清华大学暑期学校测试真题

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清华大学2016年暑期学校测试真题
1.已知0a
2
1且a1，则a的取值范围是.3
【答案】0,
23
【解析】根据题意，有log2a1，于是a的取值范围是0,.
3
23
2.在锐角ABC中，a7,b3,sinA7sinB23，则ABC的面积是.
【答案】
33
2
【解析】解法一：由正弦定理可得
1a7b7
，R
2233
其中R为ABC外接圆半径，于是
sinA
a3
，2R2
从而根据余弦定理
b2c2a22bccosA，
解得c1（此时B为钝角，舍去）或c2.因此ABC的面积
133
SbcsinA.
22
解法二：根据正弦定理
1/9

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7sinBasinBbsinA3sinA，
于是
sinA
3，2
其余同解法一.
x2y2
1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作直线l1与椭圆交于A，C两点，直线l1的3.已知椭圆C：
32
斜率为1，过点F1作直线l2与椭圆交于B，D两点，且ACBD，则四边形ACBD的面积是.
【答案】
9625
【解析】由焦点弦长公式，可得四边形ACBD的面积
SACBD
112ab22ab296
ACBD222222
22accos1accos225
其中a3,b
2,c1,1

4
,2
3
.4
4.在正方体ACBDAC11B1D1的底面A1C1B1D1内有一点M，且BM//平面AD1C，则tanD1MD的最大值是.
【答案】2
【解析】作平面BA1C1，如下页图，根据题意，点M在线段A1C1上运动.
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于是
tanD1MD
DD1DD1
2,D1MdD1,A1C1
当M位于A1C1的中点时取得等号，因此所求的最大值为2.5.已知集合Ax|x22x30,Bx|x2axb0,A【答案】-9
【解析】根据题意A,1从而由韦达定理得

BR,AB=3,5,则ab.
3,，于是B1,5，
a154,b155，
于是ab9.
6.圆心为点0,1的单位圆沿x轴正向滚动，初始时刻点P的坐标为O0,0，当圆心运动到

,1时，点2
P的坐标为.
1,12
【答案】
【解析】先考虑旋转，则整个圆顺时针旋转了

，2
于是点0,0旋转到点1,1；
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再考虑平移，可得P
1,12
7.已知等差数列an的前n项和为Sn，且S1052016，S2016105，则S2121.【答案】-2121
【解析】根据题意，关于n的方程
Snn2121

2
有两个实数根n105和n2016，考虑到fnSnn形如ann，因此由f105f2016可得，
f2121f1052016f00.
备注：一般地，若等差数列的前n项和Sn满足Spq且Sqp，则Spqpq.
8.数列an满足an11
1
，nN，a12，已知an的通项可以表示成AsinnB的形式，an
则数列an通项的一个表达试为.
【答案】3sin
12
n
323
【解析】根据题意，有
11
an：2,,1,2,,1,
22
2
，3

于是考虑周期为3，对应
由a12,a2
1
,a31得2
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AsinB1,2AsinB2,
314
AsinB,
23
解得B
12
，A3，取A3，于是可取.23
1,xM
9.定义fMx，且MNx|fMxfNx1.
1,xM
集合Ax|xk,kN,1k2016，集合Bx|x2k,kN,1k2016.(1求fA2016，fB2016.
(2设cardX为集合X的元素个数，求mcardXAcardXB的最小值.【解析】(1根据fMx的定义，有fA20161,fB20161.
(2设集合X中有x0个元素既不在A中也不在B中，x1个元素只在集合A中，x2个元素只在集合B中，x3个元素同时在集合A,B中，如图.则
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mcardXAcardXB
x0x2cardAx1x3x0x1cardBx2x3cardAcardB2x02x3cardAcardB2cardAB20162016210082016
当x00,x3cardA取XA

B时等号成立，即ABX，且XAB时可取到最小值，也可以直接
B，因此所求的最小值为2016.
10.已知fxAsinxB，自变量、相位、函数值的部分取值如下表
x

33

712
x
fx
(1求fx的解析式；(2求fx的单调递增区间；(3求fx在0,2内的所有零点.【解析】(1根据题意
0
2
3
6

1
52
fx=2sinx
93
也即

1，
42
fx=2sinx
93

1.
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(2函数fx的单调递增区间为3k

17
,3kkZ.1212
(3函数fx的零点形如
247
，x2k
396
或
2411x2k,kZ，396
解得其在0,2内的所有零点为x
11.已知圆O:xy16，A,B为圆O与x轴的两个不同的交点，l1,l2是圆O在点A,B处的切线，P为圆上不与A,B重合的点，过点P的切线交l1,l2于C,D两点，AD与BC交于点Mm,n.(1求m与n之间的数量关系；
2
2
13
.12
(2存在一点Qa,0且a0，使得QM的最小值是
7
，求a的值.2
【解析】(1如图，设P在x轴上的投影为H，则由梯形的性质可得其对角线的交点M为线段PH的中点.
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m2n2
1n0.因此m与n之间的数量关系为
164
(2根据题意
2
134a1
QMma+n2ma4m2m4a2，
4433
2
2
2
由于n0，4m4，因此只有
4a
44,3
2
41a27,23
解得a
33
.2

12.已知直线l为曲线C:y(1求直线l的方程
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alnx
在点1,a处的切线.x

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(2求证：当a1时，直线l除切点外恒在C的上方.【解析】(1记fx=
alnx
，则fx的导函数x
fx
1alnx
，
2
x于是切线l方程为
y1ax2a1.
(2只需要证明当a1时，有
x0,x1,
alnx
x
1ax2a1，也即
x0,x1,x12
ax2xlnx0.
因此只需要证明
x0,x1,x12
x2xlnx0.
即
x0,x1,xlnx10.
这显然成立，因此原命题得证.

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