y＝Asin(ωx+φ)函数图形的性质

数学+赵虎+作业

姓名：赵虎 张掖中数5班

一、 学习目标与任务

（一）学习目标描述

◆知识与技能目标：

（1）能通过“五点作图法”找出函数y=sin x到y=Asin(ωx+φ)图象的变换规律，再抽象的概括出函数y=f(x)到y=f(ωx+φ)的图象变换规律；

（2）会用“五点作图法”画函数y＝Asin(ωx+φ)的简图，进一步理解A、ω、φ的物理意义；

◆过程与方法目标：

（1）通过引导学生对函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索，让学生体会到由简单到复杂，特殊到一般的化归思想．

◆情感态度与价值观目标：

（1）经历对函数y=sin x到 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索过程，体会数形结合以及从特殊到一般的数学思想；

（2）领悟物质运动具有规律性的马克思主义哲学思想；唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观．

（二）学习内容与学习任务说明

学习内容：全日制普通高中课程标准实验教材·必修（四）人教版第42页至第55页的内容。

学习任务：完成y=sin x所学知识的铺垫，思考除了标准正弦函数和标准余弦函数外还有没有其他的三角函数，并通过“五点作图法”学习y=sin(ωx+φ)的性质，学会三角函数异名函数之间的转换。

二、 学习重点、难点

◆重点：用参数思想讨论函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换过程；

学习如何将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法.

◆难点：参数ω对函数y=Asin（ωx+φ）的图象的影响规律的概括。

三、学习者特征分析

学习者为高中二年级学生，在本单元前面的学习时，已经学习了正弦函数和余弦函数的性质以及函数图形的做法，此节内容是对它们的延伸及普及。

四、学习环境选择与学习资源设计

（一） 学习环境选择（打★）

（二） 学习资源类型（打★）

五、学习情境创设

（一） 学习情境类型

（二） 学习情境设计

课堂上，先让学生回忆前几节课所学过的相关正弦函数的知识，让学生发现自己知识块的不完整处，激发学生探索问题的兴趣；利用数学教学软件（几何画板）的功能，画出不同的三角函数的图像进行研究。

六、学习活动组织形式选择

（一）协作学习设计

（三） 教学结构流程设计

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七、教学过程

一、创设情景，导入新课：

师：请同学们一起来观察一下下面这些图像

1、潮汐的周期现象：同学有没有看过潮汐现象啊？潮汐现象其实是海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象。请同学们仔细观察，在潮汐过程中，船的位移随时间变化的图像。

2、绳波的运动轨迹：我们再来观察一下绳波的图像。

师：大家观察了上面两个图像，可以发现与我们前面学过的哪种函数图象很相似？

齐答：正弦函数

师：很好，其实它们的解析式都是形如y=Asin(ωx+φ)的函数，从解析式来看，正弦函数就是y＝Asin(ωx+φ) 当Α=1、ω=1、φ=0时的情况。

师：在物理及工程技术的许多问题中，都会遇到这类函数。它在实践中有很多用处，因此，我们有必要研究这类函数的图像。

揭示课题： 函数y=Asin( x+ )f7e7fc22894c9002274e123a4e513283.png 的图象（一）

师：这个函数中有A、ω、φ三个参数，你认为怎样讨论这三个参数对函数y=Asin（ωx+φ）的图象的影响呢？是3个参数一起讨论还是逐个进行讨论呢？

生：逐个。

师：很好，在数学中有一种重要的思想方法就是从简单到复杂，从特殊到一般。因此，对于一个问题涉及几个参数时，我们一般是先采取 “各个击破”，然后再“归纳整合”。

二、启发诱导，探求规律：

（一）首先，我们就一起探索φ对y=sin(x+φ)的图象的影响？

现在，大家都拿出纸张，利用“五点法”画出函数y=sin(x+c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png)一个周期内的图象。

word/media/image4_1.png师：我们该取哪五点呢，回忆正弦曲线我们都取了哪五点？

生：

师：很好！列表示范，再把五点描出，用光滑曲线连接起来（课件上展示图像），老师再在几何画板上画出这两条完整曲线。

问题1：分别在这两条曲线上各取一个纵坐标相同的点,同时移动这两点并观察其横坐标的变化,发现什么规律？

生：y=sin(x+c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png)的图像上的点的横坐标总是等于y=sinx的横坐标减去c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png。

师：很好，也就说明y=sin(x+c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png)的图像可以看作把正弦曲线y=sinx上的所有的点向左平行移动c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png个单位长度得到。

师：取φ=3a67e99b91e2ae0567dad7fb4bd2c07a.png,再作函数y＝sin(x－c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png)，x∈R的图象，看看是否也有同样地结论呢。

生：（五点法列表画图）

师：请学生口答表格，展示图像

师：仔细观察，y＝sin(x－c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png)可以通过y=sinx的图象平移得到？

生：可以，把正弦曲线y=sinx上的所有的点向右平行移动c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png个单位长度得到。

师：对φ任取不同的值,作出y=sin(x+φ)的图象,看看与y＝sinx的图象是否有类似的关系？（演示多媒体）

齐答：是的。

问题2：你能概括一下如何从正弦曲线出发,经过图象变换得到y=sin(x+φ)的图象呢？

板书：

师：便以记忆，我们概括为“左加右减”。

(二)

师：同样地，你能用上述研究问题的方法,探索参数ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响吗？齐答：可以。

师：为了作图的方便,先不妨固定φ=c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png,从而在ω变化过程中，把比较对象固定为y=sin(x+c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png).接下来作学案中的图像。（3人之间相互讨论，再归纳总结）

师：（请学生上黑板填表格），用五点描点画出一个周期内的图像，师展示完整曲线。

问题3：分别在y=sin(x+c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png )和y=sin(2x+c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png)的图象上各恰当地选取一个纵坐标相同的点,同时移动这两点并观察其横坐标的变化,发现什么规律？

生：y=sin(2x+c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png)的图像上的点的横坐标总是等于y=sin(x+c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png)的横坐标的1/2。

师：很好，也就是说y=sin(2x+c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png)的图像可以看作把y=sin(x+c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png)的图像上所有横坐标缩短到原来的1/2倍。

师：那么当ω=1/2时，再作函数y=sin(93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pngx+c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png)的图象

师：（请学生回答表格），用五点描点画出一个周期内的图像，师展示完整曲线。

师：用同样的方法能否通过y=sin(x+c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png)的图像变换得到？（演示多媒体）

生：能，把y=sin(x+c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png)的图像上所有横坐标伸长到原来的2倍。

师：这个变化中纵坐标有没变化呢？

生：没有。

师：当取ω为其他值时,观察相应的函数图象与y=sin(x+c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png)的图象的关系,能否得出类似的结论.

齐答：能。

（演示多媒体）

问题4：你能概括一下如何从y=sin(x+ )的图像出发,经过图象变换得到y=sin( x+ )的图象呢？

板书：

（三）

师：类似地,你能讨论一下参数A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响吗？为了研究方便,不妨令ω=2, φ=c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png.在学案中作出这些函数在同一坐标系中的图象,观察它们与y=sin(2x+c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png)的图象之间的关系.（3人之间相互讨论再总结）

（学生上黑板填表画图）

问：它们与y=sin(2x+c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png)的图象之间有什么关系？

生：当A=3时，y=3sin(2x+c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png)的图像可以看y=sin(2x+c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png)的图像上所有纵坐标伸长到原来的3倍，当A=1/3时，c63cf998bfe00569a325dcb6a48796e7.png的图像可以看y=sin(2x+c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png)的图像上所有纵坐标缩短到原来的1/3倍.

师：这位同学回答的非常好，（演示多媒体）

师：这个过程中，横坐标有没变化？

生：没有

师：那么是不是A取任何值，都有这样的规律呢？（演示多媒体）

齐答：是的

问题5：你能概括一下如何从y=sin( x+ )的图像出发,经过图象变换得到y=Asin( x+ ),的图象呢？

板书：

三、得出规律：

问题6：由此我们得到了参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象变化的影响情况，现在我们一起来总结一下由y=sin x到y=Asin(ωx+φ)的过程

由板书一起总结:

给出网络课件上的例题每3人一组进行比赛做题，找出φ、ω、A

八、学习评价设计

（一）测试形式与工具（打★）

（三） 测试内容

1、书本上的练习题；

2、网页上的“基础练习” ；

数学信息化教学设计