一:运动学公式

1、平均速度定义式：

1 当式中取无限小时，就相当于瞬时速度。

2 如果是求平均速率，应该是路程除以时间。请注意平均速率与平均速度在大小上面的区别。

2、两种平均速率表达式（以下两个表达式在计算题中不可直接应用）

3 如果物体在前一半时间内的平均速率为，后一半时间内的平均速率为，则整个过程中的平均速率为

4 如果物体在前一半路程内的平均速率为，后一半路程内的平均速率为，则整个过程中的平均速率为

5

3、加速度的定义式：

6 在物理学中，变化量一般是用变化后的物理量减去变化前的物理量。

7 应用该式时尤其要注意初速度与末速度方向的关系。

8 与同向，表明物体做加速运动；与反向，表明物体做减速运动。

9 与没有必然的大小关系。

1、匀变速直线运动的三个基本关系式

10 速度与时间的关系

11 位移与时间的关系 (涉及时间优先选择，必须注意对于匀减速问题中给出的时间不一定就是公式中的时间，首先运用，判断出物体真正的运动时间)

例1：火车以的速度开始刹车，刹车加速度大小，求经过3s和6s时火车的位移各为多少？

12 位移与速度的关系 （不涉及时间，而涉及速度）

一般规定为正，a与v0同向，a＞0(取正)；a与v0反向，a＜0（取负)

同时注意位移的矢量性，抓住初、末位置，由初指向末，涉及到x的正负问题。

注意运用逆向思维： 当物体做匀减速直线运动至停止，可等效认为反方向初速为零的匀加速直线运动。

例2：火车刹车后经过8s停止，若它在最后1s内通过的位移是1m，求火车的加速度和刹车时火车的速度。

（1）深刻理解：

（2）公式 （会“串”起来）

① 根据平均速度定义==

∴Vt/ 2 ===

例3、物体由静止从A点沿斜面匀加速下滑，随后在水平面上做匀减速直线运动，最后停止于C点，如图所示，已知AB=4m，BC=6m，整个运动用时10s，则沿AB和BC运动的加速度a1、a2大小分别是多少？

② 推导：

第一个T内 第二个T内 又

∴∆x =xⅡ-xⅠ=aT2

故有，下列常用推论：

a，平均速度公式：

b，一段时间中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度：

c，一段位移的中间位置的瞬时速度：

d，任意两个连续相等的时间间隔（T）内位移之差为常数（逐差相等）：

关系：不管是匀加速还是匀减速，都有：

中间位移的速度大于中间时刻的速度 。

以上公式或推论，适用于一切匀变速直线运动，记住一定要规定正方向！选定参照物！

注意：上述公式都只适用于匀变速直线运动，即：加速度大小、方向不变的运动。

注意，在求解加速度时，若计数点间间距不满足“任意两个连续相等的时间间隔（T）内位移之差为常数”，一般用逐差法求加速度比较精确。

2、和逐差法求加速度应用分析

（1）、由于匀变速直线运动的特点是：物体做匀变速直线运动时，若加速度为a，在各个连续相等的时间T内发生的位移依次为X1、X2、X3、……Xn，则有X2-X1=X3-X2=X4-X3=……=Xn-Xn-1=aT2 即任意两个连续相等的时间内的位移差相符，可以依据这个特点，判断原物体是否做匀变速直线运动或已知物体做匀变速直线运动，求它的加速度。

例4：某同学在研究小车的运动的实验中，获得一条点迹清楚的纸带，已知打点计时器每隔0.02s打一个计时点，该同学选A、B、C、D、E、F六个计数点，对计数点进行测量的结果记录在下图中，单位是cm。

试计算小车的加速度为多大？

解：由图知：x1=AB=1.50cm， x2=BC=1.82cm， x3=CD=2.14cm， x4=DE=2.46cm，  x5=EF=2.78cm

则： x2-x1=0.32cm x3-x2=0.32cm   x4-x3=0.32cm    x5-x4=0.32cm

小车在任意两个连续相等的时间里的位移之差相等，小车的运动是匀加速直线运动。 即:   又

说明：该题提供的数据可以说是理想化了，实际中很难出现x2-x1= x3-x2= x4-x3= x5-x4，因为实验总是有误差的。

例5：如下图所示，是某同学测量匀变速直线运动的加速度时，从若干纸带中选出的一条纸带的一部分，他每隔4个点取一个计数点，图上注明了他对各计算点间距离的测量结果。试验证小车的运动是否是匀变速运动？

解：x2-x1=1.60  x3-x2=1.55  x4-x3=1.62  x5-x4=1.53  x6-x5=1.63  

故可以得出结论：小车在任意两个连续相等的时间里的位移之差不相等，但是在实验误差允许的范围内相等，小车的运动可认为是匀加速直线运动。

上面的例2只是要求我们判断小车在实验误差内做什么运动。若进一步要我们求出该小车运动的加速度，应怎样处理呢？此时，应用逐差法处理数据。

由于题中条件是已知x1、x2、x3、x4、x5、x6共六个数据，应分为3组。

 ,    , 

即

即全部数据都用上，这样相当于把2n个间隔分成n个为第一组，后n个为第二组，这样起到了减小误差的目的。而如若不用逐差法而是用：

        再求加速度有：

相当于只用了S6与S1两个数据，这样起不到用多组数据减小误差的目的。很显然，若题目给出的条件是偶数段。

都要分组进行求解，分别对应：

（即：大段之和减去小段之和）

(2)、若在练习中出现奇数段，如3段、5段、7段等。这时我们发现不能恰好分成两组。

考虑到实验时中间段的数值较接近真实值（不分析中间段），应分别采用下面求法：

(3)、另外，还有两种特殊情况，说明如下：

①如果题目中数据理想情况，发现S2-S1=S3-S2=S4-S3=……此时不需再用逐差法，直接使用即可求出。

②若题设条件只有像

 此时

又如

此时

2、一组比例式

初速为零的匀加速直线运动规律(典例：自由落体运动)

（1）在1T末 、2T末、3T末……ns末的速度比为1：2：3……n；

（2）在1T内、2T内、3T内……nT内的位移之比为12：22：32……n2；

（3）在第1T 内、第 2T内、第3T内……第nT内的位移之比为1：3：5……(2n-1); (各个相同时间间隔均为T)

（4）从静止开始通过连续相等位移所用时间之比为：

1：：…… (

（5）从静止开始通过连续相等位移的平均速度之比：

（6）通过连续相等位移末速度比为1：：……

3、自由落体运动的三个基本关系式

（1）速度与时间的关系

（2）位移与时间的关系

（3）位移与速度的关系

4、竖直上抛运动：(速度和时间的对称)

分过程：上升过程匀减速直线运动,下落过程初速为0的匀加速直线运动.

全过程：是初速度为V0加速度为-g的匀减速直线运动。适用全过程x= Vo t －g t2 ; Vt = Vo－g t ; Vt2－Vo2 = －2gx (x、Vt的正、负号的理解)

上升最大高度:H = 上升的时间:t=

对称性：

①上升、下落经过同一位置时的加速度相同，而速度等值反向

②上升、下落经过同一段位移的时间相等。

从抛出到落回原位置的时间: t = = 2

注意：自由落体运动就是初速为零的匀加速直线运动规律，故有下列比例式均成立：

（1）在1T末 、2T末、3T末……ns末的速度比为1：2：3……n；

（2）在1T内、2T内、3T内……nT内的位移之比为12：22：32……n2；

（3）在第1T 内、第 2T内、第3T内……第nT内的位移之比为1：3：5……(2n-1); (各个相同时间间隔均为T)

（4）从静止开始通过连续相等位移所用时间之比为：

1：：…… (

（5）从静止开始通过连续相等位移的平均速度之比：

（6）通过连续相等位移末速度比为1：：……

5、一题多解分析：

学完运动学一章后，问题是公式多，解题时无法选用合适公式。并用多种解法求解，达到巩固公式、灵活运用公式的目的。

【例题】屋檐定时滴出雨滴，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好到达地面，而第3滴与第2滴正分别位于高为1m的窗户的上下沿。取g=10m/s2，问

（1）此屋檐离地面的高度。

（2）滴水的时间间隔是多少？

首先，要画出题设情景的示意图，如图所示，然后在图

中标注有关物理量，从中找出几何关系。

要引入一个参数，即设两滴

雨滴之间的时间间隔为T，然后列方程求解。

解法一：常规方法，学会做减法

第2滴与第3滴雨滴之间的距离等于这两个雨滴的位移之差。

即s32=s2－s3。

雨滴2下落的时间为3T，运动的位移为 （1）

雨滴3下落的时间为2T，运动的位移为 （2）

由几何关系，有 s32=s2－s3 （3）

由（1）（2）（3）解得 （4）

此屋檐离地面的高度为 （5）

对本题也可以这么看：把图中同一时刻5个雨滴的位置，看成一个雨滴在5个不同时刻的位置。即某一雨滴在t=0时在位置5，到达位置4、3、2、1的时间分别为T、2T、3T、4T，因此本题又有以下解法。

解法二：用初速为零的匀变速直线运动的规律求解——比例法

初速为零的匀变速直线运动的物体，在连续相等时间内的位移比为1：3：5：…

因此有 s54：s43：s32：s21=1：3：5：7

所以

得

由 ，得

解法三：用位移公式求解

雨滴经过位置3时，速度为 v3=g·(2T)=2gT （1）

由位移公式，有 （2）

由（1）（2）得 （3）

此屋檐离地面的高度为 （4）

解法四：用速度位移公式求解

雨滴经过位置3时，速度为 v3=g·(2T)=2gT （1）

雨滴经过位置2时，速度为 v2=g·(3T)=3gT （2）

由速度位移公式，有 （3）

由（1）（2）（3）得 （4）

此屋檐离地面的高度为 （5）

解法五：用平均速度等于速度的平均值求解

雨滴经过位置3时，速度为 v3=g·(2T)=2gT （1）

雨滴经过位置2时，速度为 v2=g·(3T)=3gT （2）

则雨滴经过位置3、2时间内的平均速度为 （3）

又 （4）

由（1）（2）（3）（4）得 （5）

此屋檐离地面的高度为 （6）

解法六：用平均速度等于中间时刻速度求解（先求时间间隔）

雨滴运动到位置3、2中间时刻的时间为 t=2.5T

此时雨滴的速度为 vt=gt=2.5gT （1）

由于中间时刻的速度等于这段时间内的平均速度，所以雨滴在位置3、2间运动的平均速度为

（2）

又 （3）

由（1）（2）（3）得 （4）

此屋檐离地面的高度为 （5）

解法七：用平均速度等于中间时刻速度求解（先求高度）

雨滴在位置3、2间运动的平均速度等于该段过程中间时刻的速度，即

（1）

雨滴在整个运动中的平均速度等于全过程中间时刻的速度，即

（2）

有 （3）

由（1）（2）（3）得 （4）

由 ，得 （5）

解法八：用图象法求解

画出某一雨滴运动的v-t图象如图。在v-t图象中，

面积等于位移。

由图可知（1）

屋檐离地面高度为 （2）

由（1）（2）解得 T=0.2s s1=3.2m （3）

从以上解题过程可以看出，用运动学公式解题，方法具有多样性。要注意以下几点：一、首先要画出运动的示意图，并注意几何关系；二、公式要熟练，才能灵活运用；三、可以适当引入一个参数，便于求解。

专题 追击问题分析

追及、相遇问题的特点：讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置问题。一定要抓住两个关系：即时间关系和位移关系。一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。提示：在分析时，最好结合图像来分析运动过程。

一、把握实质：

1、相遇和追击问题的实质

研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。

2、 解相遇和追击问题的关键

画出物体运动的情景图，理清三大关系

（1）时间关系 ：（为先后运动的时间差） （2）位移关系：

（其中为运动开始计时的位移之差）

（3）速度关系：两者速度相等。它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。

二、特征分析：

3. 相遇和追击问题剖析：

（一）追及问题

1、追及问题中两者速度大小与两者距离变化的关系。

甲物体追赶前方的乙物体，若甲的速度大于乙的速度，则两者之间的距离 。若甲的速度小于乙的速度，则两者之间的距离 。若开始甲的速度小于乙的速度过一段时间后两者速度相等，则两者之间的距离 （填最大或最小）。

2、分析追及问题的注意点：

⑴ 要抓住一个条件，两个关系：

一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如

两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。

两个关系是时间关系和位移关系，

通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。

⑵若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。

⑶仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意图象的应用。

三、追击、相遇问题的分析方法:

A. 画出两个物体运动示意图，根据两个物体的运动性质,选择同一参照物,列出两个物体的位移方程;

B. 找出两个物体在运动时间上的关系

C. 找出两个物体在运动位移上的数量关系

D. 联立方程求解.

说明: 追击问题中常用的临界条件:

⑴速度小者追速度大者,追上前两个物体速度相等时,有最大距离;

⑵速度大者减速追赶速度小者,追上前在两个物体速度相等时,有最小距离.即必须在 此之前追上,否则就不能追上.

四、追击类型：（分析6种模型）

（1）．匀加速运动追匀速运动的情况（开始时v1< v2）：v1< v2时，两者距离变大；v1= v2时，

两者距离最大；v1>v2时，两者距离变小，相遇时满足x1= x2+Δx，全程只相遇(即追上)一次。

课堂练习1： 一小汽车从静止开始以3m/s2的加速度行驶，恰有一自行车以6m/s的速度从车边匀速驶过．求：(1)小汽车从开动到追上自行车之前经过多长时间两者相距最远？此时距离是多少？ (2)小汽车什么时候追上自行车，此时小汽车的速度是多少？

（2）．匀速运动追匀加速运动的情况（开始时v1> v2）：v1> v2时，两者距离变小；v1= v2时，若满足x1< x2+Δx，则永远追不上，此时两者距离最近；若满足x1=x2+Δx，则恰能追上，全程只相遇一次；若满足x1> x2+Δx，则后者撞上前者（或超越前者），此条件下理论上全程要相遇两次。

课堂练习2： 一个步行者以6m/s的最大速率跑步去追赶被红灯阻停的公共汽车，当他距离公共汽车25m时，绿灯亮了，汽车以1m/s2的加速度匀加速启动前进，问：人能否追上汽车？若能追上，则追车过程中人共跑了多少距离？若不能追上，人和车最近距离为多少？

（3）．匀减速运动追匀速运动的情况（开始时v1> v2）：v1> v2时，两者距离变小；v1= v2时，

若满足x1<x2+Δx，则永远追不上，此时两者距离最近；若满足x1= x2+Δx，则恰能追上，全程只相遇一次；若满足x1> x2+Δx，则后者撞上前者（或超越前者），此条件下理论上全程要相遇两次。

课堂练习3： 在一条平直的公路上，乙车以10m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面作初速度为15m/s，加速度大小为0.5m/s2的匀减速运动，则两车初始距离L满足什么条件时可以使（1）两车不相遇；（2）两车只相遇一次；（3）两车能相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动）。

课堂练习4： 汽车正以10m/s的速度在平直公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4m/s 的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为 6 m/s2的匀减速运动，汽车恰好不碰上自行车。求关闭油门时汽车离自行车多远？

（4）．匀速运动追匀减速运动的情况（开始时v1< v2）：v1< v2时，两者距离变大；v1= v2时，两者距离最远；v1>v2时，两者距离变小，相遇时满足x1= x2+Δx，全程只相遇一次。

课堂练习5：当汽车B在汽车A前方7m时，A正以vA =4m/s的速度向前做匀速直线运动，而汽车B此时速度vB =10m/s，并关闭油门向前做匀减速直线运动，加速度大小为a=2m/s2。此时开始计时，则A追上B需要的时间是多少？

（5）．匀减速运动的物体追同向匀减速运动的物体

追赶者不一定能追上被追者，但在两物体始终不相遇，当后者初速度大于前者初速度时，它们间有相距最小距离的时候，两物体在运动过程中总存在速度相等的时刻。

课堂练习6： 甲、乙两物体相距s，在同一直线上同方向做匀减速运动，速度减为零后就保持静止不动。甲物体在前，初速度为v1，加速度大小为a1。乙物体在后，初速度为v2，加速度大小为a2且知v1<v2，但两物体一直没有相遇，求甲、乙两物体在运动过程中相距的最小距离为多少？（提示：若不考虑速度大小的关系，可做三种图像分析）

（6）．初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙，只要时间足够长，追赶着一定能追上被追赶者发生碰撞。追上前有最大距离的条件：两物体速度相等，即。若位移相等即追上（同一地点出发）。

课堂练习7： 一辆值勤的警车停在公路旁，当警员发现从他旁边以v＝8m/s的速度匀速行驶的货车有违章行为时，决定前去拦截，经2.5s，警车发动起来，以a＝2m/s2加速度匀加速开出，警车以加速度a维持匀加速运动能达到的最大速度为126km/h，试问：

（1）警车要多长时间才能追上违章的货车？

（2）在警车追上货车之前，两车间的最大距离是多少？

(二)、相遇问题：

⑴ 同向运动的两物体的相遇问题即追及问题，分析同上。在此不作分析。

⑵ 相向运动的物体，当各自发生的位移绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇。

五、具体方法分析：

常用4种方法：基本公式法、图像法、相对运动法、数学方法。

（1）基本公式法——根据运动学公式，把时间关系渗透到位移关系和速度关系中列式求解。

（2）图像法——正确画出物体运动的v--t图像，根据图像的斜率、截距、面积的物理意义结合三大关系求解。 在利用求解时，两图线与轴围成的面积之差表示相对位移，即：。

（3）相对运动法——巧妙选择参考系，简化运动过程、临界状态，根据运动学公式列式求解。

（4）数学方法——根据运动学公式列出数学关系式（要有实际物理意义）利用二次函数的求根公式中Δ判别式求解，是否相遇，根据判别式确定：有解；无解。提示：在处理实际问题时，可假设两物体相遇，列方程，然后作判断。

典型例题分析：

A火车以v1=20m/s速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2=10m/s速度匀速行驶，A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运动。要使两车不相撞，a应满足什么条件？

解1：（公式法）

两车恰好不相撞的条件是两车速度相同时相遇。

由A、B 速度关系：

由A、B位移关系：

解2：（图像法）

在同一个v-t图中画出A车和B车的速度时间图像图线，根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当t=t0时梯形与矩形的面积之差最大,为图中阴影部分三角形的面积.根据题意,阴影部分三角形的面积不能超过100 .

解3：（相对运动法）

以B车为参照物， A车的初速度为v0=10m/s，以加速度大小a减速，行驶x=100m后“停下”，末速度为vt=0。

11、显微镜的发明，是人类认识世界的一大飞跃，把有类带入了一个崭新的微观世界。为了看到更小的物体，人们又研制出了电子显微镜和扫描隧道显微镜。电子显微镜可把物体放大到200万倍。

16、大量的研究事实说明生命体都是由细胞组成的，生物是由细胞构成的。我们的皮肤表面，每平方厘米含有的细胞数量超过10万个。

答：说明米饭不是甜的，但米饭含有淀粉，在我们咀嚼的过程中发生了变化，变得有甜味了。备注：以B为参照物,公式中的各个量都应是相对于B的物理量.注意物理量的正负号。

2、在加热的过程中，蜡烛发生了什么变化？（P29）解4：（二次函数极值法）

若两车不相撞，其位移关系应为

4、咀嚼馒头的外皮也可以感觉到甜味吗？为什么？

代入数据得：

19、夏季是观察星座的好季节，天空中有许多亮星，其中人们称之为“夏季大三角”的是天津四、织女星和牛郎星。它们分别属于天鹅座、天琴座、天鹰座。其图像(抛物线)的顶点纵坐标必为正值,故有

1、说说你身边物质变化的例子。例:一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？(用上述4种求解)

答：这个垃圾场不仅要能填埋垃圾，而且要能防止周围环境和地下水的污染。

21、人们发现银河系以外还有类似银河系一样庞大的恒星集团，如：仙女座星系、猎犬座星系，目前人类已发现了超过100亿个河外星系。

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