1.3.1函数的单调性

（检测教师版）

时间:50分钟 总分：80分

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一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）

1．如图是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

答案：B

解析：由图象，可知函数y＝f(x)的单调递减区间有2个．故选B.

2．下列说法中正确的个数是(　　)

①已知区间I，若对任意的x1，x2∈I，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数；

②函数y＝x2在R上是增函数；

③函数y＝－在定义域上是增函数；

④函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

A．0 B．1 C．2 D．3

答案：B

解析：由增函数的定义，知①说法正确；y＝x2在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，从而y＝x2在R上不具有单调性，所以②说法错误；y＝－在整个定义域内不是增函数，如－3<5，而f(－3)>f(5)，所以③说法错误；函数y＝的单调区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以④说法错误．故选B.

3．函数y＝－x2＋2x－2的单调递减区间是(　　)

A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．(－∞，2] D．[2，＋∞)

答案：B

解析：∵y＝－x2＋2x－2＝－(x－1)2－1，∴函数的单调递减区间是[1，＋∞)．

4．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有 >0成立，则必有(　　)

A．函数f(x)先增加后减少 B．函数f(x)先减少后增加

C．f(x)在R上是增函数 D．f(x)在R上是减函数

答案：C

解析：因为>0，所以，当a>b时，f(a)>f(b)，当a<b时，f(a)<f(b)，由增函数定义知，

f(x)在R上是增函数．

5.若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　)

A．(－1,0)∪(0,1] B．(－1,0)∪(0,1)

C．(0,1) D．(0,1]

答案：D

解析：f(x)＝－(x－a)2＋a2，当a≤1时，f(x)在[1,2]上是减函数；g(x)＝，当a＞0时，g(x)在[1,2]上是减函数，则a的取值范围是0＜a≤1.

6．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)＞f(－m＋9)，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)

C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

答案：C

解析：因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)＞f(－m＋9)，所以2m＞－m＋9，即m＞3.

二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）来

7．已知函数f(x)＝2x2－mx＋5在[－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2)上是减函数，则f(－1)＝________.

答案：－1

解析：由题意，知二次函数的对称轴为x＝－2，所以＝－2，即m＝－8.于是f(x)＝2x2＋8x＋5，

所以f(－1)＝2×(－1)2＋8×(－1)＋5＝－1.

8．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间为__________．

答案：

解析：y＝－(x－3)|x|＝作出其图象如图，观察图象知递增区间为.

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9．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是单调________函数．

答案：减

解析：∵y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，∴a<0，b<0，y＝ax2＋bx＝a2－，对称轴为x＝－<0，∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是单调减函数．

10.若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝__________.

答案：－6

解析：f(x)＝∴f(x)的单调递增区间是，∴－＝3，a＝－6.

三、解答题（共3小题，每题10分，共30分）来m]

11.证明：函数f(x)＝x＋在(0,1)上为减函数．

证明：设0＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋

＝(x1－x2)＝，

∵0＜x1＜x2＜1，∴x1x2－1＜0，x1－x2＜0，x1x2＞0.

即f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)＞f(x2)．∴f(x)＝x＋在(0,1)上为减函数．

12．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上单调，求实数a的取值范围．

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解析：函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如右图所示．

由于图象可知函数在(－∞，a]和(a，＋∞)上分别单调，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上单调，只需a≤1或a≥2(其中当a≤1时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递增；当a≥2时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递减)，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．

13. 已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，

且f(4)＝5.

(1)求f(2)的值； (2)解不等式f(m－2)≤3.

解析：(1)∵f(4)＝f(2＋2)＝2f(2)－1＝5，∴f(2)＝3.

(2)由f(m－2)≤3，得f(m－2)≤f(2)．∵f(x)是(0，＋∞)上的减函数．

∴解得m≥4.∴不等式的解集为{m|m≥4}．

人教A版高中数学必修一 1.3.1函数的单调性 检测（教师版）