2019年湖北高考理科数学真题及答案-

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2019年湖北高考理科数学真题及答案
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M{x4x2}，N{xx2x60，则MIN= A．{x4x3
B．{x4x2 C．{x2x2
D．{x2x3
2．设复数z满足zi=1，z在复平面内对应的点为(x，y，则 A．(x+1y1
22B．(x1y1 C．x(y11 D．x(y+11
222222alog20.2，b20.2，c0.20.3，则 3．已知
A．abc
B．acb
C．cab
D．bca
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512（51≈0.618，称为黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽251．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，2喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是

A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190cm
5．函数f(x=sinxx在[,]的图像大致为 2cosxx
B．
A．C． D．
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是

A．5
16B．11
32C．21
32D．11
167．已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(abb，则a与b的夹角为 A．π
6B．π
3C．2π
3D．5π
68．如图是求121212的程序框图，图中空白框中应填入

A．A=1 2AB．A=21
AC．A=1
12AD．A=11 2A9．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S40，a55，则

A．an2n5 an3n10 B．
2C．Sn2n8n
D．Sn12n2n
210．已知椭圆C的焦点为F1(1,0，F2(1,0，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|2|F2B|，|AB||BF1|，则C的方程为
x2y21 A．2x2y21 B．32x2y21 C．43x2y21 D．5411．关于函数f(xsin|x||sin x|有下述四个结论：
①f(x是偶函数

②f(x在区间（2，）单调递增
③f(x在[,]有4个零点 其中所有正确结论的编号是 A．①②④
B．②④
④f(x的最大值为2 C．①④ D．①③
12．已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A．86
B．46
C．26
D．6
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
0处的切线方程为____________． 13．曲线y3(xxe在点(0，14．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1，a4a6，则S5=____________．
15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
2x132x2y216．已知双曲线C：221(a0,b0的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分abuuuruuuruuuruuuur别交于A，B两点．若F1AAB，F1BF2B0，则C的离心率为____________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．(12分

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinBsinC2sin2AsinBsinC．
（1）求A；
（2）若2ab2c，求sinC． 18．（12分）
如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．


（1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A−MA1−N的正弦值． 19．（12分）
已知抛物线C：y=3x的焦点为F，斜率为（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
23的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
2uuuruuur（2）若AP3PB，求|AB|．
20．（12分）
已知函数f(xsinxln(1x，f(x为f(x的导数．证明： （1）f(x在区间(1,存在唯一极大值点； （2）f(x有且仅有2个零点． 21．（12分）
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈2
且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X． （1）求X的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i0,1,L,8表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81，piapi1bpicpi1(i1,2,L,7，其中aP(X1，bP(X0，cP(X1．假设0.5，0.8．
(i证明：{pi1pi}(i0,1,2,L,7为等比数列； (ii求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
1t2x，21t在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的y4t1t2正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110． （1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明： （1）111a2b2c2； abc333（2）(ab(bc(ca24．

2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学•参考答案

一、选择题
1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D 二、填空题 13．y=3x 三、解答题
17．解：（1）由已知得sin214．121
315．0.18 16．2 Bsin2Csin2AsinBsinC，故由正弦定理得b2c2a2bc．
b2c2a21． 由余弦定理得cosA2bc2因为0A180，所以A60．
（2）由（1）知B120C，由题设及正弦定理得2sinAsin120C2sinC，
即6312cosCsinC2sinC，可得cosC60． 2222由于0C120，所以sinC602，故
2sinCsinC6060
sinC60cos60cosC60sin60
62．
418．解：（1）连结B1C，ME．
因为M，E分别为BB1，BC的中点， 所以ME∥B1C，且ME=1B1C．
21A1D．
2又因为N为A1D的中点，所以ND=PDC，可得B1CPA1D，故MEPND， 由题设知A1B1因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED． 又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．

（2）由已知可得DE⊥DA．
以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，则
uuur
A(2,0,0，A(1,3,2，N(1,0,2，uAuur1(2，0，4，M1A(0,0,4，uAuuur2，uMNuuur1N(1,0,(0,3,0．
设m(x,y,z为平面Amuuuur1MA的法向量，则muAAu1uMr00， 1A所以x3y2z0，4z0．可取m(3,1,0．
uuu设n(p,q,r为平面AnMNur1MN的法向量，则nuAuuur0，
1N0．所以3q0，．可取n(2,0,1．
p2r0于是cosm,nmn2315|m‖n|255， 所以二面角AMA101N的正弦值为5． ．解：设直线l:y32xt,Ax1,y1,Bx2,y2． uAuuur1M(1,3,2，19
（1）由题设得F353,0，故|AF||BF|x1x2，由题设可得x1x2．
2243yxt12(t122xx9x12(t1x4t0由，可得，则． 21292y3x从而12(t157，得t． 92837x． 28所以l的方程为yuuuruuur（2）由AP3PB可得y13y2． 3yxt2由，可得y2y2t0．
22y3x所以y1y22．从而3y2y22，故y21,y13． 代入C的方程得x13,x21． 3故|AB|413．
320．解：（1）设g(xf'(x，则g(xcosx11，g'(xsinx. (1x21x当x1,设为. 1,时，单调递减，而，可得在g'(00,g'(0g'(xg'(x有唯一零点，
222则当x(1,时，g'(x0；当x,时，g'(x0. 2所以g(x在(1,单调递增，在,1,g(x单调递减，故在存在唯一极大值点，即f'(x22在1,存在唯一极大值点. 2（2）f(x的定义域为(1,.
（i）当x(1,0]时，由（1）知，f'(x在(1,0单调递增，而f'(00，所以当x(1,0时，f'(x0，故f(x在(1,0单调递减，又f(0=0，从而x0是f(x在(1,0]的唯一零点. （ii）当x0,时，由（1）知，f'(x在(0,单调递增，在,单调递减，而f'(0=0，22f'0，所以存在,，使得f'(0，且当x(0,时，f'(x0；当x,222时，f'(x0.故f(x在(0,单调递增，在,单调递减. 2又f(0=0，f有零点. （iii）当x1ln10x0,，所以当时，.从而，在f(x0f(x0,没2222,时，f'(x0，所以f(x在,单调递减.而22f0，f(0，所以2f(x在,有唯一零点. 2（iv）当x(,时，ln(x11，所以f(x<0，从而f(x在(,没有零点. 综上，f(x有且仅有2个零点. 21．解：X的所有可能取值为1,0,1. P(X1(1， P(X0(1(1，P(X1(1，所以X的分布列为

（2）（i）由（1）得a0.4,b0.5,c0.1. 因此pi=0.4pi1+0.5 pi+0.1pi1，故0.1pi1pi0.4pipi1，即

pi1pi4pipi1. 又因为p1p0p10，所以pi1pi(i0,1,2,L,7为公比为4，首项为p1的等比数列． （ii）由（i）可得
481p8 p8p7p7p6Lp1p0p0 p8p7p7p6Lp1p0p1
. 3由于p8=1，故p13，所以
8414411p4 p4p3p3p2p2p1p1p0p1 .
3257p4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4案合理. 21t24t2y1t21，且x22．解：（1）因为11，所以C的直角坐标方程为2221t221t1t2210.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方257y2x1(x1. 42l的直角坐标方程为2x3y110. （2）由（1）可设C的参数方程为xcos,（为参数，ππ）. y2sinπ4cos11|2cos23sin11|3C上的点到l的距离为. 77当π2π时，4cos11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7. 3322222223．解：（1）因为ab2ab,bc2bc,ca2ac，又abc1，故有
a2b2c2abbcca所以abbcca111. abcabc111a2b2c2. abc（2）因为a, b, c为正数且abc1，故有

(ab3(bc3(ca333(ab3(bc3(ac3
=3(a+b(b+c(a+c
3(2ab(2bc(2ac
=24. 所以(ab(bc(ca24. 333

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