公式）。

3.代数中的两道计算题要给予足够的重视，关键是要熟练掌握矩阵的初等行变换（求逆矩阵，解矩阵方程，方程组的一般解，必须要动手做题才能掌握！）

微分学部分综合练习

一、单项选择题

1．函数的定义域是（ ）．

A． B． C． D． 且

2．下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等．

A．， B．， + 1

C．， D．，

3．设，则（ ）．

A． B． C． D．

4．（2011.1考题）下列函数中为奇函数的是（ ）．

A． B． C． D．

5．已知，当（　 ）时，为无穷小量.

　　A.　 B. 　　C.　　　 D.

6．当时，下列变量为无穷小量的是（ ）

A． B． C． D．

7．函数在x = 0处连续，则k = ( )．

A．-2 B．-1 C．1 D．2

8．曲线在点（0, 1）处的切线斜率为（ ）．

A． B． C． D．

9．曲线在点(0, 0)处的切线方程为（ ）．

　　A. y = x　 B. y = 2x 　　C. y = x　　　 D. y = -x

10．设，则（ ）．

A． B． C． D．

11．下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）．

A．sinx B．e x C．x 2 D．3 – x

12．（2011.1考题）设需求量q对价格p的函数为，则需求弹性为Ep=（ ）．

A． B． C． D．

二、填空题

1．函数的定义域是 ．

2．函数的定义域是 ．

3．若函数，则 ．

4．设，则函数的图形关于　　　　　对称．

5．　　　　　　.

6．已知，当 时，为无穷小量．

7. 曲线在点处的切线斜率是 ．

注意：一定要会求曲线的切线斜率和切线方程，记住点斜式直线方程

8．函数的驻点是　　 　 　.

9. 需求量q对价格的函数为，则需求弹性为 ．

10.（2011.1考题） 函数的间断点是　 　 　.

三、计算题（通过以下各题的计算要熟练掌握导数基本公式及复合函数求导法则！这是考试的10分类型题）

1．已知，求． 2．已知，求．

3．已知，求． 4．已知，求．

5．已知，求； 6．设，求

7．设，求． 8．设，求．

四、应用题（以下的应用题必须熟练掌握！这是考试的20分类型题）

1．设生产某种产品个单位时的成本函数为：（万元）,

求：（1）当时的总成本、平均成本和边际成本；

（2）当产量为多少时，平均成本最小？

2．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为（为需求量，为价格）．试求：

（1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？

3．某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q（元/件），试求：

（1）产量为多少时可使利润达到最大？ （2）最大利润是多少？

4．某厂每天生产某种产品件的成本函数为（元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？

5．已知某厂生产件产品的成本为（万元）．问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？

参考解答

一、单项选择题

1．D 2．D 3．C 4．C 5．A 6．D 7．C 8．A 9．A 10．B 11．B 12．B

二、填空题

1．[-5，2] 2．(-5, 2 ) 3． 4．y轴 5．1 6． 7． 8．　　 9．

10．X=0

三、计算题

1．解：

2．解

3．解

4．解：

　 5．解：因为

所以

6．解：因为 所以

7．解：因为

所以

8．解：因为

所以

四、应用题

1．解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：

，

所以，

，

（2）令，得（舍去）

因为是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当20时，平均成本最小.

2．解 （1）成本函数= 60+2000．

因为 ，即，

所以 收入函数==()=．

（2）利润函数=- =-(60+2000) = 40--2000

且 =(40--2000=40- 0.2

令= 0，即40- 0.2= 0，得= 200，它是在其定义域内的唯一驻点．

所以， = 200是利润函数的最大值点，即当产量为200吨时利润最大．

3．解 （1）由已知

利润函数

则，令，解出唯一驻点.

因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，

（2）最大利润为

（元）

4．解 因为

令，即=0，得=140， = -140（舍去）.

=140是在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值.

所以=140是平均成本函数的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为 （元/件）

5．解 因为 == ， ==

令=0，即，得， =-50（舍去），

=50是在其定义域内的唯一驻点．

所以， =50是的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品．

积分学部分综合练习

一、单选题

1．下列等式不成立的是（ ）．正确答案：D

A． B．

C． D．

2．若，则=（ ）. 正确答案：D

A.　 B. 　C.　　 D.

注意：主要考察原函数和二阶导数

3．下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ ）．正确答案：C

A． B．

C． D．

4. 若，则f (x) =（ ）．正确答案：C

A． B．- C． D．-

5. 若是的一个原函数，则下列等式成立的是( )．正确答案：B

A． B．

C． D．

6．下列定积分中积分值为0的是（ ）．正确答案：A

A． B．

C． D．

7．下列定积分计算正确的是（ ）．正确答案：D

A． B．

C． D．

8．下列无穷积分中收敛的是（ ）． 正确答案：C

A． B． C． D．

9．无穷限积分=（ ）．正确答案：C

A．0 B． C． D.

二、填空题

1． ． 应该填写：

注意：主要考察不定积分与求导数（求微分）互为逆运算，一定要注意是先积分后求导（微分）还是先求导（微分）后积分。

2．函数的原函数是 ．应该填写：-cos2x + c

3．若存在且连续，则 ． 应该填写：

注意：本题是先微分再积分最后在求导。

4．若，则　　　　　　. 应该填写：

5．（2011.1考题）若，则= . 应该填写：

注意：

6．　　　　　　. 应该填写：0

注意：定积分的结果是“数值”，而常数的导数为0

7．积分 ． 应该填写：0

注意：奇函数在对称区间的定积分为0

8．无穷积分是 ． 应该填写：收敛的

三、计算题（以下的计算题要熟练掌握！这是考试的10分类型题）

1． 解： ==

2．计算 解：

3．计算 解：

4．计算 解：

5．计算（ 2011.1考题）

解： = =

6．计算 解： =

7． 解： ===

8． 解： =- ==

9． 解：

= =＝=1

注意：熟练解答以上各题要注意以下两点

（1）常见凑微分类型一定要记住

（2）分部积分：，常考的有三种类型要清楚。

四、应用题（以下的应用题必须熟练掌握！这是考试的20分类型题）

1． 投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.

解： 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为

== 100（万元）

又 = =

令 ， 解得. x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值。 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.

2．已知某产品的边际成本(x)=2（元/件），固定成本为0，边际收益(x)=12-0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？

解： 因为边际利润 =12-0.02x –2 = 10-0.02x

令= 0，得x = 500；x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值.

所以，当产量为500件时，利润最大.

当产量由500件增加至550件时，利润改变量为

=500 - 525 = - 25 （元）

即利润将减少25元.

3．生产某产品的边际成本为(x)=8x(万元/百台)，边际收入为(x)=100-2x（万元/百台），其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？

解： (x) = (x) - (x) = (100 – 2x) – 8x =100 – 10x

令(x)=0, 得 x = 10（百台）；又x = 10是L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，

故x = 10是L(x)的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大.

又 △

即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元.

4．已知某产品的边际成本为(万元/百台)，为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.

解：因为总成本函数为 =

当= 0时，C(0) = 18，得 c =18； 即 C()=

又平均成本函数为

令， 解得= 3 (百台) ， 该题确实存在使平均成本最低的产量.

所以当q = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为 (万元/百台)

5．（2011.1考题）设生产某产品的总成本函数为(万元)，其中x为产量，单位：百吨．销售x吨时的边际收入为（万元/百吨），求：(1) 利润最大时的产量；

(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？

解：(1) 因为边际成本为，边际利润= 14 – 2x

令，得x = 7 ； 由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大.

(2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为= - 1（万元）

即利润将减少1万元.

线性代数部分综合练习题

一、单项选择题

1．（2011.1考题）设A为矩阵，B为矩阵，则下列运算中（ ）可以进行.

正确答案：A 注意：换个数也要会。

A．AB B．ABT C．A+B D．BAT

2．设为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ） 正确答案：B

A.　 　 B.

C. D.

注意：转置矩阵、逆矩阵的性质要记住

3．以下结论或等式正确的是（ ）． 正确答案：C

A．若均为零矩阵，则有 B．若，且，则

C．对角矩阵是对称矩阵 D．若，则

4．设是可逆矩阵，且，则（　 ）. 正确答案：C

　　A.　　 　B.　　 C.　　D.

注意：因为A(I+B)=I,所以I+B

5．设，，是单位矩阵，则＝（ ）．

正确答案：D

A． B． C． D．

6．设，则r(A) =（ ）．正确答案：C

A．4 B．3 C．2 D．1

7．设线性方程组的增广矩阵通过初等行变换化为，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ ）正确答案：A

A．1 B．2 C．3 D．4

8．线性方程组解的情况是（ 　）．正确答案：A

A. 无解　　 　B. 只有0解　 C. 有唯一解　 　 D. 有无穷多解

9．设线性方程组有无穷多解的充分必要条件是（ ）．

正确答案：D

A． B． C． D．

10. 设线性方程组有唯一解，则相应的齐次方程组（ ）．

A．无解 B．有非零解 C．只有零解 D．解不能确定

正确答案：C

二、填空题

1．若矩阵A =，B =，则ATB= ．应该填写：

2．设均为阶矩阵，则等式成立的充分必要条件是 . 应该填写：是可交换矩阵

3．（2011.1考题）设，当　　 　　 时，是对称矩阵. 应该填写：0

4．设均为阶矩阵，且可逆，则矩阵的解X= ．

应该填写：

5．（2011.1考题）若线性方程组有非零解，则 ．应该填写：-1

6．设齐次线性方程组，且秩(A) = r < n，则其一般解中的自由未知量的个数等于 ．应该填写：n – r

7．齐次线性方程组的系数矩阵为则此方程组的一般解为 .

应该填写： (其中是自由未知量)

三、计算题（以下的各题要熟练掌握！这是考试的15分类型题）

1．设矩阵A =，求逆矩阵．

解： 因为 (A I )=

所以 A-1=

注意：本题也可改成如下的形式考：

例如 ：解矩阵方程AX=B,其中

，，答案：

又如：已知，，求

2．设矩阵A =，求逆矩阵．

解： 因为， 且

所以

3．设矩阵 A =，B =，计算(BA)-1．(2011.1考题只是变了几个数字)

解： 因为BA==

(BA I )=

所以 (BA)-1=

4．设矩阵，求解矩阵方程．

解：因为， 即

所以X ===

5．求线性方程组的一般解．（2011.1考题）

解： 因为

所以一般解为 （其中，是自由未知量）

6．求线性方程组的一般解．

所以一般解为 （其中是自由未知量）

7．设齐次线性方程组，问取何值时方程组有非零解，并求一般解.

解： 因为系数矩阵A =

所以当 = 5时，方程组有非零解. 且一般解为（其中是自由未知量）

8．当取何值时，线性方程组有解？并求一般解.

解： 因为增广矩阵

所以当=0时，线性方程组有无穷多解

且一般解为是自由未知量〕

这类题也有如下的考法：当为何值时，线性方程组

有解，并求一般解。

9．为何值时，方程组

有唯一解，无穷多解，无解？

当且时，方程组无解；

当，时方程组有唯一解；

当且时，方程组有无穷多解。

最新经济数学基础期末总复习知识点复习考点归纳总结