2020年全国1卷理科数学

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2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ）
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。1．若z=1+i，则|z2–2z|=（）A．0
B．1
C．2
D．2
2．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A．–4
B．–2
C．2
D．4
3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）

A．
51
4
B．
51
2
C．
51
4
D．
51
2
4．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（）A．2
B．3
C．6
D．9
5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi,yi(i1,2,散点图：
,20得到下面的

1



C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温由此散点图，在10°
度x的回归方程类型的是（）A．yabxC．yabex

B．yabx2D．yablnx
6．函数f(xx42x3的图像在点(1，f(1处的切线方程为（）A．y2x1C．y2x3

B．y2x1D．y2x1
π
7．设函数f(xcos(x在[π,π]的图像大致如下图，则f(x的最小正周期为（）
6

A．
10π
9
B．
7π6
C．
4π3
D．
3π2
y2
8．(x(xy5的展开式中x3y3的系数为（）
x
A．5
B．10
C．15
D．20
(0,π，且3cos28cos5，则sin（）9．已知
A．
53
B．
231C．
3
D．
59
10．已知A,B,C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为
4π，ABBCACOO1，则球O的表面积为（）
A．64πB．48πC．36πD．32π
11．已知⊙M：x2y22x2y20，直线l：2xy20，P为l上的动点，过点P
作⊙M的切线PA,PB，切点为A,B，当|PM||AB|最小时，直线AB的方程为（）A．2xy10
B．2xy10
C．2xy10
D．2xy10
12．若2alog2a4b2log4b，则（）
2



A．a2b
B．a2b
C．ab2
D．ab2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2xy20,
13．若x，y满足约束条件xy10,则z=x+7y的最大值为.
y10,
14．设a,b为单位向量，且|ab|1，则|ab|.
x2y2
15．A为C的右顶点，B为C上的点，已知F为双曲线C:221(a0,b0的右焦点，
ab
且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为.
16．如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，ABAD3，AB⊥AC，AB⊥AD，
∠CAE=30°，则cos∠FCB=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）
设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．（1）求{an}的公比；
（2）若a11，求数列{nan}的前n项和．

3



18．（12分）
如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AEAD．△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO（1）证明：PA平面PBC；（2）求二面角BPCE的余弦值．
6
DO．6


19．（12分）
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.

1
，2
4



20．（12分）
x2
B分别为椭圆E：2y21G为E的上顶点，已知A、（a>1）的左、右顶点，AGGB8，
a
P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.21．（12分）
已知函数f(xexax2x.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥
13
x+1，求a的取值范围.2

5



（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
k
xcost,
(t为参数．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为以坐标原点为极点，k
ysint
x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cos16sin30．
（1）当k1时，C1是什么曲线？
（2）当k4时，求C1与C2的公共点的直角坐标．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f(x|3x1|2|x1|．（1）画出yf(x的图像；
（2）求不等式f(xf(x1的解集．


6



2020
年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案(A卷
选择题答案一、选择题1．D5．D9．A非选择题答案二、填空题13．1三、解答题
2
17．解：（1）设{an}的公比为q，由题设得2a1a2a3,即2a1a1qa1q.
2．B6．B10．A
3．C7．C11．D
4．C8．C12．B
14．3
15．216．
1
4
所以qq20,解得q1（舍去），q2.故{an}的公比为2.
n1
（2）设Sn为{nan}的前n项和.由（1）及题设可得，an(2.所以
2
Sn12(2
n(2n1，
(n1(2n1n(2n.
(2n1n(2n
2Sn22(22
2
可得3Sn1(2(2
1(2n=n(2n.
31(3n1(2n
.所以Sn
99
18．解：（1）设DOa，由题设可得PO
63
a,AOa,ABa，63
PAPBPC
2
a.2
7



因此PA2PB2AB2，从而PAPB.又PA2PC2AC2，故PAPC.所以PA平面PBC.
（2）以O为坐标原点，OE的方向为y轴正方向，|OE|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.

由题设可得E(0,1,0,A(0,1,0,C(
312,,0,P(0,0,.222
所以EC(
312
,,0,EP(0,1,.222
2
yz0mEP02
设m(x,y,z是平面PCE的法向量，则，即，
3x1y0mEC0
22
可取m(
3
,1,2.3
2
是平面PCB的一个法向量，记nAP，2
由（1）知AP(0,1,
则cosn,m
nm25
.
|n||m|5
25
.5
8

所以二面角BPCE的余弦值为


19．解：（1）甲连胜四场的概率为
1．16
（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为乙连胜四场的概率为
1；161；16
1
丙上场后连胜三场的概率为．
8
所以需要进行第五场比赛的概率为1（3）丙最终获胜，有两种情况：
1113．161684
1
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为．
8
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为11117
因此丙最终获胜的概率为．
8168816
111，，．1688
20．解：（1）由题设得A（–a，0），B（a，0），G（0，1）.
则AG(a,1，GB=（a，–1）.由AGGB=8得a2–1=8，即a=3.
x22
所以E的方程为+y=1．
9
（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t）.
若t≠0，设直线CD的方程为x=my+n，由题意可知–3<n<3.tt由于直线PA的方程为y=（x+3），所以y1=（x1+3）.
99tt
直线PB的方程为y=（x–3），所以y2=（x2–3）.
33
可得3y1（x2–3）=y2（x1+3）.
2
(x3(x23x222
由于y2，可得27y1y2(x13(x23，1，故y22
99
即(27m2y1y2m(n3(y1y2(n320.①
2
x
将xmyn代入y21得(m29y22mnyn290.
92mnn29
所以y1y22，y1y22．
m9m9
9



代入①式得(27m2(n292m(n3mn(n32(m290.3
解得n=–3（含去），n=.
2
故直线CD的方程为x=my
33
，即直线CD过定点（，0）．22
3
若t=0，则直线CD的方程为y=0，过点（，0）.
23
综上，直线CD过定点（，0）.
2
21．解：（1）当a=1时，f（x）=ex+x2–x，则f(x=ex+2x–1．
故当x∈（–∞，0）时，f(x<0；当x∈（0，+∞）时，f(x>0．所以f（x）在（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）f(x
131
x1等价于(x3ax2x1ex1.22
132x
设函数g(x(xaxx1e(x0，则
213
g(x(x3ax2x1x22ax1ex
22
1
x[x2(2a3x4a2]ex
21
x(x2a1(x2ex.
2
1
（i）若2a+1≤0，即a，则当x∈（0，2）时，g(x>0.所以g（x）在（0，2）单调
2
递增，而g（0）=1，故当x∈（0，2）时，g（x）>1，不合题意.
11
2a+1∪(2，+∞时，g'(x<0；（ii）若0<2a+1<2，即a，则当x∈(0，当x∈(2a+1，
22
2时，g'(x>0.所以g(x在(0，2a+1，(2，+∞单调递减，2单调递增.由于g(0=1，在(2a+1，
7e2
.所以g(x≤1当且仅当g(2=(7−4ae≤1，即a≥4
7e21
a时，g(x≤1.所以当42
113x
（iii）若2a+1≥2，即a，则g(x≤(xx1e.
22
−2
17e21
,，故由（ii）可得(x3x1ex≤1.由于0[
242
1
故当a时，g(x≤1.
2
7e2
,.综上，a的取值范围是[4
10



xcost,C:22．解：（1）当k=1时，1消去参数t得x2y21，故曲线C1是圆心为坐标原
ysint,
点，半径为1的圆．
4
xcost,
（2）当k=4时，C1:消去参数t得C1的直角坐标方程为xy1．4
ysint,
C2的直角坐标方程为4x16y30．
1xxy1,4
由解得．
1y4x16y30
4
11
故C1与C2的公共点的直角坐标为(,．
441
x3,x,3
1
23．解：（1）由题设知f(x5x1,x1,
3

x3,x1.
yf(x的图像如图所示．

（2）函数yf(x的图像向左平移1个单位长度后得到函数yf(x1的图像．

711
yf(x的图像与yf(x1的图像的交点坐标为(,．
66
11



7
由图像可知当且仅当x时，yf(x的图像在yf(x1的图像上方，
6
7
故不等式f(xf(x1的解集为(,．
6

12


2020年全国1卷理科数学

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