行列式部分的填空题

1．在5阶行列式中，项a13a24a32a45a51前的符号应取 正 号。

2．排列45312的逆序数为 8 。

3．行列式中元素x的代数余子式是 　8　 ．

4．行列式中元素-2的代数余子式是 -11 。

5．行列式中，的代数余子式是 -5 。

6．计算= 0

行列式部分计算题

1．计算三阶行列式

解： =（-4）= -4

2．决定i和j，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列.

解：i和j等于5或8。

（1）当i=5，j=8时，排列1 2 3 4 i 6 j 9 7则成为排列1 2 3 4 5 6 8 9 7，N(1 2 3 4 5 6 8 9 7)=2,该排列为偶排列。

（2）当i=8，j=5时，排列1 2 3 4 i 6 j 9 7则成为排列1 2 3 4 8 6 5 9 7，N(1 2 3 4 5 6 8 9 7)=5,该排列为奇排列。

所以当i=8，j=5时，排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列。

3．(7分)已知，求的值．

解：D==2（-2）

当=0或=2时，D=0，

所以，当或时，

4．(8分)齐次线性方程组

有非零解，求。

解： D==

如果方程组有非零解，则D=0，即。

5．用克莱姆法则求下列方程组：

解：计算行列式

D=

所以：，，

矩阵部分填空题

1．计算=

2．已知矩阵A=（1，2，3），则

3．若4阶方阵A的行列式|A|=2，则|A3|= 8 。

4．设A为3阶矩阵，若已知．

5. 矩阵的伴随矩阵是

6．设A是3阶方阵，且A2=0，则A3= 0 .

7．设A为2阶方阵，|A|=2，则

矩阵部分计算题

1．已知矩阵Ａ＝，求矩阵Ａ的秩．

解：对矩阵作以下初等变换：

可以看出：r（A）=2

2.设A=,求

解： ，所以A可逆。

, , ,

同法可得：, , , , ,.

=

3．设A=，求A*和A－1

解：,所以A可逆。

易得：，，，，，，

，，。

于是：，

4．设A=，求A-1。

解：，所以A可逆。

易得：，，，，，，

，，。

于是：

5．设为三阶矩阵，若已知|A|=2，求||A|A|．

解：

线性方程组部分填空题

1．设齐次线性方程组Ax=0的系数阵A的秩为r，当r= n 时，则Ax=0 只有零解；当Ax=0有无穷多解时，其基础解系含有解向量的个数为 n-r .

2．设η1，η2为方程组Ax=b的两个解，则 η1-η2 是其导出方程组的解。

3．设α0是线性方程组Ax=b的一个固定解，设z是导出方程组的某个解，则线性方程组Ax=b的任意一个解β可表示为β= α0 +z .

4．若n元线性方程组Ax=b有解，R（A）=r，则当 r=n 时，有惟一解；当 r＜n 时，有无穷多解。

5．A是m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是 r（A）＜n .

6．n元齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是 r（A）=n 。

7 线性方程组Ax=b有解的充要条件是 r(Ab)=r(A) 。

8．设是线性方程组Ax=b的一个特解，是其导出组的基础解系，则线性方程组Ax=b的全部解可以表示为=

1．求线性方程组

的通解.

解：对增广矩阵（Ab）施以以下初等变换：

（Ab）=

所以：

取（其中，为任意常数），则原方程组的通解为：

2．求齐次线性方程组

的一个基础解系.

解：对增广矩阵（A0）施以如下初等变换：

（A0）=

即原方程组与下面方程组同解：

（其中为自由未知量）

对自由未知量取值，即得原方程组的一个基础解系为：

3．求非齐次线性方程组的通解

解：对增广矩阵（Ab）施以如下初等变换：

（Ab）=

所以：

取=c（c取一切常数）

则原方程组的通解为

4 求方程组的通解

解：对增广矩阵（Ab）作初等行变换，有：

所以

取，则方程组的通解为：

5．已知线性方程组

（1）求增广矩阵（Ab）的秩r（Ab）与系数矩阵A的秩r（A）；

（2）判断线性方程组解的情况，若有解，则求解。

解：（1）对增广矩阵（Ab）施以以下初等变换：

（Ab）=

（2）因为，即r（Ab）= r（A）故方程组有解，且r（Ab）= r（A）=n,故方程组有唯一解，其解为：

向量的线性关系填空题

1．向量α=（1，3，5，7），β=（a,b,5,7），若α=β，则a= 1 ,b= 3 .

2．已知向量=（1，2，3），=（3，2，1），则3+2= （ 9，10，10） ， -= （-2，0，2） ．

3．设向量组线性无关，则向量组， +， ++线性 无关 　 ．

4．设向量线性无关，则线性 无关 。

5．设向量线性无关，则向量线性 相关 ．

6.是3维向量组,则线性 相 关.

7．零向量是线性 相关 的，非零向量α是线性 无关 的.

线性关系部分证明题（注：下面的题目中只需选做3道题即可）

1　 证明：如果向量组线性无关，则向量组亦线性无关．

证：设，

即：

因为向量组线性无关，故系数全为零，

即：

所以向量组亦线性无关。

2．设向量β可由向量α1，α2，…，αr线性表示，但不能由α1，α2，…，αr-1线性表示，问向量组α1，α2，…，αr-1，αr与向量组α1，α2，…，αr-1，β是否等价？为什么？

3．设α1，α2是某个齐次线性方程组的基础解系，问α1+α2，2α1－α2是否也可构成该方程组的基础解系？

4．已知，判定此向量组是线性相关还是线性无关。

解：对矩阵（）施以如下初等变换：

秩=2＜3

所以向量组线性相关。

5．设

=（1，1，2）T， =（1，2，3）T， =（1，3，t）T

请问当t为何值时，，，线性相关？并将用，线性表示．

解：对矩阵（）施以如下初等变换：

当t-4=0，即t=4时，秩=秩=2,

此时线性相关。由上面的初等变换可知：

6 , 设线性无关，而线性相关，则能由线性表示，且表示法惟一。

证：先证可由线性表示。

因线性相关，所以存在一组不为零的数及k，使成立，其中必有，否则上式成为=0，且不全为零，这与线性无关相矛盾。因为，故，即：能由线性表示。

再证表示法惟一。

如果且，

则：成立。

由线性无关可知，

即，

所以表示法惟一。

判断：

1、 若矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则矩阵A乘以B有意义。 对

2、 若矩阵A可逆，则它一定是非奇异的。 对

3、 若矩阵A的行数不等于矩阵B的列数，则矩阵A乘以B没有意义。 错

4、 齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式不等于零. 错

5、 Ａ是ｎ阶正交矩阵，则 对

6、 若向量组线性相关,则能由线性表示. 错

7、 一个n维向量组（s＞1）线性相关的充要条件是含有零向量 错

8、 矩阵A,X,Y满足AX=AY,且,则X=Y. 错

9、 若A 是方阵,则A必可逆. 错

10、 设矩阵A增加一行变成矩阵B,则矩阵B的秩大于矩阵A的秩. 错

11、 是3维向量组,则线性相关. 对

12、 若同阶方阵A与B都可逆,则A+B也一定可逆. 错

13、 矩阵A满足,则A=0或者A=E. 错

特征值部分选择题（单选题）

1. Ａ是ｎ阶正交矩阵，则［ A ］

（Ａ）　　（Ｂ）　　（Ｃ）　　（Ｄ）

2. A与B是两个相似的n阶矩阵,则[ A ]

(A) 存在非奇异矩阵P,使 (B) |A||B|

(C) 存在对角矩阵D,使A与B都相似于D (D)

3 下列结论中,错误的有( C )

(A) 若向量与正交,则对任意实数a,b,与也正交

(B) 若向量与向量都正交,则与的任一线性组合也正交

(C) 若向量与正交,则与中至少有一个是零向量

(D) 若向量与任意同维向量正交,则是零向量

4 设矩阵,则A的特征值为[ C ]

(A) 1,0,1 (B) 1,1,2 (C) -1,1,2 (D) -1,1,1

5 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是[ B ]

(A) A有n个特征值

(B) A有n个线性无关的特征向量

(C) A的行列式不等于零

(D) A的特征多项式没有重根

单选：

1. 已知四阶行列式D中第三行元素为（-1，2，0，1），它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，则D的值等于 C:-15

2. 行列式A的第一行元素是（-3，0，4），第二行元素是（2，a，1),第三行元素是（5，0，3），则其中元素a的代数余子式是：B:-29

3. 排列3721456的逆序数是：C:8

4. 行列式A的第一行元素是（k,3,4)，第二行元素是(-1,k,0)，第三行元素是(0,k,1)，如果行列式A的值等于0，则k的取值应是：C:k=3或k=1

5. 有三阶行列式，其第一行元素是（1，1，1），第二行元素是（3，1，4），第三行元素是（8，9，5），则该行列式的值是：C:5

6. 有三阶行列式，其第一行元素是（0，1，2），第二行元素是（-1，-1，0），第三行元素是（2，0，-5），则该行列式的值是：B:-1

7. 有二阶行列式，其第一行元素是（2，3），第二行元素是（3，-1），则该行列式的值是：A:-11

8. 有二阶行列式，其第一行元素是（1，3），第二行元素是（1，4），该行列式的值是: B:1

9. 下列n阶(n>2)行列式的值必为0的有：B:行列式非零元素的个数小于n个。

10、矩阵A为三阶矩阵，若已知|A|=m,则|-mA|的值为C:-m*m*m*m

11、矩阵A的第一行元素是（1，0，5），第二行元素是（0，2，0），则矩阵A乘以A的转置是：C:第一行元素是（26，0），第二行元素是（0，4）。

12、矩阵A适合下面哪个条件时，它的秩为r. B:A中线性无关的列向量最多有r个。

多选

1、 向量组a1,a2,...,as线性无关的必要条件是：A：a1,a2,…,as都不是零向量。C：a1,a2,…,as中任意两个向量都不成比例。D：a1,a2,…,as中任一部分组线性无关。

2、向量组a1,a2,...,as线性相关的充分必要条件是：C：a1,a2,…,as中至少有一个向量可由其余向量线性表示。D：a1,a2,…,as中至少有一部分组线性相关。

3、向量组a1,a2,...,as的秩不为零的充分必要条件是：A：a1,a2,…,as中至少有一个非零向量。D：a1,a2,…,as中有一个线性无关的部分组。

4、n阶矩阵可逆的充要条件是：A：r(A)=n B：A的列秩为n。

5、齐次线性方程组AX=0是线性方程组AX=b的导出组，则C：u是AX=0的通解，X1是AX=b的特解时，X1+u是AX=b的通解。D：V1，V2是AX=b的解时，V1-V2是 AX=0的解。

西南大学网络学习线性代数作业答案