苏教版九年级上册数学

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

平均数、众数和中位数

【学习目标】

1. 理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述；

2. 能合理选用平均数、中位数和众数解决实际问题；

3. 知道可以通过样本的平均数来估计总体的平均数，并用它们去解决实际问题．

【要点梳理】

要点一、平均数

1.算术平均数

一般地，如果有n个数word/media/image1_1.png，那么word/media/image2_1.png=叫做这n个数的算术平均数，简称平均数.“word/media/image2_1.png”读作“x拔”.

通常，平均数可以用来表示一组数据的“集中趋势”.

要点诠释：

平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会引起平均数的变动，所以平均数容易受到个别特殊值的影响.

2.加权平均数

一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关.我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫做权.按照这种方法求出的平均数，叫做加权平均数.

加权平均数的计算公式为：若数据word/media/image4_1.png出现word/media/image5_1.png次，word/media/image6_1.png出现word/media/image7_1.png次，word/media/image8_1.png出现word/media/image9_1.png次……word/media/image10_1.png出现word/media/image11_1.png次，这组数据的平均数为word/media/image12_1.png，则word/media/image12_1.png=word/media/image13_1.png（word/media/image5_1.pngword/media/image4_1.png+word/media/image7_1.pngword/media/image6_1.png+word/media/image9_1.pngword/media/image8_1.png+…+word/media/image11_1.pngword/media/image10_1.png）（其中n=word/media/image5_1.png+word/media/image7_1.png+word/media/image9_1.png+…+word/media/image11_1.png）

“权”越大，对平均数的影响就越大.加权平均数的分母恰好为各权的和.

要点诠释：

（1）word/media/image11_1.png越大，表示word/media/image10_1.png的个数越多，“权”就越重，也就越“重要”.

（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算.

要点二、众数和中位数

1.众数

一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.

当一组数据中有较多的重复数据时，常用众数来描述这组数据的集中趋势.

要点诠释：

（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个.

（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.

2.中位数

一般地，将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么处于中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的中位数.

当一组数据中个别数据与其他数据的大小差异很大时，通常用中位数来描述这组数据的集中趋势.

要点诠释：

（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.

（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下的数据各占一半.

要点三、平均数、中位数与众数的联系与区别

联系：平均数、中位数和众数都反映了一组数据的集中趋势.

区别：平均数容易受极端值的影响；中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述.

在一组存在极端值的数据中，用中位数或众数作为表示这组数据特征的统计量有时会更贴近实际.

要点四、用样本估计总体

在考察总体的平均水平时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平近似估计得到总体的平均水平.

要点诠释：

（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.

（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出的代价.

【典型例题】

类型一、平均数、众数和中位数

1、（2015•益阳）某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（　　）

A．中位数是4，平均数是3.75 B．众数是4，平均数是3.75

C．中位数是4，平均数是3.8 D．众数是2，平均数是3.8

【思路点拨】根据众数和中位数的定义求解即可．

【答案】C；

【解析】解：这组数据中4出现的次数最多，众数为4，

∵共有5个人，

∴第3个人的劳动时间为中位数，

故中位数为：4，

平均数为：=3.8．

故选C．

【总结升华】本题考查了中位数，众数的意义．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．

举一反三：

【 数据的分析 例8】

【变式1】（2015•安庆二模）A、B、C、D、E五名同学在一次数学测验中的平均成绩是80分，而A、B、C三人的平均成绩是78分，下列说法一定正确的是（　　）

A．D、E的成绩比其他三人都好

B．D、E两人的平均成绩是83分

C．五人成绩的中位数一定是其中一人的成绩

D．五人的成绩的众数一定是80分

【答案】B；

解：A、无法判断D、E的成绩比其他三人都好，故本选项错误；

B、设D、E两人的平均成绩是83分，

由题意得，3×78+2x=5×80，

解得x=83，

所以，D、E两人的平均成绩是83分正确，故本选项正确；

C、五人成绩的中位数一定是其中一人的成绩错误，有可能是按成绩排列后中间三位同学的成绩相同，中位数是他们三个人的成绩，故本选项错误；

D、五人的成绩的众数一定是80分，错误，有可能没有人正好是80分，故本选项错误．

故选B．

【变式2】某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：

则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（　　）

A．6.2小时 B．6.4小时 C．6.5小时 D．7小时

【答案】B；

解：根据题意得：

（5×10+6×15+7×20+8×5）÷50

=（50+90+140+40）÷50

=320÷50

=6.4（小时）．

故这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是6.4小时．

类型二、利用平均数、众数、中位数解决问题

2、某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：

(1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；

(2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5:3:2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由．

【思路点拨】（1）运用求平均数公式word/media/image17_1.png即可求出三人的平均成绩，比较得出结果；（2）将三人的成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果.

【答案与解析】

解：(1)甲的平均成绩为：(85＋70＋64)÷3＝73，

乙的平均成绩为：(73＋71＋72)÷3＝72，

丙的平均成绩为：(73＋65＋84)÷3＝74，

∴ 候选人丙将被录用．

(2)甲的测试成绩为：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3，

乙的测试成绩为：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2，

丙的测试成绩为：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8，

∴ 候选人甲将被录用．

【总结升华】5、3、2即各个数据的“权”，反映了各个数据在这组数据中的重要程度，按加权平均数来录用．

举一反三：

【 数据的分析 例10】

【变式】小王在八年级第一学期的数学成绩分别为：测验一得89分，测验二得78分，测验三得85分，期中考试得90分，期末考试得87分，如果按照平时、期中、期末的10％、30％、60％量分，那么小王该学期的总评成绩应该为多少?

【答案】

解：小王平时测试的平均成绩word/media/image18_1.png（分）．

所以word/media/image19_1.png（分）．

答：小王该学期的总评成绩应该为87.6分．

【 数据的分析 例11】

3、下表是七年级(2)班30名学生期中考试数学成绩表(已破损)．

已知该班学生期中考试数学成绩平均分是76分．

(1)求该班80分和90分的人数分别是多少?

(2)设此班30名学生成绩的众数为word/media/image21_1.png，中位数为word/media/image22_1.png，求word/media/image23_1.png的值．

【答案与解析】

解：(1)设该班得80分的有word/media/image24_1.png人，得90分的有word/media/image25_1.png人．

根据题意和平均数的定义，得

word/media/image26_1.png

整理得word/media/image27_1.png 解得word/media/image28_1.png

即该班得80分的有8人，得90分的有5人．

(2)因为80分出现8次且出现次数最多．所以word/media/image21_1.png＝80，第15、16两个数均为80分，所以word/media/image22_1.png＝80，则word/media/image23_1.png＝80＋80＝160．

【总结升华】本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义．解题的关键是准确理解题意，建立等量关系.

举一反三：

【变式】某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并绘制了统计图表如图所示的统计图．

请根据图表中的信息，回答以下问题.

(1)求word/media/image29_1.png的值；

(2)求这50名学生每人一周内的零花钱额的众数和平均数．

【答案】

解：(1) word/media/image29_1.png＝50－15－20－5＝10．

(2)众数是15．

平均数为word/media/image31_1.png(5×10＋10×15＋15×20＋20×5)＝12．

类型三、用样本估计总体

4、我国是世界上严重缺水的国家之一．为了倡导“节约用水从我做起”，小刚在他所在班的50名同学中，随机调查了10名同学家庭中一年的月均用水量(单位：t)，并将调查结果绘成了如图所示的条形统计图．

(1)求这10个样本数据的平均数、众数和中位数；

(2)根据样本数据，估计小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t的约有多少户．

【思路点拨】（1）根据条形统计图，即可知道每一名同学家庭中一年的月均用水量．再根据加权平均数的计算方法、中位数和众数的概念进行求解；（2）首先计算样本中家庭月均用水量不超过7t的用户所占的百分比，再进一步估计总体．

【答案与解析】

解：(1)观察条形图，可知这组样本数据的平均数是

word/media/image33_1.png．

∴ 这组样本数据的平均数为6.8．

∴ 在这组样本数据中，6.5出现了4次，出现的次数最多．

∴ 这组数据的众数是6.5．

∵ 将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是6.5，有word/media/image34_1.png．

∴ 这组数据的中位数是6.5．

(2)∵ 10户中月均用水量不超过7t的有7户，有word/media/image35_1.png．

∴ 根据样本数据，可以估计出小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t的约有35户．

【总结升华】本题考查的是条形统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．掌握平均数、中位数和众数的计算方法．

苏教版九年级上册数学平均数、众数和中位数 知识点整理及重点题型梳理