俄罗斯国家数学教育标准简介
--——小学部分

查看：405次; 发表于 2008-12-17 10:13 

朱文芳

(北京师范大学  数学科学学院, 北京  100875）

摘要：俄罗斯最新颁布的小学数学教育标准包括：小学数学的教学目的；教学大纲规定必学的最少内容；对培养毕业生水平的要求。为保持俄罗斯小学数学教育的统一性，并为教科书的编写和教师的教学提供宽广的创造性空间，教育部还提供了一个示范性小学数学教学大纲。
关键词：俄罗斯 数学教育标准 小学 示范性教学大纲

　　俄罗斯教育部于2004年3月5日颁布了国家教育标准[1]。俄罗斯目前的学制是11年制。其中1-9年级为义务教育阶段，小学阶段是1-4年级。下面对其中的小学（1-4年级）数学教育标准[2]予以简介。

一、小学数学的教学目的
　　普通教育阶段的小学数学应力求达到下列教学目的：
　　1．发展学生的形象思维和逻辑思维，想象力；形成顺利地解决教学中的和实际中的问题，以及后续教育所必须的数学技能和习惯；
　　2．掌握数学知识的基础，形成关于数学的初步概念；
　　3．培养对数学的兴趣，力求将数学知识应用到日常生活中。

二、数学教学大纲规定必学的最少内容
　　1．数与计算
　　计算。从0到1000000之间的数的读法，大小顺序和书写。数组（注：数组指自然数中每三位为一个数组，如第一个数组指：个位、十位、百位；第二个数组指：千位、万位、十万位；第三个数组指：百万、千万、亿…）与数位。数的相等、大于、小于关系，它们的符号表示=,<,>。
　　数的加法、减法，相应的符号表示。加法表。比…大，比…小的关系。
数的乘法和除法，相应的符号表示。乘法表。是…的几倍，是…的几分之一的关系。带余除法。
　　包括零的四则运算。
　　确定算式的运算顺序。求带有括号和没有括号的算式的值。
　　求两个加数的和，求两个因数的积。求一组加数的和。求一组因数的积。用数乘以和，用和乘以数。用和除以数。
　　自然数的口算与笔算。利用运算律完成计算。求四则运算中的未知部分。检验计算是否正确的方法。
　　按照事物的不同特征比较与分类（长度、重量、容积）。长度单位（毫米、厘米、分米、米、千米），重量单位（克、千克、一百公斤、吨），容量（升），时间（秒、分钟、小时、一天、一周、一月、年、世纪）。
　　确定过程中所特有的量之间的关系：运动（路程、时间、速度）；工作（工作总量、时间、工作效率）；买卖（商品数量、它的价钱与价格）。构造最简单的形如“与/或”“如果，那么”“不仅，而且”的逻辑表达式。
　　用算术方法解应用题（草图、表格、简记与其他模型）。
　　2．空间关系 几何图形 几何量的测量
　　确定空间位置关系：高-低，上-下，左-右，前-后，近-远，在…之前，在…之后，在…之间等。
　　识别和想象几何图形：点，直线，线段，角，多边形（三角形，长方形）。识别：圆与圆周；球与球面。测量线段的长度，作已知长度的线段。
计算多边形的周长。认识几何图形的面积。面积单位（平方毫米、平方厘米、平方米）。计算长方形的面积。

三、对培养毕业生水平的要求
　　由于俄罗斯允许全国性和地方性的不同学校类型的教育模式创造使用各种数学教学大纲和教科书，为保障俄罗斯在全国范围内基础数学教育的统一性，国家数学教育标准对培养毕业生的水平提出了明确要求。这些要求分为三部分：[1]知道/理解，[2]会，[3]把所学的知识与技能应用于实践活动和日常生活中。后两个部分分别对应于每个教学内容。
　　小学生通过学习数学后应该
　　[1]知道/理解
　　•1000000以内数的顺序；
　　•一位数的加法和减法表；
　　•一位数的乘法和除法表；
　　•完成算式的运算。
　　[2]会
　　•读，写和比较1000000以内的数；
　　•把一个多位数表示为几个加数和（如326=300+20+6）的形式；
　　•利用已学过的数学术语；
　　•口头完成百以内数，以及可以容易地归结为百以内数计算的大数的四则运算；
　　•完成百以内数的带余除法；
　　•完成笔算（多位数加法和减法，多位数与一位数和两位数的乘法和除法）；
　　•完成含有零的计算；
　　•计算含有2至3个运算（有括号和没括号）的算式的值；
　　•检验所完成计算的正确性；
　　•用算术方法（不多于2个运算）解应用题；
　　•用直尺画已知长度的线段，测量已知线段的长度；
　　•识别所学习的几何图形并能（用直尺或徒手）在纸上画出它们；
　　•计算长方形（正方形）的周长和面积；
　　•按数量的意义比较大小；用不同的单位表示已知量；
　　[3]把所学的知识与技能应用于实践活动和日常生活中
　　•在空间环境中定位（计划行程线路，选择运动途径等）；
　　•按物体的不同特征（长度、面积、质量、容积）比较和分类；
　　•按小时（几时几分）确定时间；
　　•解与日常生活（买卖，测量，称重等）有关的问题；
　　•用眼估计物体的大小；
　　•独立地设计活动（考虑应用不同几何图形的可能性）。
四、示范性小学数学教学大纲
　　俄罗斯在这个教育标准颁布之前，没有用过国家教育标准的概念。在前苏联其角色是由统一的教学计划和各科教学大纲来完成的。教学计划给出的是各科的教学时间分配方案；教学大纲指明课程的各章内容，提出基本概念和主导思想，阐明对组织教学过程的要求，说明教授方法的特点，以及对学生知识、技能及其评价标准的要求。
　　由于俄罗斯地域广大和民族的多样性，统一的教学计划和教学大纲显得过于理想化，对教师的主动性、对学生按照自己的兴趣和能力学习的自由性的关注不够。特别地，苏联的解体，使俄罗斯的教育受到较大的冲击。教育的改革使学校过渡到一个新的阶段，许多学校改变了章程，引进了新的教学计划。学校可以更自由地选择教学科目和学习内容的范围（包括教学大纲和所使用的教科书），教师可以更自由地组织教学过程，选择教学内容和教学方法，评价方式等都发生了很大的变化。
　　另外，国际上一些国家（如美国）开始使用“教育标准”。为了跟上国际教育发展的步伐，以及便于与其他国家进行比较，俄罗斯需要一个国家教育标准。在《普通教育国家教育标准法》（草案）中明确指出，“经常与教育领域居领先地位的国家教育标准进行对比，以保证国家教育标准范围内普通教育基础的教育质量不低于国际水平”[3]。
　　但是，由于首次使用国家教育标准，实际中人们更熟悉教学计划与教学大纲，因此，教学计划仍旧存在，但是有多种方案供选择使用。为了说明教育标准与过去的各种教育文件之间的关系，俄罗斯教育部又颁布了各科教学大纲。国家颁布教学大纲具有示范功能，故名示范性教学大纲。
　　在实施新的数学教育标准过程中，为保持俄罗斯数学教育的统一性，编写小学数学教学大纲和教科书的依据是国家小学数学教育标准。它确定了创作者可以选择的教学内容，以及编写的课程中必须要包含内容的界限。教学大纲与教科书的作者可以提出个人组织教学材料的方法，确定学习这些材料的顺序，形成数学知识技能体系和数学活动的方法，以及促进学生的智力发展和社会化的途径。与小学数学教育标准一样，示范性教学大纲并不束缚教师和教科书编者的创造性，但它把小学数学教育标准的内容具体化了。示范性小学数学教学大纲[4]包括三部分：解释性说明；课程教学时数的示范分配的基本内容；对培养毕业生水平的要求（与教育标准中的一样，故略）。主要内容如下：
　　1．课程教学时数的示范分配
　　根据俄联邦普通教育基础教学计划在小学普通教育阶段（从1-4年级）学习数学一周要4学时，总共540学时。示范性大纲中教学的基本内容仍旧是较大的区段。这样的设计允许建立各种数学课程的模型，按不同结构组织教科书内容，以不同方法分配教学材料和它的学习时间。在四年中有10%，也就是54学时，可用于实现创造者利用各种形式组织教学过程，贯彻现代的教学方法和教育艺术的教学时间。其他时间分配如下：数与计算350-370学时，空间关系，几何图形，几何量的测量140-120学时。
　　2．具体内容
　　数与计算（350-370学时）
　　非负整数。物体（现实物体，它们的形象，几何形状的模型等）的计数。在十进制系统中从0到1000000自然数的认读和书写，以及序数性质。数0的意义。一位数，两位数，三位数等。数组和数位：个位数组（指：个位、十位、百位），千位数组（指：千位、万位、十万位），百万数组（指：百万位、千万位、亿）；在个位数组和千位数组中的数位（注：在个位数组中第Ⅰ位为个位，第Ⅱ位为十位，第Ⅲ位为百位；在千位数组中的第Ⅰ位为千位，第Ⅱ位为万位，第Ⅲ位为十万位）。十进制数的加法的和的意义。
数的“相等”“大于”“小于”，以及用符号“=”“<”“>”表示。应用数的序数性质，减法、除法，比较数的大小；多位数的大小比较。
　　数的算术运算。加法和减法。具体运算的意义和名称。加号“+”和减号“-”。加法和减法各部分的名称。加减计算的含义：一个数加上另一个数所得的和与这个和减去其中一个数所得的差的关系。利用已学过的知识计算两个一位数的加法，它们的和大于10。一位数加法表和相应的减法表。比…大多少，比…小多少的关系。求比已知数大几或小几的数。
　　乘法和除法。具体运算的意义和名称。乘号“﹒”和除号“﹕”。乘法和除法各部分的名称。一位数的乘法表和相应的除法表。乘和除以1。是…的几倍，是…的几分之一。求已知数的几倍或几分之一的数。带余除法。带余除法的检验。
0的算术运算。含有0的加法和减法。含有0的乘法。0的除法（0不能做除数）。
四则运算的算式。含有括号的算式。定义完成算式运算的顺序。求含有括号或不含有括号的算式的值。
　　加法和乘法的交换律，结合律。乘法对加法的分配律。和乘上一个数与一个数乘以和。和除以一个数。利用四则运算的性质完成计算。
自然数的口算。100以内数的口算：两位数和一位数的加法，从两位数中减去一位数，两位数的加法和减法，两位数乘以一位数的乘法（12 3，30 3等），两位数除以两位数或一位数的除法（36﹕12，63﹕3等）。大于100的数的口算，在优秀学生中进行超过百的口算（300+56，140-15，700 3，1200﹕300等等）和乘数或除数是10，100，1000的乘法和除法。
　　自然数的笔算。百万以内数的加法和减法运算的算法。两位数至四位数乘以一位数或两位数；三位数至六位数除以一位数或两位数。
加法（减法，乘法，除法）算式中各部分之间的关系。求算式中未知的部分。检验计算正确性的方法。
　　量。按不同特征比较物体：长度、重量、容积。
　　长度。长度单位：毫米（mm），厘米（cm）,分米（dm），米（m），千米（km）。它们之间的关系。
　　重量。重量的单位：克，千克，一百公斤，吨。它们之间的关系。
　　容积。容积的单位：升。
　　时间。时间的单位：秒，分钟，小时，昼夜，星期，月，年，世纪。它们之间的关系。
　　过程中形成的量之间的关系：运动，做工，买卖等。速度，时间，工作效率；商品数量，它的价格和价钱等。
　　建立最简单的逻辑表达式类型：…与…，…或…，如果…那么…，不仅…而且…等。
用算术方法解应用题（利用草图，表格，简短的笔记和其他的模型）。
　　实践活动：利用尺子测量长方体（平行六面体）形状的物体某方向上的长度。称物体重量。利用已知量器比较两个器皿容积。按小时确定精确到分钟的时间；精确到小时的时间。
　　空间关系。几何形状。几何量的测量（120-140学时）
　　空间关系。通过比较确定空间关系：高-低，左-右，上-下，远-近，向前-向后，在…前面，在…后面，在…之间等等。物体在空间里和在平面上的位置关系。运动方向：从左向右，从右向左，从上到下，从下向上。
　　按大小和形状比较物体（大-小，高-低，比较长-比较短等等）。把物体分类：较大的，较小的，一样大的。
　　几何图形。几何量的测量。
　　识别和想象几何图形：点，直线，线段，角（直角），多边形，三角形，长方形（正方形）。
　　识别几何图形：圆和圆周，球和球面。
　　借助于有刻度的尺子比较线段长度，测量线段长度，作给定长度的线段。
　　多边形。多边形的顶点，方向和角。计算多边形周长。
　　面积。面积单位：平方厘米（cm2）,平方分米（d m2）,平方米（m2）。计算长方形（正方形）的面积。
　　实践活动：获得直角的模型。用一张纸做直角和长方形。借助于直角模型在已知角中找出直角，在已知多边形中找出长方形。借助于方格纸测量几何图形的面积。

五、俄罗斯小学数学教育标准的特点
　　俄罗斯国家教育标准的方针是建立俄罗斯联邦统一的教育空间，在建立新的教育模式的同时，尝试着不要丢失那些在前苏联时期就已形成的好的东西。同时，保障使每一个公民实现受教育的权力，使俄罗斯的全民基础教育质量不低于国际水准。为此，俄罗斯小学数学教育标准具有如下特点。
　　1．俄罗斯小学数学教学目的简明清晰
从俄罗斯小学数学教育标准中可以看出，俄罗斯的小学数学教学目的简明清晰。可以概括为发展思维、掌握知识、培养兴趣。
与之不同的是，我国义务教育阶段数学课程标准中对应年级的教学目标则显得丰富。既有“总体目标”，又有“学段目标”，每一部分内容标准中又有“具体目标”[5]。对于使用这些教学目标的教材编写者，以及数学教师来说，怎样处理各种教学目标之间的关系，就显得尤为重要。
　　事实上，对于进行具体教学的一线数学教师而言，准备一节数学课时，特别是写教案时，如果要关注的教学目标颇多，以及各种“目标”的关系复杂，就容易造成教师书写的教学目标很笼统、空洞，不具体，将整个的总体目标或一个学段的目标，当作一个课的教学目标来设计教学，显然实际上这是不可能实现的。
　　2．从俄罗斯普通小学数学教学大纲规定必学的最少内容上看，仅包括传统的算术和简单的几何内容。
　　俄罗斯数学家认为“俄罗斯数学教育具有较高水平，是以算术化问题的技能为基础。……近来数学教育改革的代数化把学生变成了机器，而正是算术途径才可以显示出我们所教的数学的丰富性”[6]所以，俄罗斯小学数学教育标准里最少教学内容中提出要“用算术方法解应用题（调查表、表格、简记与其他模型）”。也就是说，数与计算的教学是小学数学教学的主要目的之一（但绝不是唯一的目的），空间关系 几何图形 几何量的测量的要求主要是在几何直观，以及几何量的计算上。
　　从俄罗斯普通小学数学教学大纲规定必学的最少内容上看，与我国小学的第一学段（1-3年级）的数学内容类似，但比我国的教学内容要少（我国还包括统计初步）。我国小学到4年级时，数学课程已经开始学习分数和小数，有的教材[7]甚至开始教学“正负数”，“用字母表示数”“解简单的方程”[8]。这说明我国小学数学的代数化倾向较早，而且内容比较丰富。
　　3．从对小学毕业生的数学教学要求上看，重视应用。
俄罗斯小学数学教育标准对小学毕业生的数学教学要求中明确提出，在日常生活与实践活动中应用所获得的数学知识与技能。在示范性教学大纲中也提出，要达到这个目的需要借助于有趣的应用题，不仅是从日常生活的观点看，而且从其数学内容看都是有用的应用题。而且，给出了实践活动的内容与要求。这一点与我国小学数学课程改革的理念是一致的。

参考文献：
[1] Государственные образовательные стандарты общего образования，http://www.edu.ru/db/portal/obschee/index.htm
[2] Стандарт начального общего образования по математике ，http://www.school.edu.ru/dok_edu.asp?ob_no=19815
[3]张男星著.权力•理念•文化——俄罗斯现行课程政策研究[M].北京：教育科学出版社，2006，93。
[4] Примерные программы начального общего образования，http://window.edu.ru/window_catalog/files/r39234/01-1.pdf
[5] 中华人民共和国教育部制订.全日制义务数学课程标准（实验稿）[M].北京：北京师范大学出版社，2001，6，8，12。
[6] 孙晓天主编.数学课程发展的国际视野[M].北京：高等教育出版社，2003，167。
[7]《数学》（四年级上册）[M].北京：北京师范大学出版社，2005，84。
[8]《数学》（四年级下册）[M].北京：北京师范大学出版社，2005，85。

俄罗斯国家数学教育标准简介
--——5-9年级部分

查看：239次; 发表于 2009-2-10 16:03 

朱文芳

(北京师范大学  数学科学学院, 北京 100875）

摘要：俄罗斯最新颁布的国家（5-9年级）数学教育标准包括：数学教学的目的；教学大纲规定必学的最少内容；对培养毕业生水平的要求。为保持俄罗斯普通基础数学教育的统一性，并为教科书的编写和教师的教学提供宽广的创造性空间，教育部还提供了一个示范性数学教学大纲。
关键词：俄罗斯 数学教育标准 5-9年级 示范性教学大纲

　　俄罗斯教育部于2004年3月5日颁布了国家教育标准[1]。俄罗斯的1-9年级为义务教育阶段。义务教育阶段国家数学教育标准划分为1-4年级和5-9年级两个标准。下面我们对5-9年级的国家数学教育标准[2]予以介绍。

一、5-9年级数学的教学目的
　　在5-9年级学习数学应力求达到下列目的：
　　•掌握用于实践活动、学习相邻学科、接受后续教育所必须的系统数学知识与技能；
　　•发展现代社会中有意义的生活所必须的智力和个性品质：思维的清晰性和准确性，思维的批判性，直觉思维，逻辑思维，初步的算法文化，空间概念，克服困难的能力；
　　•形成数学是科学技术的通用语言和工具，并且是现象和过程模型化的思想方法的概念；
　　•理解数学对于科学技术进步的意义，培养把数学视为人类文化的一部分的态度。
二、教学大纲规定必学的最少内容
　　1．算术
　　　[1]自然数包括：十进制数系；罗马读数法（注：按数组读自然数）；在自然数集上的四则运算；自然数指数幂。
　　　整除；能被2，3，5，9，10整除的特征；素数与合数；把自然数分解为最简因数的积；最大公约数与最小公倍数；带余除法。
　　　[2]分数包括：分数的意义；分数的基本性质；分数的比较；分数的四则运算；从整体中求部分和利用部分求整体。
　　　小数；小数的比较；小数的四则运算；把小数变成分数和把分数变成小数。
　　　[3]有理数包括：整数：正数，负数和零；数的绝对值；有理数的比较；有理数的四则运算；整数指数幂。
　　　算式的运算顺序，括号的运用；运算律：交换律、结合律、分配律。
　　　[4]实数包括：平方根；立方根；n次方根（注：这个内容不包括在培养毕业生水平的要求内）；借助于计算器求根的近似值；借助于分数指数幂表示根。
　　　无理数；无理数的小数近似值；作为无限小数的实数；实数的比较，实数的四则运算。
数概念的发展历史。
　　　[5]应用题包括：用算术方法解应用题。
　　　[6]测量，近似，估计包括：测量长度、面积、体积、重量、时间、速度的单位；现实世界中物体的大小（从微小粒子到宇宙），过程延续的时间长短；各个量之间（如：速度、路程与时间之间）的相互关系表示成公式。
　　　百分数；求一个量在整体中的百分比，以及求占一定百分比的量对应的整体。
比与比例；正比例和反比例的关系。
　　　数的四舍五入；估算与估计计算结果；科学记数法。
　　2．代数
　　　[1]代数式包括：字母表示数（变量表达式）；字母表示数的意义；求代数式的值；代数式中的变量替换；代数式的相等；恒等式及其证明；代数式的变形。
　　　整指数幂的性质；多项式；多项式的加法、减法和乘法；乘法公式：和的平方、差的平方、和的立方、差的立方；平方差公式；立方和、立方差的公式；因式分解；二次三项式；完全平方展开为二次三项式；韦达定理；二次三项式分解因式；一元多项式；多项式的根。
　　　分式；约分；分式的运算；有理式及其运算；平方根的性质及其在计算中的应用。
　　　[2]方程与不等式包括：一元方程；方程的根；线性方程；二次方程：二次方程的求根公式；解有理方程；高次方程解法举例：换元法，分解因式法。
　　　二元方程，解二元方程；方程组，解方程组；二元一次方程组，代入消元法和加减消元法；多元方程；非线性方程组解法举例；整数方程举例。
　　　一元不等式；不等式的解；一元一次不等式（组）；一元二次不等式；分式不等式的解法举例；不等式及其性质；不等式的证明。
　　　列代数式；用代数方法解应用题。
　　　[3]数列包括：数列的概念；等差与等比数列；等差与等比数列的通项与前n项和公式。
复利（注：计算利息的一种方法，把前一期的利息和本金加在一起算做后一期的本金，再计算后一期的利息。）
　　　[4]数值函数包括：函数的概念；函数的定义域；函数图象，函数的增减性，函数的最大值和最小值，函数的零点，符号区间；读函数图象。
　　　描述直线和反比例关系的函数及其图象；线性函数及其图象，线性函数中的系数的几何意义；双曲线；二次函数及其图象，抛物线；抛物线顶点的坐标，对称轴；自然数指数的幂函数及其图象；平方根、立方根、绝对值函数的图象；利用函数图象解方程（组）；反映现实过程的函数关系的实例：摆动，按指数增长；描述这些过程的函数。
　　　沿坐标轴平移图象和沿对称轴旋转图象。
　　　[5]坐标包括：用直线上点的坐标表示数；数的绝对值的几何意义；数的区间与线段和射线；直线上两点间的距离公式。
　　　平面笛卡尔坐标系：点的坐标；线段中点的坐标；平面上两点间的距离公式；直线方程，直线的斜率，直线平行的条件；以坐标原点和以任意点为圆心的圆的方程。
　　　二元一次方程（组）的图象解释，二元一次不等式（组）的图象解释。
　　3．几何
　　　[1]几何学的基本概念和定理包括：从实践中产生的几何学；几何图形和几何体；几何学中的相等。
　　　点，直线和平面；点的几何意义；距离；线段，射线；折线；角；直角；锐角和钝角；对顶角和邻补角；角的平分线和性质；平行线和相交线；直线的垂直；直线的平行和垂直的定理；线段中垂线的性质；直线的垂线和斜线；多边形；圆。
　　　立体几何的概念：立方体，平行六面体，棱柱，棱锥，球，球面，圆柱，圆锥；截面举例；展开图举例。
　　　[2]三角形包括：直角三角形；锐角三角形和钝角三角形；三角形的高线、中线和内角平分线，中位线；等腰三角形和等边三角形；等腰三角形的性质和判定。
　　　三角形全等的特征；三角形的不等；三角形的内角和；三角形的外角；三角形的边角关系；泰勒斯定理（注：平行截割比例线段定理）；三角形的相似，相似系数；相似三角形的特征。
　　　毕达哥拉斯定理；直角三角形全等的特征；直角三角形中锐角的正弦、余弦、正切和余切；从0°到180°角的正弦、余弦、正切和余切；根据三角函数求锐角；解直角三角形；基本的三角恒等式；同角的正弦、余弦、正切和余切公式；正弦定理与余弦定理，以及运用它们解三角形。
　　　三角形三边的中垂线的交点，角平分线的交点，三边中线的交点；欧拉圆。
　　　[3]四边形包括：平行四边形及其性质和特征；矩形、正方形、菱形及其性质和判定；梯形，梯形的中位线；等腰梯形。
　　　[4]多边形包括：凸多边形；凸多边形的内角和；正多边形。
圆；圆心，半径，直径；弧，弦；扇形，弓形；圆心角，圆周角，弦切角及其大小；直线和圆、圆和圆的位置关系；圆的切线和割线；由一点引出的两条切线长相等；圆的割线、切线、弦的性质。
　　　三角形的内切圆，外接圆；圆的内接和外切四边形；圆的内接和外切正多边形。
　　　[5]几何量的测量包括：线段的长度；折线的长度，多边形的周长。
　　　点到直线的距离；平行线间的距离；圆的周长，数 ，弧长；角的大小；角的弧度制，角的大小与圆上弧长间的关系。
　　　平面图形面积的概念；图形的等积。
　　　矩形面积；平行四边形，三角形和梯形面积（基本公式）；三角形的面积公式：用两边及其夹角，用三边和外接圆的直径或半径，海伦公式；四边形的面积；圆面积和扇形面积；相似图形面积间的关系。
　　　物体的体积；直平行六面体、立方体、球、圆柱和圆锥的体积公式。
　　　[6]向量包括：向量的长度（模）；向量的坐标；向量的相等；向量的运算：数乘，加法，减法，数量积；向量间的角。
　　　[7]几何变换包括：图形运动举例；图形的对称；轴对称和平移；旋转和中心对称；位似的概念；图形相似。
　　　[8]尺规作图包括：基本作图题：平分线段，已知三边作三角形，作直线的垂线，作角平分线，把线段分成n段相等的部分；作正多边形。
　　4．逻辑，组合，统计与概率论初步
　　　[1]证明包括：定义，证明，公理和定理，推论；必要条件和充分条件；反例；反证法；定理和逆定理。
　　　几何学的公理化概念和公理化结构；欧几里得第五公设和它的历史。
　　　[2]集合与组合包括：集合；集合的元素，子集，集合的交与并；韦恩图。
组合题举例：方案的选择，加法原理和乘法原理。
　　　[3]统计资料包括：用统计表、统计图的形式表示资料；测量的平均结果；在抽样的基础上理解统计结论。
　　　随机事件的概念和举例。
　　　[4]概率包括：事件的确定性，随机性；等可能事件和它们的概率；几何概率的概念。
三、对培养毕业生水平的要求
　　俄罗斯允许全国性和地方性的不同类型的学校创造使用各种数学教学大纲和教科书，为保障俄罗斯基础数学教育在全国范围内的统一性，国家数学教育标准对培养毕业生的水平提出了明确要求。这些要求分为三部分：[1]知道/理解，[2]会，[3]把所学的知识与技能应用于实践活动和日常生活中。后两个部分分别对应于每个教学内容。
　　学生通过学习数学后应该
　　[1]知道/理解
　　•数学证明概念的本质；证明的实例；
　　•算法概念的本质；算法的实例；
　　•应用数学公式、方程、不等式解决数学问题与实际问题；
　　•可以用函数描述现实问题的关系；举出实例；
　　•扩展数概念的实际需要与数学上的必要性；
　　•现实世界中的不确定现象的概率特征；统计规律和实例；
　　•几何学是怎样从测量土地的实际问题中产生的；几何对象和对实际有重要意义的几何学定理；
　　•仅用数学方法解决现实问题，在解释结果的现实意义时产生错误的实例。
　　1．算术
　　　[2] 会
　　•完成口头的四则运算：两位数和小数点后有两位的小数的加减法，一位数乘法，分子和分母是一位数的分数的四则运算；
　　•从数的一种形式转化为另一种形式，把小数表示成分数，分数表示成小数，百分数表示成分数，分数表示成百分数；利用科学记数法表示比较大和比较小的数；
　　•完成有理数的四则运算，有理数的比较和实数的比较；计算有理数的乘方，求简单的平方根和立方根的值；求数值表达式的值；
　　•将整数或小数四舍五入，求数的不足和剩余近似值，完成算式的估计；
　　•使用长度、重量、时间、速度、面积、体积的测量单位；单位之间的换算；
　　•解要用到比或比例、分数和百分数的应用题。
　　　[3] 将所学的知识技能应用于实践活动和日常生活中
　　•解决简单的实际计算问题，必要时可以利用手册、计算器、计算机；
　　•口头估算和估计计算结果；利用不同的方法检验计算结果；
　　•解释所求问题的解与所研究的过程或现象的实际意义。
　　2．代数
　　　[2] 会
　　•列代数式；求代数式的值，换元法；用公式中的其他变量表示其中的一个变量；
　　•进行整指数幂、多项式和分式的基本运算；因式分解；有理式的恒等变形；
　　•应用算术根的性质计算含有平方根的算式的值和进行变换；
　　•解一次方程、二次方程和可以化为它们的有理方程，解二元一次方程组和简单的非线性方程组；
　　•解一元一次不等式（组）和一元二次不等式（组）；
　　•用代数方法解应用题，结合实际选择出恰当的解并解释解的实际意义；
　　•在数轴上用点表示数；
　　•确定平面上点的坐标，用给出的坐标作点；描绘一次不等式的解集；
　　•识别等差数列与等比数列，并应用通项公式和前n项和公式解题；
　　•根据自变量，求用公式、表格、图象给出的函数值；根据图象和表格给出的函数值求自变量的值；
　　•根据函数的图象确定它的性质；利用函数图象解方程（组）或不等式；
　　•描述所研究函数的性质并作出它们的图象。
　　　[3]将所学的知识技能应用于实践活动和日常生活中
　　•建立反映现实量之间关系的代数式并完成计算，求出可供参考的值；
　　•实际情境的模型化，利用代数方法研究所建立的模型；
　　•在研究简单的实际情境时，描述对应的代数式与物理量之间的关系；
　　•解释变量之间的现实关系。
　　3．几何
　　　[2]会
　　•用几何语言描述现实世界中的事物；
　　•识别几何图形，了解它们之间的位置关系；
　　•画几何图形；按条件作图；完成图形变换；
　　•在图示、模型和环境状态下识别出基本的几何体，并画出它们；
　　•作最简单几何体的截面和展开图；
　　•向量的计算，计算向量的长度和坐标，向量间的夹角；
　　•计算几何量的大小（长度、角、面积、体积），包括：从0°到180°角的三角函数值（可以利用计算器等工具）；已知某个角的一种三角函数值，求它其余的三角函数值；求三角形的边长，角和面积；折线长度，圆的弧长，基本几何图形和由它们组成的图形的面积；
　　•根据所研究的图形性质和它们间的关系，利用辅助线、代数和三角工具、对称的思想解几何题；
　　•进行演绎推理证明；
　　•解简单的立体几何问题。
　　　[3]将所学的知识技能应用于实践活动和日常生活中
　　•用几何语言描述现实情境；
　　•进行含有简单三角函数式的计算，并利用三角函数解几何题；
　　•解与几何量有关的实际问题（必要时可以利用参考资料和计算器等工具）；
　　•用工具（直尺、角尺、圆规、量角器）作几何图。
　　4．逻辑，组合，统计与概率论初步
　　　[2]会
　　•进行简单的证明，并评价推理的逻辑正确性，举例说明和使用反例；
　　•利用在统计图表中的信息，制作统计图表；
　　•用简单的随机抽样方法，利用乘法原理和加法原理解题；
　　•计算测量结果的平均值；
　　•利用观察和已有的统计资料，估计事件的可能性；
　　•求最简单情形下随机事件的概率；
　　　[3]将所学的知识技能应用于实践活动和日常生活中
　　•在独立思考与交流时列举论据证明；
　　•区分逻辑、抽象、推理；
　　•进行数学证明；
　　•通过统计图表分析现实的数据信息；
　　•利用数、百分数、长度、面积、体积、时间、速度等解决实际问题；
　　•利用简单的随机抽样方法解数学题和实际问题；
　　•比较随机事件发生机会的大小，在实际情形中估计随机事件的概率；
　　•理解统计结论。
四、对我国数学课程改革的启示
　　1．国家数学教育标准的意义——建立统一的数学教育空间
　　1992年《俄罗斯联邦教育法》中对国家教育标准的规定，以及1994年颁布，2001年修订的《普通基础教育国家教育标准法》（草案），从法律的角度明确了国家数学教育标准的功能。国家数学教育标准是编写区别化、个性化教学大纲和教科书的依据。教学大纲与教材编写者在其制定的培养学生水平、学习内容的广度和深度等方面，可以不同于数学教育标准，但都必须保证不低于数学教育标准的水平。国家数学教育标准不限制地区的特殊发展和不同类型学校创造和使用各种教学大纲，只规范保证数学教育质量的最低水平，在全国范围内建立统一的数学教育空间。
　　我国的数学课程标准也具有类似的功能。但是，比较两国的标准可知，俄罗斯的数学教育标准不仅包含内容标准，而且具有明确的评价标准。在内容标准上提出的是最少内容，评价标准上主要考察的是完成最少内容所要达到的最低水平。我国的数学课程标准给出的主要是内容标准。在内容标准中将教学内容与教学要求混编在一起描述。评价方面的要求通过实施建议中的“评价建议”[3]来体现，但它只是对教师与教学的评价方式的要求，而非对学生通过数学学习要达到的水平的要求。这样，由于评价标准的不明确，再加上实际教学中考试的压力，导致我国实施标准时，实际上追求的是数学课程内容的最大容量，要求学生达到的是内容标准的最高水平。这样，在全国范围内不同地区教育质量的差异造成无法保证所有9年级毕业生数学教育水平的统一性。因此，我国的数学课程标准在保障全民义务教育的统一性上逊色于俄罗斯的国家数学教育标准。
　　2．教学大纲的示范性——表明数学教育的开放程度
　　俄罗斯在颁布国家数学教育标准的同时，还颁布了一个数学教学大纲。这个数学教学大纲被称为示范性数学教学大纲，这意味着它并不具有与数学教育标准一样的国家政策法规的功效，即它不具有要求学校或教材编写者一定据此组织教学的特点。示范性数学教学大纲是在国家数学教育标准的基础上形成的，它是数学教育标准的一种具体化的样例。大纲按5-9年级学习数学的课时总数为875学时给出了教学时间的分配方案，具体如下：①算术250学时；②代数270学时；③几何220学时；④逻辑，组合，统计与概率论初步45学时。还有90学时，属于教学自由支配的时间。[4]当然，学校或教材编写者可以完全不受示范性数学教学大纲的影响，自己编制或使用其它的数学教学大纲。例如，可以给出更多的数学内容，确定学习这些材料的顺序，形成数学知识技能体系和数学活动的方法，以及促进学生的智力发展和社会化的途径。也就是说，示范性数学教学大纲说明了数学教育具有的开放程度。
　　与俄罗斯不同的是，我国用数学课程标准完全取代了过去的数学教学大纲。过去的数学教学大纲以学科知识为主线，按年级给出教学内容以及教学要求。对于教材编写者与教师教学来讲，很具体，具有较强的可操作性。而现在的数学课程标准与过去的数学教学大纲有很大差异。用数学课程标准完全取代数学教学大纲的做法，造成了实践中的数学教育工作者在实施新课程时的许多困难。一些教师特别是经验丰富的老教师经常感到困惑，感叹现在不会教数学了。目前我国数学课程标准正在修订过程中，我认为应该借鉴俄罗斯国家数学教育标准的做法，正确处理好国家的统一要求与数学教育实践者所拥有的开放空间之间的关系。

俄罗斯国家数学教育标准简介