运用数学思想方法解题的策略

分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置，在选择题、填空题、解答题中都会涉及到分类讨论的思想方法，其难度在0.4～0.6之间.

考试要求：《考试说明》强调，对于数学思想和方法的考查要与数学知识的考查结合进行，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度．考查时，要从学科整体意识和思想含义上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度．

题型一 由概念引起的分类讨论

例1.平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于、两点．

求证：“如果直线过点，那么”是真命题.

点拨：（1）联立直线和抛物线，根据向量数量积定义，利用根与系数的关系，可求得；（2）设直线方程时须考虑直线斜率是否存在.

证明：设过点的直线交抛物线于点.

（1）当直线的钭率不存在时, 直线的方程为,此时,直线与抛物线相交于. ∴.

（2）当直线的斜率存在时,设过点的直线的方程为，

由得

又 ∵， ∴，

综上所述，命题“如果直线过点，那么”是真命题；

易错点：（1）在本例中，非常容易遗漏当直线的斜率不存在时对命题的论证，习惯性地设直线的方程为，直接求得，从而证明命题是真命题.显然这种证法是不严密的.（2）此题是由概念引起的分类讨论，相关的题目很多，如集合是否为空集的讨论；指数函数、对数函数底数的讨论；公比、斜率的讨论等.

变式与引申1：已知集合，若时，则实数的取值范围是____________.

题型二 由参数引起的分类讨论

例2.（2011全国课标卷理科第21题）已知函数，曲线在点处的切线方程为。

（Ⅰ）求、的值；

（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。

点拨：（1）此题是与导数有关的一类问题，思路为：求导函数，再利用和求出的值；（2）由于该题存在参数，因此应对参数进行分类讨论.

高考数学 冲刺60天解题策略 专题八 运用数学思想方法解题的策略 第三节 运用分类讨论思想解题的策略