苍溪中学高2015级高三上学期第一学段考试

数学试卷（文科）

(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.设集合，集合，则（ ）

A. B. C. D.

2．下列说法中正确的是(　　)

A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真

B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价

C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”

D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真

3．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )

A．∀x∈R，|x|＋x2＜0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0

C．∃x0∈R，|x0|＋x＜0 D．∃x0∈R，|x0|＋x≥0

4.“1＜x＜2”是“x＜2”成立的（ ）

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

5.已知，，则（ ）

A． B． C． D．

6．设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝3，则a等于(　　)

A．e B. C．1 D．e或

7.函数y＝log2(|x|＋1)的大致图像是(　　)

word/media/image17_1.png

8．若函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是(　　)

A． 1<a<4 B． 1<a<2 C．2<a<4 D．a>4或a<1

9．已知f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在区间[－1，3]上的解集为(　　)

A．(1，3) B．(－1，1) C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1)

10.已知函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是(　　)

A．(0,1)　　　　　 C. D.

11.函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为(　　)

A．{x|x>0} B．{x|x<0} C．{x|x<－1或x>1} D．{x|x<－1或0<x<1}

12.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，则函数g(x)＝xf(x)－1在[－6，＋∞)上的所有零点之和为(　　)

A．7 B．8 C．9 D．10

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)

13．曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________

14．“若x＝5或x＝6，则(x－5)(x－6)＝0”的逆否命题是__________．

15．化简：＝________．

16.已知定义在R上的偶函数满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题：

①f(2)＝0；

②x＝－4为函数y＝f(x)图象的一条对称轴；

③函数y＝f(x)在[8,10]上单调递增；

④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8.

以上命题中所有正确命题的序号为________．

三．解答题（共六道题，其中17题10分，其余各题均12分）

17.给定两个命题，命题p：对任意实数都有恒成立，命题q：关于的方程有实数根．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数的取值范围。

18．设关于x的函数word/media/image29_1.png的定义域为集合A，函数word/media/image30_1.png的值域为集合B.

(1)求集合A、B；

(2)若集合A、B满足word/media/image31_1.png,求实数的取值范围.

19. 设函数f(x)＝x＋ax2＋bln x，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.

(1)求a，b的值；

(2)令g(x)＝f(x)－2x＋2，求g(x)在定义域上的最值．

20.函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x＞0时，恒有f(x)＞1.

(1)求证：f(x)在R上是增函数；

(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)＜2.

21．已知函数f(x)＝＋ax，x＞1.

(1)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围；

(2)若方程(2x－m)ln x＋x＝0在(1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围．

22．设函数f(x)＝ln x－x＋1.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1<<x；

(3)设c>1，证明当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x>cx.

四川省苍溪中学校高2015级高三上学期第一次学段考试

数学答案（文科）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13、

14、

15、 1 16、

三．解答题（共六道题，其中17题10分，其余各题均12分）

17.给定两个命题，命题p：对任意实数都有恒成立，命题q：关于的方程有实数根．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数的取值范围。

18．设关于x的函数word/media/image29_1.png的定义域为集合A，函数word/media/image30_1.png的值域为集合B.

(1)求集合A，B；

(2)若集合A，B满足word/media/image31_1.png,求实数的取值范围.

19. 设函数f(x)＝x＋ax2＋bln x，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.

(1)求a，b的值；

(2)令g(x)＝f(x)－2x＋2，求g(x)在定义域上的最值．

解　(1)f′(x)＝1＋2ax＋(x>0)，

又f(x)过点P(1,0)，且在点P处的切线斜率为2，

∴即

解得a＝－1，b＝3.

(2)由(1)知，f(x)＝x－x2＋3ln x，其定义域为(0，＋∞)，

∴g(x)＝2－x－x2＋3ln x，x>0，

则g′(x)＝－1－2x＋＝－.

当0<x<1时，g′(x)>0；当x>1时，g′(x)<0.

所以g(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减．

∴g(x)的最大值为g(1)＝0，g(x)没有最小值．

20.函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x＞0时，恒有f(x)＞1.

(1)求证：f(x)在R上是增函数；

(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)＜2.

(1)证明：设x1＜x2，∴x2－x1＞0，

当x＞0时，f(x)＞1，∴f(x2－x1)＞1.

f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，

∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1＞0⇒f(x1)＜f(x2)

∴f(x)在R上为增函数．

(2)∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，

∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，

f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，

∴f(1)＝2，f(2)＝2×2－1＝3，

∴f(a2＋a－5)＜2＝f(1)，

∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5＜1⇒－3＜a＜2即a∈(－3,2)．

21．已知函数f(x)＝＋ax，x＞1.

(1)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围；

(2)若方程(2x－m)ln x＋x＝0在(1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围．

解：(1)∵f(x)＝＋ax，x＞1.

∴f′(x)＝＋a.由题意可得f′(x)≤0，即a≤－＝－，对x∈(1，＋∞)恒成立．

∵x∈(1，＋∞)，∴ln x∈(0，＋∞)，

∴－＝0时，函数t(x)＝－的最小值为－，

∴a≤－.

(2)∵x＞1，∴(2x－m)ln x＋x＝0⇔2x－m＋＝0⇔m＝＋2x，

∴方程(2x－m)ln x＋x＝0在(1，e]上有两个不等实根，

即函数f(x)与函数y＝m在(1，e]上有两个不同的交点．

由(2)可知，f(x)在(1，e)上单调递减，在(e，e]上单调递增且f(e)＝4，f(e)＝3e，∴当x→1时，→＋∞，∴4＜m≤3e，故实数m的取值范围是(4，3e]．

22．设函数f(x)＝ln x－x＋1.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1<<x；

(3)设c>1，证明当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x>cx.

解：(1)由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1，

令f′(x)＝0解得x＝1.

当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减．

(2)证明：由(1)知f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝0，

所以当x≠1时，ln x<x－1.

故当x∈(1，＋∞)时，ln x<x－1，ln<－1，即1<<x.

(3)证明：由题设c>1，设g(x)＝1＋(c－1)x－cx，

则g′(x)＝c－1－cxln c，

令g′(x)＝0，解得x0＝，

当x<x0时，g′(x)>0，g(x)单调递增；

当x>x0时，g′(x)<0，g(x)单调递减．

由(2)知1<<c，故0<x0<1.

又g(0)＝g(1)＝0，故当0<x<1时，g(x)>0.

所以当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x>cx.

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