选修2-1 第三章 空间向量与立体几何

§3.1.1 空间向量的加减运算

班级 姓名

一、目标导引

1．了解向量及其线性运算由平面向空间推广的过程；

2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的加减线性运算

二、教学过程

【新知初探】　

（一）空间向量的基本概念

1．空间向量：空间中具有 和 的量叫做空间向量．

（1）向量的 叫做向量的长度或模；

（2）向量的表示法：一般用有向线段表示，如word/media/image1_1.png或word/media/image2_1.png等；

（3）空间向量是可以平移的．

2．几类特殊向量

（二）空间向量的加减运算

word/media/image5.gif1．空间向量的加法与减法：（空间平行四边形法则、空间三角形法则）

图1 图2 图3

（1）加法的三角形法则：图1中word/media/image6_1.png （用word/media/image7_1.png表示）；

用word/media/image8_1.png表示图2中的word/media/image9_1.png ，word/media/image10_1.png ，word/media/image11_1.png ，word/media/image12_1.png ．

（2）减法的三角形法则：图3中word/media/image13_1.png （用word/media/image7_1.png表示），

[注]：word/media/image14_1.png ； word/media/image15_1.png ；

2．运算律：（1）加法交换律：word/media/image16_1.png +word/media/image17_1.png = ；

（2）加法结合律：(word/media/image16_1.png + word/media/image17_1.png) + word/media/image18_1.png = ；

【题型解析】　

题型一 空间向量的概念辨析

例1　下列说法中正确的是(　　)

A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反

B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|

C．空间向量的减法满足结合律

D．在四边形ABCD中，一定有aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋f849ba99ad5f48877dfb79126e86b424.png＝3fc4fba540f076a96caffd82e0c7db3d.png

题型二 空间向量的加法、减法运算

例2　在六棱柱ABCDEF­A1B1C1D1E1F1中，化简780ca6290ad4d12f1035b376b392a568.png－0c7fc1ecd0b22c832739e1d55f1f6eb6.png＋5c43c5f78f123d065f954eb99a0a80fd.png＋aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋3ab86dc54cd3ff5c3f4b2adb42e1c0a5.png，并在图中标出化简结果的向量．

[一题多变]

1．[变设问]　若本例条件不变，化简aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋3ab86dc54cd3ff5c3f4b2adb42e1c0a5.png＋cb2712420f8898d39b05513914c3b978.png＋40ff0e049008f5955c91051cfa8ded94.png，并在图中标出化简结果的向量．

2．[变条件、变设问]　若本例中的六棱柱是底面为正六边形的棱柱，化简e0c36fd24ee30391a38b05228330e9c2.png－aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋59b90258cede61c353b7314617a14b8c.png，并在图中标出化简结果的向量．

【方法小结】空间向量加法、减法运算的两个技巧

(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．

(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．

[注意]　(1)向量减法是加法的逆运算，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．

(2)首尾相连的若干向量构成封闭图形时，它们的和向量为零向量．

【课时作业021】

班级 姓名 作业等级

A级　学业水平达标

1．设A，B，C是空间任意三点，下列结论错误的是(　　)

A．aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋59b90258cede61c353b7314617a14b8c.png＝3fc4fba540f076a96caffd82e0c7db3d.png　　B．aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋59b90258cede61c353b7314617a14b8c.png＋5c2814bc7fee9bd7449367957f447b36.png＝0 C．aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png－3fc4fba540f076a96caffd82e0c7db3d.png＝fd25bc92ac816f80820025366269640a.png D．aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＝－37a4184270da7712839b8a76fb03063b.png

2．空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则7e25dd67dd62f29f2714f1fa0a3054d4.png－aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋f849ba99ad5f48877dfb79126e86b424.png＝(　　)

A．2d777585d2559945cbb5f77d9aefa2632.png B．37e25dd67dd62f29f2714f1fa0a3054d4.png C．34691f98ad40fdeb13c919f549661ecf5.png D．27e25dd67dd62f29f2714f1fa0a3054d4.png

3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为b6ddab208a4a57302b8e88fbea10c11d.png的有(　　)

①aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋59b90258cede61c353b7314617a14b8c.png＋3ab86dc54cd3ff5c3f4b2adb42e1c0a5.png；　

②37572e647ca00dd70b3076aad44a6178.png＋bdde5b009842ee1efb27f15a01e85d65.png＋afe57670035d6d94724ac63900d0810f.png；

③aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png－b1e7d2abbdaceb7baf97e8f588f2df63.png＋bdde5b009842ee1efb27f15a01e85d65.png；　

④37572e647ca00dd70b3076aad44a6178.png＋8e8d4239f5193cdfe63cc3c711c1c435.png＋bdde5b009842ee1efb27f15a01e85d65.png.

A．①④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④

4.如图所示，在三棱柱ABC­A′B′C′中，3fc4fba540f076a96caffd82e0c7db3d.png与c0838f430dcf5ae3e92c41cc515f72de.png是________向量，aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png与d2e4c86ff2b005570f356f76a90bdb0b.png是________向量．(用相等、相反填空)

5．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，若5c2814bc7fee9bd7449367957f447b36.png＝a，fd25bc92ac816f80820025366269640a.png＝b，3ab86dc54cd3ff5c3f4b2adb42e1c0a5.png＝c，则e9619a003c9fe43ed5a7363cde367f6d.png＝________.

6．给出下列四个命题：

①方向相反的两个向量是相反向量；

②若a，b满足|a|>|b|且a，b同向，则a>b；

③不相等的两个空间向量的模必不相等；

④对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.

其中正确命题的序号为________．

7．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．

(1)aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋59b90258cede61c353b7314617a14b8c.png－b1e7d2abbdaceb7baf97e8f588f2df63.png； (2)aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png－eb7d118c02de5e10a8cbc22cf15d1485.png－1f86faf58e8925b3b316d5ab8c74a1aa.png.

B级　应试能力达标

8．已知空间中任意四个点A，B，C，D，则eb7d118c02de5e10a8cbc22cf15d1485.png＋09fa310c1366ca87213e92f8bcb6fa28.png－fd25bc92ac816f80820025366269640a.png等于(　　)

A．d777585d2559945cbb5f77d9aefa2632.png B．aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png C．3fc4fba540f076a96caffd82e0c7db3d.png D．37a4184270da7712839b8a76fb03063b.png

9．在三棱柱ABC­A1B1C1中，若5c2814bc7fee9bd7449367957f447b36.png＝a，fd25bc92ac816f80820025366269640a.png＝b，3ab86dc54cd3ff5c3f4b2adb42e1c0a5.png＝c，E是A1B的中点，则df6f110116849e745b89ca3c036ae134.png＝________.(用a，b，c表示)

10．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若0dab669263c5a97fec5a5b7d87e3b9d3.png＝a，a8e63dcc23996eb26c6b5384daafa612.png＝b，1f86faf58e8925b3b316d5ab8c74a1aa.png＝c，用a，b，c表示c0452e5a2dc0c58f3eb5e45dafe38bcc.png，则c0452e5a2dc0c58f3eb5e45dafe38bcc.png＝________.

11．如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设37572e647ca00dd70b3076aad44a6178.png＝a，aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＝b，f849ba99ad5f48877dfb79126e86b424.png＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

(1) 5dbc94b2d2f091e34a12add9c35ef279.png；(2) cae8ed08c043564acff814f24c0f7de0.png；(3) 170794dbc115e15f309f141e85412c23.png.

12．如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果．

(1)aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋59b90258cede61c353b7314617a14b8c.png－8e8d4239f5193cdfe63cc3c711c1c435.png； (2)aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png－9fb8f2ebdb3454b11adb1fcc3a0a3cb9.png－df6f110116849e745b89ca3c036ae134.png.

选修2-1 第三章 空间向量与立体几何

§3.1.1 空间向量的加减运算

一、目标导引

1.了解向量及其线性运算由平面向空间推广的过程；

2.了解空间向量的概念，掌握空间向量的加减线性运算

二、教学过程

【新知初探】　

（一）空间向量的基本概念

1．空间向量：空间中具有 和 的量叫做空间向量．

（1）向量的 叫做向量的长度或模；

（2）向量的表示法：一般用有向线段表示，如word/media/image1_1.png或word/media/image2_1.png等；

（3）空间向量是可以平移的．

2．几类特殊向量

（二）空间向量的加减

word/media/image24.gif1．空间向量的加法与减法：（空间平行四边形法则、空间三角形法则）

图1 图2 图3

（1）加法的三角形法则：图1中word/media/image6_1.png （用word/media/image7_1.png表示）；

用word/media/image8_1.png表示图2中的word/media/image9_1.png ，word/media/image10_1.png ，word/media/image11_1.png ，word/media/image12_1.png ．

（2）减法的三角形法则：图3中word/media/image13_1.png （用word/media/image7_1.png表示），

[注]：word/media/image14_1.png ； word/media/image15_1.png ；

2．运算律：（1）加法交换律：word/media/image16_1.png +word/media/image17_1.png = ；

（2）加法结合律：(word/media/image16_1.png + word/media/image17_1.png) + word/media/image18_1.png = ；

【题型解析】　

题型一 空间向量的概念辨析

例1　下列说法中正确的是(　　)

A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反

B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|

C．空间向量的减法满足结合律

D．在四边形ABCD中，一定有aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋f849ba99ad5f48877dfb79126e86b424.png＝3fc4fba540f076a96caffd82e0c7db3d.png

[解析]　|a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确；只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋f849ba99ad5f48877dfb79126e86b424.png＝3fc4fba540f076a96caffd82e0c7db3d.png，只有在平行四边形中才能成立．故选B [答案]　B

题型二 空间向量的加法、减法运算

例2　在六棱柱ABCDEF­A1B1C1D1E1F1中，化简780ca6290ad4d12f1035b376b392a568.png－0c7fc1ecd0b22c832739e1d55f1f6eb6.png＋5c43c5f78f123d065f954eb99a0a80fd.png＋aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋3ab86dc54cd3ff5c3f4b2adb42e1c0a5.png，并在图中标出化简结果的向量．

[解]　在六棱柱ABCDEF­A1B1C1D1E1F1中，四边形AA1F1F是平行四边形，所以780ca6290ad4d12f1035b376b392a568.png＝e51231c18a24267f2b1a7805b2223d53.png.

同理aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＝342e9cbbeb1dc2536eb650522accd7e6.png，3ab86dc54cd3ff5c3f4b2adb42e1c0a5.png＝06adbf7d69e28f8fc4c7ed61e88ad968.png，5c43c5f78f123d065f954eb99a0a80fd.png＝d6deb7f07319f5dd16f6686316053c3e.png，所以780ca6290ad4d12f1035b376b392a568.png－0c7fc1ecd0b22c832739e1d55f1f6eb6.png＋aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋3ab86dc54cd3ff5c3f4b2adb42e1c0a5.png＋5c43c5f78f123d065f954eb99a0a80fd.png＝e51231c18a24267f2b1a7805b2223d53.png＋34fa56e69586540084a3e5b96e9b3669.png＋342e9cbbeb1dc2536eb650522accd7e6.png＋06adbf7d69e28f8fc4c7ed61e88ad968.png＋d6deb7f07319f5dd16f6686316053c3e.png＝e0c36fd24ee30391a38b05228330e9c2.png，如图．

[一题多变]

1．[变设问]　若本例条件不变，化简aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋3ab86dc54cd3ff5c3f4b2adb42e1c0a5.png＋cb2712420f8898d39b05513914c3b978.png＋40ff0e049008f5955c91051cfa8ded94.png，并在图中标出化简结果的向量．

解：根据六棱柱的性质知四边形BB1C1C，DD1E1E都是平行四边形，所以42677ef507650430b64a9d1c1adf2f9f.png＝3ab86dc54cd3ff5c3f4b2adb42e1c0a5.png，cb2712420f8898d39b05513914c3b978.png＝6688b38ce32aa8959008c89e4109983a.png，所以aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋3ab86dc54cd3ff5c3f4b2adb42e1c0a5.png＋cb2712420f8898d39b05513914c3b978.png＋40ff0e049008f5955c91051cfa8ded94.png＝aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋42677ef507650430b64a9d1c1adf2f9f.png＋6688b38ce32aa8959008c89e4109983a.png＋40ff0e049008f5955c91051cfa8ded94.png＝aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋42677ef507650430b64a9d1c1adf2f9f.png＋40ff0e049008f5955c91051cfa8ded94.png＋6688b38ce32aa8959008c89e4109983a.png＝d5f965e358d0e11f2abf3a8d0ebaae17.png.

2．[变条件、变设问]　若本例中的六棱柱是底面为正六边形的棱柱，化简e0c36fd24ee30391a38b05228330e9c2.png－aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋59b90258cede61c353b7314617a14b8c.png，并在图中标出化简结果的向量．

解：因为六边形ABCDEF是正六边形，所以BC∥EF，BC＝EF，又因为E1F1∥EF，E1F1＝EF，

所以BC∥E1F1，BC＝E1F1，所以BCE1F1是平行四边形，所以e0c36fd24ee30391a38b05228330e9c2.png－aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋59b90258cede61c353b7314617a14b8c.png＝d4beafdccba95d908fa484729791d177.png＋59b90258cede61c353b7314617a14b8c.png＝d65a789f658984e92d87cfeb3975db20.png.

【方法小结】空间向量加法、减法运算的两个技巧

(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．

(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．

[注意]　(1)向量减法是加法的逆运算，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．

(2)首尾相连的若干向量构成封闭图形时，它们的和向量为零向量．

【课时作业021】

A级　学业水平达标

1．设A，B，C是空间任意三点，下列结论错误的是(　B　)

A．aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋59b90258cede61c353b7314617a14b8c.png＝3fc4fba540f076a96caffd82e0c7db3d.png　　B．aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋59b90258cede61c353b7314617a14b8c.png＋5c2814bc7fee9bd7449367957f447b36.png＝0 C．aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png－3fc4fba540f076a96caffd82e0c7db3d.png＝fd25bc92ac816f80820025366269640a.png D．aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＝－37a4184270da7712839b8a76fb03063b.png

2．空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则7e25dd67dd62f29f2714f1fa0a3054d4.png－aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋f849ba99ad5f48877dfb79126e86b424.png＝(　B　)

A．2d777585d2559945cbb5f77d9aefa2632.png B．37e25dd67dd62f29f2714f1fa0a3054d4.png C．34691f98ad40fdeb13c919f549661ecf5.png D．27e25dd67dd62f29f2714f1fa0a3054d4.png

解析：选B　7e25dd67dd62f29f2714f1fa0a3054d4.png－aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋f849ba99ad5f48877dfb79126e86b424.png＝7e25dd67dd62f29f2714f1fa0a3054d4.png＋f349bd7a772ddc1662f228546633acef.png＝7e25dd67dd62f29f2714f1fa0a3054d4.png＋27e25dd67dd62f29f2714f1fa0a3054d4.png＝37e25dd67dd62f29f2714f1fa0a3054d4.png.

3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为b6ddab208a4a57302b8e88fbea10c11d.png的有(　　)

①aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋59b90258cede61c353b7314617a14b8c.png＋3ab86dc54cd3ff5c3f4b2adb42e1c0a5.png；　②37572e647ca00dd70b3076aad44a6178.png＋bdde5b009842ee1efb27f15a01e85d65.png＋afe57670035d6d94724ac63900d0810f.png；③aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png－b1e7d2abbdaceb7baf97e8f588f2df63.png＋bdde5b009842ee1efb27f15a01e85d65.png；　④37572e647ca00dd70b3076aad44a6178.png＋8e8d4239f5193cdfe63cc3c711c1c435.png＋bdde5b009842ee1efb27f15a01e85d65.png.

A．①④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④

解析：选D　根据空间向量的加法运算法则及正方体的性质，逐一进行判断：①aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋59b90258cede61c353b7314617a14b8c.png＋3ab86dc54cd3ff5c3f4b2adb42e1c0a5.png＝3fc4fba540f076a96caffd82e0c7db3d.png＋3ab86dc54cd3ff5c3f4b2adb42e1c0a5.png＝b6ddab208a4a57302b8e88fbea10c11d.png；②37572e647ca00dd70b3076aad44a6178.png＋bdde5b009842ee1efb27f15a01e85d65.png＋afe57670035d6d94724ac63900d0810f.png＝3fcdb23500a9a63aa21e8d44dac5f754.png＋afe57670035d6d94724ac63900d0810f.png＝b6ddab208a4a57302b8e88fbea10c11d.png；③aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png－b1e7d2abbdaceb7baf97e8f588f2df63.png＋bdde5b009842ee1efb27f15a01e85d65.png＝c2f01378209f68a1506fe0eb08ad2db7.png＋bdde5b009842ee1efb27f15a01e85d65.png＝b6ddab208a4a57302b8e88fbea10c11d.png；④37572e647ca00dd70b3076aad44a6178.png＋8e8d4239f5193cdfe63cc3c711c1c435.png＋bdde5b009842ee1efb27f15a01e85d65.png＝c2f01378209f68a1506fe0eb08ad2db7.png＋bdde5b009842ee1efb27f15a01e85d65.png＝b6ddab208a4a57302b8e88fbea10c11d.png.所以，所给四个式子的运算结果都是b6ddab208a4a57302b8e88fbea10c11d.png.

4.如图所示，在三棱柱ABC­A′B′C′中，3fc4fba540f076a96caffd82e0c7db3d.png与c0838f430dcf5ae3e92c41cc515f72de.png是________向量，aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png与d2e4c86ff2b005570f356f76a90bdb0b.png是________向量．(用相等、相反填空)

解析：由相等向量与相反向量的定义知：3fc4fba540f076a96caffd82e0c7db3d.png与c0838f430dcf5ae3e92c41cc515f72de.png是相等向量，aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png与d2e4c86ff2b005570f356f76a90bdb0b.png是相反向量．

答案：相等　相反

5．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，若5c2814bc7fee9bd7449367957f447b36.png＝a，fd25bc92ac816f80820025366269640a.png＝b，3ab86dc54cd3ff5c3f4b2adb42e1c0a5.png＝c，则e9619a003c9fe43ed5a7363cde367f6d.png＝________.

解析：如图，e9619a003c9fe43ed5a7363cde367f6d.png＝d69c73c1a834abe86ac2a64c75f56952.png－4ffda74e5afa746f4826cd12d1542a04.png＝d69c73c1a834abe86ac2a64c75f56952.png－37a4184270da7712839b8a76fb03063b.png＝－3ab86dc54cd3ff5c3f4b2adb42e1c0a5.png－(5c2814bc7fee9bd7449367957f447b36.png－fd25bc92ac816f80820025366269640a.png)＝－c－(a－b)＝－c－a＋b.

答案：－c－a＋b

6．给出下列四个命题：

①方向相反的两个向量是相反向量；②若a，b满足|a|>|b|且a，b同向，则a>b；

③不相等的两个空间向量的模必不相等；④对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.

其中正确命题的序号为________．

解析：对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，向量是不能比较大小的，故不正确；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错；只有④正确．

答案：④

7．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．

(1)aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋59b90258cede61c353b7314617a14b8c.png－b1e7d2abbdaceb7baf97e8f588f2df63.png； (2)aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png－eb7d118c02de5e10a8cbc22cf15d1485.png－1f86faf58e8925b3b316d5ab8c74a1aa.png.

解：(1)aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋59b90258cede61c353b7314617a14b8c.png－b1e7d2abbdaceb7baf97e8f588f2df63.png＝aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋59b90258cede61c353b7314617a14b8c.png＋3ab86dc54cd3ff5c3f4b2adb42e1c0a5.png＝3fc4fba540f076a96caffd82e0c7db3d.png＋3ab86dc54cd3ff5c3f4b2adb42e1c0a5.png＝b6ddab208a4a57302b8e88fbea10c11d.png (如图)．

(2)aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png－eb7d118c02de5e10a8cbc22cf15d1485.png－1f86faf58e8925b3b316d5ab8c74a1aa.png＝37572e647ca00dd70b3076aad44a6178.png＋(aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋f849ba99ad5f48877dfb79126e86b424.png)＝37572e647ca00dd70b3076aad44a6178.png＋(0dab669263c5a97fec5a5b7d87e3b9d3.png＋a8e63dcc23996eb26c6b5384daafa612.png)＝37572e647ca00dd70b3076aad44a6178.png＋9b0743c4e45e82ccb0762c23c8aa746e.png＝b6ddab208a4a57302b8e88fbea10c11d.png (如图)．

B级　应试能力达标

8．已知空间中任意四个点A，B，C，D，则eb7d118c02de5e10a8cbc22cf15d1485.png＋09fa310c1366ca87213e92f8bcb6fa28.png－fd25bc92ac816f80820025366269640a.png等于(　　)

A．d777585d2559945cbb5f77d9aefa2632.png B．aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png C．3fc4fba540f076a96caffd82e0c7db3d.png D．37a4184270da7712839b8a76fb03063b.png

解析：选D　法一：eb7d118c02de5e10a8cbc22cf15d1485.png＋09fa310c1366ca87213e92f8bcb6fa28.png－fd25bc92ac816f80820025366269640a.png＝(09fa310c1366ca87213e92f8bcb6fa28.png＋eb7d118c02de5e10a8cbc22cf15d1485.png)－fd25bc92ac816f80820025366269640a.png＝5c2814bc7fee9bd7449367957f447b36.png－fd25bc92ac816f80820025366269640a.png＝37a4184270da7712839b8a76fb03063b.png.

法二：eb7d118c02de5e10a8cbc22cf15d1485.png＋09fa310c1366ca87213e92f8bcb6fa28.png－fd25bc92ac816f80820025366269640a.png＝eb7d118c02de5e10a8cbc22cf15d1485.png＋(09fa310c1366ca87213e92f8bcb6fa28.png－fd25bc92ac816f80820025366269640a.png)＝eb7d118c02de5e10a8cbc22cf15d1485.png＋f349bd7a772ddc1662f228546633acef.png＝37a4184270da7712839b8a76fb03063b.png.

9．在三棱柱ABC­A1B1C1中，若5c2814bc7fee9bd7449367957f447b36.png＝a，fd25bc92ac816f80820025366269640a.png＝b，3ab86dc54cd3ff5c3f4b2adb42e1c0a5.png＝c，E是A1B的中点，则df6f110116849e745b89ca3c036ae134.png＝________.(用a，b，c表示)

解析：df6f110116849e745b89ca3c036ae134.png＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png(904495cefb8297fd32bb2939b53904ef.png＋fd25bc92ac816f80820025366269640a.png)＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png(5c2814bc7fee9bd7449367957f447b36.png＋3ab86dc54cd3ff5c3f4b2adb42e1c0a5.png＋fd25bc92ac816f80820025366269640a.png)＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png(a＋b＋c)．答案：df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png(a＋b＋c)

10．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若0dab669263c5a97fec5a5b7d87e3b9d3.png＝a，a8e63dcc23996eb26c6b5384daafa612.png＝b，1f86faf58e8925b3b316d5ab8c74a1aa.png＝c，用a，b，c表示c0452e5a2dc0c58f3eb5e45dafe38bcc.png，则c0452e5a2dc0c58f3eb5e45dafe38bcc.png＝________.

解析：c0452e5a2dc0c58f3eb5e45dafe38bcc.png＝6c28780b17c344aed172d4f2768ae917.png＋ce57d39f782f580e54e5cbba8c94edc8.png＝1f86faf58e8925b3b316d5ab8c74a1aa.png＋df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png(eb7d118c02de5e10a8cbc22cf15d1485.png＋8e8d4239f5193cdfe63cc3c711c1c435.png)＝c＋df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png(－a8e63dcc23996eb26c6b5384daafa612.png＋0dab669263c5a97fec5a5b7d87e3b9d3.png)

＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pnga－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngb＋c.答案：df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pnga－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngb＋c

11.如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设37572e647ca00dd70b3076aad44a6178.png＝a，aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＝b，f849ba99ad5f48877dfb79126e86b424.png＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

(1) 5dbc94b2d2f091e34a12add9c35ef279.png；(2) cae8ed08c043564acff814f24c0f7de0.png；(3) 170794dbc115e15f309f141e85412c23.png.

解：(1)∵P是C1D1的中点，

∴5dbc94b2d2f091e34a12add9c35ef279.png＝37572e647ca00dd70b3076aad44a6178.png＋a8e63dcc23996eb26c6b5384daafa612.png＋039157269550c74937f832bda279d4e0.png＝a＋f849ba99ad5f48877dfb79126e86b424.png＋df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngafe57670035d6d94724ac63900d0810f.png＝a＋c＋df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngaceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＝a＋c＋df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngb.

(2)∵N是BC的中点，

∴cae8ed08c043564acff814f24c0f7de0.png＝1f86faf58e8925b3b316d5ab8c74a1aa.png＋aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋202a25535441b54000980d4e5ef30c7e.png＝－a＋b＋df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png59b90258cede61c353b7314617a14b8c.png＝－a＋b＋df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngf849ba99ad5f48877dfb79126e86b424.png＝－a＋b＋df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngc.

(3)∵M是AA1的中点，

∴170794dbc115e15f309f141e85412c23.png＝66e22df8f5a3d6a8160f82982f3b6b6f.png＋5dbc94b2d2f091e34a12add9c35ef279.png＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png1f86faf58e8925b3b316d5ab8c74a1aa.png＋5dbc94b2d2f091e34a12add9c35ef279.png＝－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pnga＋6fee7f5ecd7749f7f85e6e5391bb27a5.png＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pnga＋df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngb＋c.

12.如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果．

(1)aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋59b90258cede61c353b7314617a14b8c.png－8e8d4239f5193cdfe63cc3c711c1c435.png；

(2)aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png－9fb8f2ebdb3454b11adb1fcc3a0a3cb9.png－df6f110116849e745b89ca3c036ae134.png.

解：(1)aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋59b90258cede61c353b7314617a14b8c.png－8e8d4239f5193cdfe63cc3c711c1c435.png＝aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋59b90258cede61c353b7314617a14b8c.png＋09fa310c1366ca87213e92f8bcb6fa28.png＝3fc4fba540f076a96caffd82e0c7db3d.png＋09fa310c1366ca87213e92f8bcb6fa28.png＝f849ba99ad5f48877dfb79126e86b424.png，如图中向量f849ba99ad5f48877dfb79126e86b424.png.

(2)aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png－9fb8f2ebdb3454b11adb1fcc3a0a3cb9.png－df6f110116849e745b89ca3c036ae134.png＝aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋7b52457ba87e235d3ee599ab0a0bffd5.png＋c99311f959a97dfa5eb5f53255f94c8f.png＝aceb680a12e73d4af164fd7b3bb2f730.png＋6acee88c8dadb8cc2bd8c79d0bdc5699.png＋c99311f959a97dfa5eb5f53255f94c8f.png＝6311215bfe54b1d007c1178381ce73ce.png＋dc00019fedba734dcc9e8c162a32ba6f.png＝e51231c18a24267f2b1a7805b2223d53.png，如图中向量e51231c18a24267f2b1a7805b2223d53.png.

021：选修2-1 3.1.1 空间向量及其加减运算