[6套合集]广西壮族自治区柳州高级中学2020中考提前自主招生数学模拟试卷附解析
发布时间：2019-10-18 19:20:52
重点高中提前招生模拟考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
一．选择题（共10小题，每题4分）
1．等边△ABC的各边与它的内切圆相切于A1，B1，C1，△A1B1C1的各边与它的内切圆相切于A2，B2，C2，…，以此类推．若△ABC的面积为1，则△A5B5C5的面积为（ ）
A． B．
C．
D．
2．如图，已知等腰梯形ABCD的腰AB=CD=m，对角线AC⊥BD，锐角∠ABC=α，则该梯形的面积是（ ）
A．2msinα B．m2（sinα）2 C．2mcosα D．m2（cosα）2
3．正五边形广场ABCDE的周长为400米，甲，乙两个同学做游戏，甲从A处，乙从C处同时出发，沿A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣A的方向绕广场行走，甲的速度为每分钟50米，乙的速度为每分钟46米．在两人第一次刚走到同一条边上的那一时刻（ ）
A．甲不在顶点处，乙在顶点处 B．甲在顶点处，乙不在顶点处
C．甲乙都在顶点处 D．甲乙都不在顶点处
4．如果甲的身高或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙．在100个小伙子中，若某人不亚于其他99人，我们就称他为棒小伙子，那么100个小伙子中，棒小伙子最多可能有（ ）
A．1个 B．2个 C．50个 D．100个
5．已知反比例函数y=（k＜0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，则y1﹣y2的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．不能确定
6．把方程化为整式方程，得（ ）
A．x2+3y2+6x﹣9=0 B．x2+3y2﹣6x﹣9=0
C．x2+y2﹣2x﹣3=0 D．x2+y2+2x﹣3=0
7．已知两圆的半径恰为方程2x2﹣5x+2=0的两根，圆心距为，则这两个圆的外公切线有（ ）条．
A．0 B．1 C．2 D．3
8．半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ）
A．1：：
B．
：
：1 C．3：2：1 D．1：2：3
9．已a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，若关于x的方程（b+c）x2﹣2ax+c﹣b=0有两个相等的实根且sinB•cosA﹣cosB•sinA=0，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
10．已知甲乙两组数据的平均数都是5，甲组数据的方差S2甲=，乙组数据的方差S2乙=
，则（ ）
A．甲组数据比乙组数据的波动大
B．乙组数据比甲组数据的波动大
C．甲组数据与乙组数据的波动一样大
D．甲乙两组数据的波动大小不能比较
二．填空题（共10小题，每题4分）
11．如图，半圆的直径AB长为2，C，D是半圆上的两点，若的度数为96°，
的度数为36°，动点P在直径AB上，则CP+PD的最小值为 ．
12．已知正数a和b，有下列结论：
（1）若a=1，b=1，则≤1；（2）若a=
，b=
，则
；
（3）若a=2，b=3，则≤
；（4）若a=1，b=5，则
．
根据以上几个命题所提供的信息，请猜想：若a=6，b=7，则ab≤ ．
13．如果满足||x2﹣6x﹣16|﹣10|=a的实数x恰有6个，那么实数a的值等于 ．
14．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，将矩形ABCD沿对角线对折，然后放在桌面上，折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是 ．
15．5只猴子一起摘了1堆桃子，因太累了，它们决定，先睡一觉再分．过了不知多久，来了第一只猴子，它见别的猴子没来，便将这堆桃子平均分为5堆，结果还多1个，就把多余的这个吃了，取走自己应得的1份．又过了不知多久，来了第2只猴子，它不知道有1个同伴已经来过了，还以为自己是第1个到的，也将地上的桃子平均分为5堆，结果也多1个，就把多余的这个吃了，取走自己应得的1份．第3只，第4只，第5只猴子都是这样…．则这5只猴子至少摘了 个桃子．
16．设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，b＞0）的图象经过（0，y1）、（1，y2）和（﹣1，y3）三点，且满足y12=y22=y32=1，则这个二次函数的解析式是 ．
17．方程x2﹣（m+2）x+m2=0的两实根之和与积相等，则实数m的值是 ．
18．一组数据35，35，36，36，37，38，38，38，39，40的极差是 ．
19．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，DC=3，AB=，则⊙O的直径等于 ．
20．如图所示，一个大长方形被两条线段AB、CD分成四个小长方形，其中长方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别是8、6、5，那么阴影部分的面积是： ．
三．解答题（共6小题，共70分）
21．如图，M、N、P分别为△ABC三边AB、BC、CA的中点，BP与MN、AN分别交于E、F．
（1）求证：BF=2FP；
（2）设△ABC的面积为S，求△NEF的面积．
22．已知如图，A是⊙O的直径CB延长线上一点，BC=2AB，割线AF交⊙O于E、F，D是OB的中点，且DE⊥AF，连接BE、DF．
（1）试判断BE与DF是否平行？请说明理由；
（2）求AE：EC的值．
23．如图所示，在△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D．∠B的平分线分别与AD、AC交于E，F，H为EF的中点．
（1）求证：AH⊥EF；
（2）设△AHF、△BDE、△BAF的周长为cl、c2、c3．试证明：，并指出等号成立时
的值．
24．小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏．她们用四种字母做成10只棋子，其中A棋1只，B棋2只，C棋3只，D棋4只．
“字母棋”的游戏规则为：
①游戏时两人各摸一只棋进行比赛称一轮比赛，先摸者摸出的棋不放回；
②A棋胜B棋、C棋；B棋胜C棋、D棋；C棋胜D棋；D棋胜A棋；
③相同棋子不分胜负．
（1）若小玲先摸，问小玲摸到C棋的概率是多少？
（2）已知小玲先摸到了C棋，小军在剩余的9只棋中随机摸一只，问这一轮中小玲胜小军的概率是多少？
（3）已知小玲先摸一只棋，小军在剩余的9只棋中随机摸一只，问这一轮中小玲希望摸到哪种棋胜小军的概率最大？
25．初三（8）班尚剩班费m（m为小于400的整数）元，拟为每位同学买1本相册．某批发兼零售文具店规定：购相册50本起可按批发价出售，少于50本则按零售价出售，批发价比零售价每本便宜2元，班长若为每位同学买1本，刚好用完m元；但若多买12本给任课教师，可按批发价结算，也恰好只要m元．单价为整数，问该班有多少名同学？每本相册的零售价是多少元？
26．△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，O是BC的中点，小敏拿着含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点O，三角板绕O点旋转．
（1）如图（a），当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，求证：△BOE∽△CFO；
（2）操作：将三角板绕点O旋转到图（b）情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于E、F．①探索：△BOE与△CFO还相似吗？（只需写结论）：连接EF，△BOE与△OFE是否相似？请说明理由．②设EF=x，△EOF的面积是S，写出S与x的函数关系式．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．等边△ABC的各边与它的内切圆相切于A1，B1，C1，△A1B1C1的各边与它的内切圆相切于A2，B2，C2，…，以此类推．若△ABC的面积为1，则△A5B5C5的面积为（ ）
A． B．
C．
D．
【考点】KK：等边三角形的性质；MI：三角形的内切圆与内心．菁优网版权所有
【分析】设等边△ABC的边长为a，则可得出△A1B1C1是等边三角形，且边长为a，同理，得出等边△A2B2C2的边长为（
）2a，…，等边△A5B5C5的边长为（
）5a，由于所有的等边三角形都相似，所以根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出△A5B5C5的面积．
【解答】解：∵等边△ABC的各边与它的内切圆相切于A1，B1，C1，设等边△ABC的内心为O，
∴点O也是等边△ABC的外心，
∴A1，B1，C1分别是△ABC各边的中点，
设等边△ABC的边长为a，则根据三角形中位线定理，得出△A1B1C1的边长为a，
同理，等边△A2B2C2的边长为（）2a，
…，
等边△A5B5C5的边长为（）5a．
又∵△ABC∽△A5B5C5，△ABC的面积为1，
∴△ABC的面积：△A5B5C5的面积=[a：（）5a]2，
∴△A5B5C5的面积=．
故选：D．
【点评】此题综合运用了等边三角形的性质、三角形的中位线定理、相似三角形的判定及性质，综合性较强，难度中等．
2．如图，已知等腰梯形ABCD的腰AB=CD=m，对角线AC⊥BD，锐角∠ABC=α，则该梯形的面积是（ ）
A．2msinα B．m2（sinα）2 C．2mcosα D．m2（cosα）2
【考点】LJ：等腰梯形的性质；T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【分析】在等腰梯形ABCD中，对角线AC⊥BD，所以，AC=BD，则，∠ACB=45°；利用正弦定理得，，可得出AC的值，所以，S等腰梯形ABCD=
×AC×BD，代入数值，解答出即可．
【解答】解：在等腰梯形ABCD中，对角线AC⊥BD，
∴AC=BD，则，∠ACB=45°，
又∠ABC=α，AB=CD=m，
∴由正弦定理得，，
∴AC=msinα÷sin45°，
=msinα，
∴S等腰梯形ABCD=×AC×BD，
=×
msinα×
msinα，
=m2（sinα）2．
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形、等腰梯形的性质，注意题目中的隐含条件，∠ACB=∠DBC=45°，是解答本题的关键．
3．正五边形广场ABCDE的周长为400米，甲，乙两个同学做游戏，甲从A处，乙从C处同时出发，沿A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣A的方向绕广场行走，甲的速度为每分钟50米，乙的速度为每分钟46米．在两人第一次刚走到同一条边上的那一时刻（ ）
A．甲不在顶点处，乙在顶点处 B．甲在顶点处，乙不在顶点处
C．甲乙都在顶点处 D．甲乙都不在顶点处
【考点】8A：一元一次方程的应用．菁优网版权所有
【分析】根据二人在1条边上，二人地距离差小于或等于80米，由甲乙的速度与起始位置，求出甲乙相距80米的时间，然后推算此时甲乙的位置即可作出判断．
【解答】解：由题意得：正方形的边长为80米，
①二人在1条边上，二人的距离差小于或等于80米．
②甲在A点，乙在C点，二人的距离差是160米，甲要追回80米需要的时间是80÷（50﹣46）=20分钟．
③20分钟甲走了1000米，正好走到CD的中点设为F；20分钟乙走920米走到DE距D点40米处设为G．
④甲从F走到D是40÷50=0.8分钟；乙用0.8分从G点走出0.8×46=36.8米，距E点80﹣36.8﹣40=3.2米．
⑤由此得知甲走到D点时，乙走在DE线上距E3.2米处．
故选：B．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意得出二人在1条边上，二人的距离差小于或等于80米是关键．
4．如果甲的身高或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙．在100个小伙子中，若某人不亚于其他99人，我们就称他为棒小伙子，那么100个小伙子中，棒小伙子最多可能有（ ）
A．1个 B．2个 C．50个 D．100个
【考点】O2：推理与论证．菁优网版权所有
【分析】因为求得最多是多少人，且如果甲的身高或体重数至少有一项比乙大，我们可把这一百个小伙子用A1～A100来表示，然后根据体重和身高两个条件找出答案．
【解答】解：先退到两个小伙子的情形，如果
甲的身高数＞乙的身高数，且
乙的体重数＞甲的体重数
可知棒小伙子最多有2人．
再考虑三个小伙子的情形，如果
甲的身高数＞乙的身高数＞丙的身高数，且
丙的体重数＞乙的体重数＞甲的体重数
可知棒小伙子最多有3人．
这时就会体会出小伙子中的豆芽菜与胖墩现象．
由此可以设想，当有100个小伙子时，设每个小伙子为Ai，（i=1，2，…，100），其身高数为xi，体重数为yi，当
y100＞y99＞…＞yi＞yi﹣1＞…＞y1且
x1＞x2＞…＞xi＞xi+1＞…＞x100时，
由身高看，Ai不亚于Ai+1，Ai+2，…，A100；
由体重看，Ai不亚于Ai﹣1，Ai﹣2，…，A1
所以，Ai不亚于其他99人（i=1，2，…，100）
所以，Ai为棒小伙子（i=1，2，…，100）
因此，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有 100个．
故选：D．
【点评】本题考查推理和论证，关键注意本题有身高和体重两种情况，少有一项大，就称作不亚于，从而可求出解．
5．已知反比例函数y=（k＜0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，则y1﹣y2的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．不能确定
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【分析】由于自变量所在象限不定，那么相应函数值的大小也不定．
【解答】解：∵函数值的大小不定，若x1、x2同号，则y1﹣y2＜0；
若x1、x2异号，则y1﹣y2＞0．
故选：D．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，注意反比例函数的图象的增减性只指在同一象限内．
6．把方程化为整式方程，得（ ）
A．x2+3y2+6x﹣9=0 B．x2+3y2﹣6x﹣9=0
C．x2+y2﹣2x﹣3=0 D．x2+y2+2x﹣3=0
【考点】AG：无理方程．菁优网版权所有
【分析】先将无理方程两边平方，转化为分式方程，再去分母，转化为整式方程．
【解答】解：两边都平方得：=
，
由比例式的性质可知：4（x2+y2）=（x﹣3）2+y2，
整理得x2+y2+2x﹣3=0．故选D
【点评】本题用到的知识点为：a=b，那么a2=b2．
7．已知两圆的半径恰为方程2x2﹣5x+2=0的两根，圆心距为，则这两个圆的外公切线有（ ）条．
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；MJ：圆与圆的位置关系．菁优网版权所有
【分析】首先解一元二次方程求得两圆的半径，再根据数量关系判断两圆的位置关系，进一步确定其外公切线的条数．
【解答】解：解方程2x2﹣5x+2=0，得
两圆的半径是2和，显然2﹣
＜
＜2+
，
则两圆相交，即这两个圆的外公切线有2条．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的解法、两圆的位置关系与数量之间的联系以及外公切线的条数，综合性较强．
8．半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ）
A．1：：
B．
：
：1 C．3：2：1 D．1：2：3
【考点】MM：正多边形和圆．菁优网版权所有
【分析】从中心向边作垂线，构建直角三角形，通过解直角三角形可得．
【解答】解：设圆的半径是r，
则多边形的半径是r，
则内接正三角形的边长是2rsin60°=r，
内接正方形的边长是2rsin45°=r，
正六边形的边长是r，
因而半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为：
：1．
故选：B．
【点评】正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．
9．已a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，若关于x的方程（b+c）x2﹣2ax+c﹣b=0有两个相等的实根且sinB•cosA﹣cosB•sinA=0，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【考点】AA：根的判别式；T1：锐角三角函数的定义．菁优网版权所有
【分析】由于关于x的方程（b+c）x2﹣2ax+c﹣b=0有两个相等的实根，所以判别式（﹣2a）2﹣4（b+c）（c﹣b）=0，解可得：a2+b2﹣c2=0，即a2+b2=c2；
又已知sinB•cosA﹣cosB•sinA=0，可得tanA=tanB，故A=B．
根据这两个条件可以判断△ABC的形状为等腰直角三角形．
【解答】解：∵关于x的方程（b+c）x2﹣2ax+c﹣b=0有两个相等的实根，
∴（﹣2a）2﹣4（b+c）（c﹣b）=0，
化简，得a2+b2﹣c2=0，
即a2+b2=c2．
又∵sinB•cosA﹣cosB•sinA=0，
∴tanA=tanB，
故∠A=∠B，
∴a=b，
所以△ABC的形状为等腰直角三角形．
故选：D．
【点评】主要考查了等腰直角三角形的性质和一元二次方程判别式与根的关系，这些性质和规律要求学生熟练掌握．
10．已知甲乙两组数据的平均数都是5，甲组数据的方差S2甲=，乙组数据的方差S2乙=
，则（ ）
A．甲组数据比乙组数据的波动大
B．乙组数据比甲组数据的波动大
C．甲组数据与乙组数据的波动一样大
D．甲乙两组数据的波动大小不能比较
【考点】W1：算术平均数；W7：方差．菁优网版权所有
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【解答】解：S2甲=＜S2乙=
．
故选：B．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
二．填空题（共10小题）
11．如图，半圆的直径AB长为2，C，D是半圆上的两点，若的度数为96°，
的度数为36°，动点P在直径AB上，则CP+PD的最小值为
．
【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理；M4：圆心角、弧、弦的关系；PA：轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有
【分析】首先将圆补成整圆．再作D点的对称点，利用垂径定理以及解直角三角形求出CD即可，进而得出CP+PD的最小值．
【解答】解：将半圆补成整圆，作D点关于直径AB的对称点D′，连接CD，作ON⊥CD，
∵的度数为96°，
的度数为36°，
∴∠DOB=36°，
∠AOC=96°，
∴∠COD=48°，
∴∠BOD′=36°，
∴∠COD′=36°+36°+48°=120°，
∵半圆的直径AB长为2，
∴∠OCN=30°，
∴ON=，
∴CN==
，
∴CD=，
∵CD=PC+PD，
∴PC+PD=．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理和圆心角、弧、弦心距定理等知识，作出正确辅助线补全圆是解题关键．
12．已知正数a和b，有下列结论：
（1）若a=1，b=1，则≤1；（2）若a=
，b=
，则
；
（3）若a=2，b=3，则≤
；（4）若a=1，b=5，则
．
根据以上几个命题所提供的信息，请猜想：若a=6，b=7，则ab≤ ．
【考点】7A：二次根式的化简求值．菁优网版权所有
【分析】观察题目所给出的4个结论可得出的一般式为：；将6和7代入即可得出
的范围，从而可得ab的取值范围．
【解答】解：由已知可得出为一般结论：
若a、b均正数，则有；
所以当a=6，b=7时，有，
即ab．
【点评】本题考查了根据已知条件总结规律，并对二次根式求值的问题．
13．如果满足||x2﹣6x﹣16|﹣10|=a的实数x恰有6个，那么实数a的值等于 10 ．
【考点】15：绝对值；A8：解一元二次方程﹣因式分解法．菁优网版权所有
【分析】可以根据函数的图象，先画出y=x2﹣6x﹣16图象，x轴以下向上反射得到的图象再向下平移10个单位后，再次将x轴以下反射上去，得到y=||x2﹣6x﹣16|﹣10|的图象，因为y=a的图象是一条横线，通过图象得a=10（唯一解）．
【解答】解：如图，a=10时，两函数有六个交点．
故a=10．
【点评】本题考查了含绝对值的二次函数，画出图象，通过数形结合即可轻松解答．
14．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，将矩形ABCD沿对角线对折，然后放在桌面上，折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是 ．
【考点】K3：三角形的面积；KQ：勾股定理；PB：翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【分析】由图形可知：折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是原矩形的面积减去重合的部分的面积，只要求出重合的部分的面积即三角形AEC的面积即可，利用勾股定理求出EC答案可得．
【解答】解：设折叠后所成圆形覆盖桌面的面积为S，则：
，
由Rt△ABE≌Rt△CD1E知EC=AE，
设EC=x，则AB2+BE2=x2，
即52+（12﹣x）2=x2，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了图形的翻折问题、三角形的面积及勾股定理；利用勾股定理求得EC的大小，从而求得重合部分的面积是正确解答本题的关键．
15．5只猴子一起摘了1堆桃子，因太累了，它们决定，先睡一觉再分．过了不知多久，来了第一只猴子，它见别的猴子没来，便将这堆桃子平均分为5堆，结果还多1个，就把多余的这个吃了，取走自己应得的1份．又过了不知多久，来了第2只猴子，它不知道有1个同伴已经来过了，还以为自己是第1个到的，也将地上的桃子平均分为5堆，结果也多1个，就把多余的这个吃了，取走自己应得的1份．第3只，第4只，第5只猴子都是这样…．则这5只猴子至少摘了 3121 个桃子．
【考点】#B：整数问题的综合运用．菁优网版权所有
【分析】根据设原有数量为5a+1，可列出式子得出规律，即原有桃子总量：aa﹣（a﹣1）=b，即可求出5×624+1=3121个．
【解答】解：设原有数量为5a+1，
可列出式子，原有：5a+1
1、（5a+1）﹣1﹣=4a，
2、4a﹣1﹣=4b，
3、4b﹣1﹣=4c，
4、4c﹣1﹣=4d，
5、4d﹣1﹣=4e，
就是 e=，
d=，
c=，
b=，
整理得：256a﹣625e=369
可列出式子：
a=99999﹣625t，
e=40959﹣256t，
可看出，当t=159时，a有最小值624，e为255，
原有桃子总量：5×624+1=3121个，
以上是一般计算法，此类题还可用一种简捷法算出：
设有a个猴子，共有b个桃子，有关系式：
∴aa﹣（a﹣1）=b，
此例a=5，所以 b=55﹣（5﹣1）=3121，
故答案为：3121．
【点评】此题主要考查了整数问题的综合应用，根据已知得出 设有a个猴子，共有b个桃子，有关系式 aa﹣（a﹣1）=b求出是解题关键．
16．设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，b＞0）的图象经过（0，y1）、（1，y2）和（﹣1，y3）三点，且满足y12=y22=y32=1，则这个二次函数的解析式是 y=x2+x﹣1 ．
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征；H8：待定系数法求二次函数解析式．菁优网版权所有
【分析】将三点坐标代入抛物线的解析式中，根据y12=y22=y32=1，即可得出a、b、c的值．即可求出抛物线的解析式．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，b＞0）的图象经过（0，y1）、（1，y2）和（﹣1，y3）三点，
∴y1=c，y2=a+b+c，y3=a﹣b+c；
又∵y12=y22=y32=1，
∴（a+b+c）2=（a﹣b+c）2=c2=1，
∴a=1，b=1，c=﹣1．
因此抛物线的解析式为y=x2+x﹣1．
故答案是：y=x2+x﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征．二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，b＞0）的图象上所有点的坐标都满足该二次函数的解析式．
17．方程x2﹣（m+2）x+m2=0的两实根之和与积相等，则实数m的值是 2 ．
【考点】AB：根与系数的关系．菁优网版权所有
【分析】设α、β是方程x2﹣（m+2）x+m2=0的两实根，再由根与系数的关系，可得出m的值．
【解答】解：设α、β是方程x2﹣（m+2）x+m2=0的两实根，
∴α+β=m+2，αβ=m2，
∵方程x2﹣（m+2）x+m2=0的两实根之和与积相等，
∴m+2=m2，
解得m=2或﹣1，
∵方程x2﹣（m+2）x+m2=0有两实根，
当m=2时，
∴△=（m+2）2﹣4m2=﹣3m2+4m+4=0，
当m=﹣1时，
∴△=（m+2）2﹣4m2=﹣3m2+4m+4＜0，（不合题意舍去），
∴m=2．
故答案为2．
【点评】本题考查了根与系数的关系，设α、β是方程ax2+bx+c=0的两实根，α+β=﹣，αβ=
．
18．一组数据35，35，36，36，37，38，38，38，39，40的极差是 5 ．
【考点】W6：极差．菁优网版权所有
【分析】极差的公式：极差=最大值﹣最小值．找出所求数据中最大的值40，最小值35，再代入公式求值．
【解答】解：由题意可知，数据中最大的值40，最小值35，所以极差=40﹣35=5．
故填5．
【点评】极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
注意：（1）极差的单位与原数据单位一致；
（2）如果数据的平均数、中位数、极差都完全相同，此时用极差来反映数据的离散程度就显得不准确．
19．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，DC=3，AB=，则⊙O的直径等于
．
【考点】KQ：勾股定理；MA：三角形的外接圆与外心．菁优网版权所有
【分析】连接AO并延长到E，连接BE．设AE=2R，则∠ABE=90°，∠AEB=∠ACB，∠ADC=90°，利用勾股定理求得AD==
=4；再证明Rt△ABE∽Rt△ADC，得到
=
，即2R=
=
=5
．
【解答】解：如图，
连接AO并延长到E，连接BE．设AE=2R，则
∠ABE=90°，∠AEB=∠ACB；
∵AD⊥BC于D点，AC=5，DC=3，AB=，
∴∠ADC=90°，AD==
=4；
在Rt△ABE与Rt△ADC中，
∠ABE=∠ADC=90°，∠AEB=∠ACB，
∴Rt△ABE∽Rt△ADC，
∴=
，
即2R==
=5
；
∴⊙O的直径等于．
【点评】此题比较复杂，解答此题的关键是连接AO并延长到E．连接BE，作出⊙O的直径，再利用三角形相似解答．
20．如图所示，一个大长方形被两条线段AB、CD分成四个小长方形，其中长方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别是8、6、5，那么阴影部分的面积是： ．
【考点】@2：面积及等积变换．菁优网版权所有
【分析】设大长方形的长为a，宽为b，Ⅰ的长为x，宽为y，则Ⅱ的长为a﹣x，宽为y，Ⅲ的长为a﹣x，宽为b﹣y，阴影部分的长为x，宽为b﹣y，设有阴影的矩形面积为z，再根据等高不同底利用面积的比求解即可．
【解答】解：∵图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为8、6、5，
∴=
=
=
，
∴=
=
=
，
∴=
，z=
∴S阴影=z=
×
=
．
故答案为：．
【点评】此题考查的是长方形及三角形的面积公式，解答此题的关键是熟知等高不同底的多边形底边的比等于其面积的比．
21．如图，M、N、P分别为△ABC三边AB、BC、CA的中点，BP与MN、AN分别交于E、F．
（1）求证：BF=2FP；
（2）设△ABC的面积为S，求△NEF的面积．
【考点】K3：三角形的面积；KX：三角形中位线定理；S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】14：证明题．
【分析】（1）如图1，连接PN，由中位线性质得到PN∥AB，且，则△ABF∽△NPF，得到
，即可证得结论；
（2）如图2，取AF的中点G，连接MG，由中位线性质得到MG∥EF，AG=GF=FN．得到△NEF∽△NMG，则根据相似三角形面积的比等于相似比的平方和三角形同高面积的比等于底边的比得到S△NEF=S△MNG=
×
S△AMN=
×
×
S△ABC=
S．
【解答】（1）证明：如图1，连接PN，
∵N、P分别为△ABC边BC、CA的中点，
∴PN∥AB，且．
∴△ABF∽△NPF，
∴．
∴BF=2FP．
（2）解：如图2，取AF的中点G，连接MG，
∴MG∥EF，AG=GF=FN．
∴△NEF∽△NMG，∴S△NEF=S△MNG
=×
S△AMN
=×
×
S△ABC
=S．
【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：平行于三角形一边的直线截其它两边所截得的三角形与原三角形相似；相似三角形面积的比等于相似比的平方．也考查了三角形中位线的性质和同高的三角形面积的比等于底边的比．
22．已知如图，A是⊙O的直径CB延长线上一点，BC=2AB，割线AF交⊙O于E、F，D是OB的中点，且DE⊥AF，连接BE、DF．
（1）试判断BE与DF是否平行？请说明理由；
（2）求AE：EC的值．
【考点】M2：垂径定理；S4：平行线分线段成比例．菁优网版权所有
【专题】152：几何综合题；16：压轴题．
【分析】（1）一般判断的结论大多数是肯定的，但这个是否定的．如图过O作OM⊥EF，垂足为M，则EM=MF，容易知道DE∥OM，根据平行线分线段成比例可以求出AE：AF=3：5，不等于AB：AD，所以BE与DF不平行；
（2）要求AE：EC，不能直接求出．由于D是AC的中点，取AE的中点，利用中位线定理进行转换，连接DP．根据已知条件和平行线分线段成比例可以证明△EDP是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质即可求出AE：EC．
【解答】解：（1）BE与DF不平行（1分）
理由：过O作OM⊥EF，垂足为M，则EM=MF
∵DE⊥AE，∴DE∥OM
∴AE：AM=AD：AO=3：4 （1分）
∴AE：AF=3：5
∵AB：AD=2：3
∴AE：AF≠AB：AD
∴BE与DF不平行；
（2）取AE的中点P，连接DP交BE于Q
∵D是AC的中点，P是AE的中点
∴DP∥CE
∵BE⊥EC，∴BE⊥DQ
由DQ∥CE，得，又
∴DP=2DQ即DQ=PQ，又BE⊥DP
∴BE是DP的中垂线
∴EP=ED （2分）
∵∠AED=90°，
∴△EDP是等腰直角三角形
∴DP=EP
∴AE：EC=2EP：2DP=1：．（1分）
【点评】此题比较难，主要利用平行线分线段成比例和中位线定理解题，也结合了等腰直角三角形的性质来求出比值．
23．如图所示，在△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D．∠B的平分线分别与AD、AC交于E，F，H为EF的中点．
（1）求证：AH⊥EF；
（2）设△AHF、△BDE、△BAF的周长为cl、c2、c3．试证明：，并指出等号成立时
的值．
【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质；S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】（1）根据∠BAC=90°，AD⊥BC，则∠AFB=90°﹣∠ABF，∠AEF=∠BED=90°﹣∠DEB，再由BF平分∠ABC，则∠ABF=∠EBD，从而得出AE=AF，根据等腰三角形的性质即可证明AH⊥EF；
（2）设，可证明Rt△AHF∽Rt△BED∽Rt△BAF，则得出
，再根据三角形的周长得出cl、c2、c3．的关系式，并得出当k=
时，等号成立，即为
的值．
【解答】证明：（1）∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠AFB=90°﹣∠ABF，∠AEF=∠BED=90°﹣∠EBD，
又BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠DBF，
∵∠AFB=∠AEF，
∴AE=AF，H为EF的中点，∴AH⊥EF；
（2）设，
∵∠AFH=∠BED，∴Rt△AHF∽Rt△BED∽Rt△BAF，
∴，
而BE=BF﹣2HF=x﹣2k•AF=x﹣2k2x=（1﹣2k2）x，
∴，
，
，
∴，
故当．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质，是中考压轴题，难度较大．
24．小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏．她们用四种字母做成10只棋子，其中A棋1只，B棋2只，C棋3只，D棋4只．
“字母棋”的游戏规则为：
①游戏时两人各摸一只棋进行比赛称一轮比赛，先摸者摸出的棋不放回；
②A棋胜B棋、C棋；B棋胜C棋、D棋；C棋胜D棋；D棋胜A棋；
③相同棋子不分胜负．
（1）若小玲先摸，问小玲摸到C棋的概率是多少？
（2）已知小玲先摸到了C棋，小军在剩余的9只棋中随机摸一只，问这一轮中小玲胜小军的概率是多少？
（3）已知小玲先摸一只棋，小军在剩余的9只棋中随机摸一只，问这一轮中小玲希望摸到哪种棋胜小军的概率最大？
【考点】X4：概率公式；X7：游戏公平性．菁优网版权所有
【分析】本题考查概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可．概率相等则公平，否则不公平．
【解答】解：（1）小玲摸到C棋的概率等于；
（2）小玲在这一轮中胜小军的概率是．
（3）①若小玲摸到A棋，小玲胜小军的概率是；
②若小玲摸到B棋，小玲胜小军的概率是；
③若小玲摸到C棋，小玲胜小军的概率是；④若小玲摸到D棋，小玲胜小军的概率是
．
由此可见，小玲希望摸到B棋，小玲胜小军的概率最大．
【点评】【命题意图】情景简单，背景公平．通过摸棋游戏这个活动考查学生对概率知识的理解，第（3）小题则是需要学生对多种情形进行分析、比较方可得出答案，要求学生有严谨的思维．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25．初三（8）班尚剩班费m（m为小于400的整数）元，拟为每位同学买1本相册．某批发兼零售文具店规定：购相册50本起可按批发价出售，少于50本则按零售价出售，批发价比零售价每本便宜2元，班长若为每位同学买1本，刚好用完m元；但若多买12本给任课教师，可按批发价结算，也恰好只要m元．单价为整数，问该班有多少名同学？每本相册的零售价是多少元？
【考点】&6：非一次不定方程（组）．菁优网版权所有
【分析】设该班有x名同学，每本相册的零售价是y元，根据题意列出关于x、y的方程，再由x、y为整数即可求出x、y的可能值．
【解答】解：设该班有x名同学，每本相册的零售价是y元，
则xy=（x+12）（y﹣2）①，且整数x满足38≤x＜50②，
由①得12y﹣2x﹣24=0，y=+2，xy=
+2x③，
由③及xy=m为整数，知整数x必为6的倍数，再由②得x只可能为42或48，
此时相应的y为9或10，
但m＜400，所以x=42，y=9．
故答案为：该班有42名同学，每本相册的零售价是9元．
【点评】本题考查的是非一次不定方程，解答此类问题的关键是根据题意列出方程，再由x、y均为正整数的条件求解．
26．△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，O是BC的中点，小敏拿着含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点O，三角板绕O点旋转．
（1）如图（a），当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，求证：△BOE∽△CFO；
（2）操作：将三角板绕点O旋转到图（b）情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于E、F．①探索：△BOE与△CFO还相似吗？（只需写结论）：连接EF，△BOE与△OFE是否相似？请说明理由．②设EF=x，△EOF的面积是S，写出S与x的函数关系式．
【考点】KW：等腰直角三角形；R2：旋转的性质；S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】（1）找出△BOE与△CFO的对应角，其中∠BOE+∠COF=135°，∠COF+∠CFO=135°，得出∠BOE=∠CFO，从而解决问题；
（2）①小题同前可证，②小题可通过对应边成比例证明．
【解答】（1）证明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵∠B+∠BOE+∠BEO=180°，
∴∠BOE+∠BEO=135°，
∵∠EOF=45°，
又∵∠BOE+∠EOF+∠COF=180°，
∴∠BOE+∠COF=135°，
∴∠BEO=∠COF，
又∵∠B=∠C，
∴△BOE∽△CFO（两角对应相等的两个三角形相似）．
（2）解：①△BOE∽△CFO；②△BOE与△OFE相似．
证明：同（1），可证△BOE∽△CFO，
得 CO：BE=OF：OE，
而CO=BO，
因此 OB：BE=OF：OE．
又因为∠EBO=∠EOF，
所以△BOE∽△OFE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）．
②△ABC为等腰直角三角形，且AB=AC=2，O为BC中点，
∴BO=．
设EO=y，
∵△BOE∽△OFE，
∴，
即 ，
解得：FO=，
则S△EOF=•sin45°•EO•FO=
•EO•FO．
∵EO•FO=x．
∴S=x．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定．它以每位学生都有的三角板在图形上的运动为背景，既考查了学生图形旋转变换的思想，静中思动，动中求静的思维方法，又考查了学生动手实践、自主探究的能力．
中学自主招生数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24分）
1. 2的算术平方根是（ ）
A. f9f1a6454b1751458ae4230091f79c53.png
d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png
b11037a7c92d84bc62f27efd18b7705b.png
2. 下列运算正确的是（ ）
A. b08cc5c15924300ee105f38edcd22cd2.png
32c56f9747623982b258044f91ee09f4.png
f8376a75f5bceba0edcc9d54ecd786ae.png
126bf442c2ae8f351eca4d5ea3fa4812.png
3. 近两年，中国倡导的“一带一路”为沿线国家创造了约180000个就业岗位，将180000用科学记数法表示为（ ）
A. c97b2ac6cf6fb056392d005040ff6def.png
55a70486b5247eda6219f3e52c755301.png
9096a1ed3aca987e8a582f5224d18a8e.png
9674670a6324a3b309af7db3c2ecf6a0.png
4. 如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（ ）
A. B.
C.
D.
5. 在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动．为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：
关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A. 中位数是2 B. 众数是17 C. 平均数是2 D. 方差是2
6. 某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（ ）
A. a95b98a46ae739145b0a9eba5008e900.png
ae0ce64fc49cd0aa826b50099f869922.png
2496af30b64c3a4ff21e8505ea439a73.png
92546f349e0c4fa4142ac70fd037a458.png
7. 如图，反比例函数y=
e2be3bd7e8b1c90aac67441b70772817.png
A. 596a3d04481816330f07e4f97510c28f.png
47c1b025fa18ea96c33fbb6718688c0f.png
0267aaf632e87a63288a08331f22c7c3.png
b3149ecea4628efd23d2f86e5a723472.png
8. 如图，菱形ABCD的边AB=5，面积为20，∠BAD＜90°，⊙O与边AB、AD都相切，AO=2，则⊙O的半径长等于（ ）
A.
a4dda69bfa64ed22fba6ac6188bc1be2.png
2caf8383a51dc5a80a30f35520848a35.png
46d9f6dacae7199e2c5827b2262e9555.png
6a6f9d220af34df75ca26ecb8d23f3b0.png
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
9. -5的相反数是______．
10. 分解因式：4a2-4a+1=______．
11. 若626d266db7da755174820569e7f2a2ce.png
12. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD=______度．
13. 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AC=3，∠BOC=2∠AOC．若用扇形OAC（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是______．
14. 同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数表达式是y=3d54dca1696bb6b154242be0cf7df28a.png
15. 如图，把等边△ABC沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且DP⊥BC，若BP=4cm，则EC=______cm．
16. 如图，在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是______．
三、计算题（本大题共3小题，共20分）
17. 计算|-6|+（-2）3+（1801cfc88edd59ca7296ac197514e703.png
18. 化简：ae3207b12a0cdf38e39504c5d9e2e98d.png
19. 小明、小刚和小红打算各自随机选择本周日的上午或下午去兴化李中水上森林游玩．（1）小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率为______；（2）求他们三人在同一个半天去游玩的概率．
四、解答题（本大题共8小题，共82分）
20. 解不等式组ef6e072b821df7a2beebb256b17bf035.png
21. 某校随机抽取部分学生，就“学习习惯”进行调查，将“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”（选项为：很少、有时、常常、总是）的调查数据进行了整理，绘制成部分统计图如下：请根据图中信息，解答下列问题（1）该调查的样本容量为______，a=______%，b=______%，“常常”对应扇形的圆心角为______°（2）请你补全条形统计图；（3）若该校共有3200名学生，请你估计其中“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有多少名？
22. 如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）当∠BAE为多少度时，四边形AECF是菱形？请说明理由．
23. 某公司组织员工到附近的景点旅游，根据旅行社提供的收费方案，绘制了如图所示的图象，图中折线ABCD表示人均收费y（元）与参加旅游的人数x（人）之间的函数关系．（1）当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为______元；（2）如果该公司支付给旅行社3600元，那么参加这次旅游的人数是多少？
24. 如图，一种侧面形状为矩形的行李箱，箱盖打开后，盖子的一端靠在墙上，此时BC=10cm，箱底端点E与墙角G的距离为65cm，∠DCG=60°．（1）箱盖绕点A转过的角度为______，点B到墙面的距离为______cm；（2）求箱子的宽EF（结果保留整数，可用科学计算器）．（参考数据：d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png
91a24814efa2661939c57367281c819c.png
25. 如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（
65ebe73c520528b6825b8ff4002086d7.png
d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png
ad4c7cf771fd773ba43dfa9638377d56.png
26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx-
91a24814efa2661939c57367281c819c.png
27. 正方形ABCD的边长为1，点O是BC边上的一个动点（与B，C不重合），以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON=90°（1）当OM经过点A时，①请直接填空：ON______（可能，不可能）过D点：（图1仅供分析）②如图2，在ON上截取OE=OA，过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EH⊥CD于H，求证：四边形EFCH为正方形；③如图2，将②中的已知与结论互换，即在ON上取点E（E点在正方形ABCD外部），过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EH⊥CD于H，若四边形EFCH为正方形，那么OE与OA是否相等？请说明理由；（2）当点O在射线BC上且OM不过点A时，设OM交边AB于G，且OG=2．在ON上存在点P，过P点作PK垂直于直线BC，垂足为点K，使得S△PKO=eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png
答案和解析
1.【答案】B【解析】
解：2的算术平方根是，故选：B．根据算术平方根的定义直接解答即可．本题考查的是算术平方根的定义，即一个数正的平方根叫这个数的算术平方根．
2.【答案】C【解析】
解：A、a3•a3=a6，故此选项错误； B、a3+a3=2a3，故此选项错误； C、（a3）2=a6，正确； D、a6•a2=a8，故此选项错误． 故选：C．分别利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算、合并同类项法则判断得出答案．此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
3.【答案】D【解析】
解：将180000用科学记数法表示为1.8×105， 故选：D．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】A【解析】
解：从左边看得到的是两个叠在一起的正方形． 故选：A．左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．此题考查了简单几何体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．
5.【答案】A【解析】
解：观察表格，可知这组样本数据的平均数为：（0×4+1×12+2×16+3×17+4×1）÷50=；∵这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是3；∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，∴这组数据的中位数为2，故选：A．先根据表格提示的数据得出50名学生读书的册数，然后除以50即可求出平均数；在这组样本数据中，3出现的次数最多，所以求出了众数；将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，从而求出中位数是2，根据方差公式即可得出答案．本题考查的知识点有：用样本估计总体、众数、方差以及中位数的知识，解题的关键是牢记概念及公式．
6.【答案】C【解析】
解：设该店销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2（1+x）万元，三月份销售额为2（1+x）2万元， 由题意可得：2（1+x）2=4.5， 解得：x1=0.5=50%，x2=-2.5（不合题意舍去）， 答：该店销售额平均每月的增长率为50%； 故选：C．设每月增长率为x，据题意可知：三月份销售额为2（1+x）2万元，依此等量关系列出方程，求解即可．本题考查了一元二次方程的应用；解题的关键在于理解清楚题目的意思，根据条件找出等量关系，列出方程求解．本题需注意根据题意分别列出二、三月份销售额的代数式．
7.【答案】D【解析】
解：过点P作PE⊥y轴于点E∵四边形ABCD为平行四边形∴AB=CD又∵BD⊥x轴∴ABDO为矩形∴AB=DO∴S矩形ABDO=S▱ABCD=6∵P为对角线交点，PE⊥y轴∴四边形PDOE为矩形面积为3即DO•EO=3∴设P点坐标为（x，y）k=xy=-3故选：D．由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，在得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．本题考查了反比例函数k的几何意义以及平行四边形的性质，理解等底等高的平行四边形与矩形面积相等是解题的关键．
8.【答案】D【解析】
解：连接AC、BD、OE，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AM=CM，BM=DM，∵⊙O与边AB、AD都相切，∴点O在AC上，设AM=x，BM=y，∵∠BAD＜90°，∴x＞y，由勾股定理得，x2+y2=25，∵菱形ABCD的面积为20，∴
xy=5，
，解得，x=2
，y=
，∵⊙O与边AB相切，∴∠OEA=90°，∵∠OEA=∠BMA，∠OAE=∠BAM，∴△AOE∽△ABM，∴
=
，即
=
，解得，OE=
，故选：D．连接AC、BD、OE，根据菱形的性质、勾股定理分别求出AM、BM，根据切线的性质得到∠OEA=90°，证明△AOE∽△ABM，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是切线的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
9.【答案】5【解析】
解：-5的相反数是5． 故答案为：5．根据相反数的定义直接求得结果．本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
10.【答案】（2a-1）2【解析】
解：4a2-4a+1=（2a-1）2． 故答案为：（2a-1）2．根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，本题可用完全平方公式分解因式．本题考查用完全平方公式法进行因式分解，能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点需熟练掌握．
11.【答案】x≥2【解析】
解：由题意得：x-2≥0， 解得：x≥2， 故答案为：x≥2．根据二次根式有意义的条件可得x-2≥0，再解即可．此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
12.【答案】30【解析】
解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD， ∴∠BOD=45°， ∴∠AOD=∠BOD-∠AOB=45°-15°=30°． 故答案为：30．根据旋转的性质可得∠BOD，再根据∠AOD=∠BOD-∠AOB计算即可得解．本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转角的概念，需熟记．
13.【答案】93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png
解：∵∠BOC=2∠AOC，∠BOC+∠AOC=180°，∴∠AOC=60°，∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴OA=3，∴的长度=
=π，∴圆锥底面圆的半径=
，故答案为：
．根据平角的定义得到∠AOC=60°，推出△AOC是等边三角形，得到OA=3，根据弧长的规定得到
的长度=
=π，于是得到结论．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14.【答案】-40【解析】
解：根据题意得x+32=x，解得x=-40．故答案是：-40．根据题意得
x+32=x，解方程即可求得x的值．本题考查了函数的关系式，根据摄氏度数值与华氏度数值恰好相等转化为解方程问题是关键．
15.【答案】（2+291a24814efa2661939c57367281c819c.png
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC，∵DP⊥BC，∴∠BPD=90°，∵PB=4cm，∴BD=8cm，PD=4
cm，∵把等边△A BC沿着D E折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，∴AD=PD=4
cm，∠DPE=∠A=60°，∴AB=（8+4
）cm，∴BC=（8+4
）cm，∴PC=BC-BP=（4+4
）cm，∵∠EPC=180°-90°-60°=30°，∴∠PEC=90°，∴CE=
PC=（2+2
）cm，故答案为：2+2
．根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC，根据直角三角形的性质得到BD=8cm，PD=4
cm，根据折叠的性质得到AD=PD=4
cm，∠DPE=∠A=60°，解直角三角形即可得到结论．本题考查了翻折变换-折叠问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
16.【答案】aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png
解：延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，∵DE平分△ABC的周长，∴ME=EB，又AD=DB，∴DE=
AM，DE∥AM，∵∠ACB=60°，∴∠ACM=120°，∵CM=CA，∴∠ACN=60°，AN=MN，∴AN=AC•sin∠ACN=
，∴AM=
，∴DE=
，故答案为：
．延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME=EB，根据三角形中位线定理得到DE=
AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可．本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：原式=6-8+1=-1．【解析】
直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：ae3207b12a0cdf38e39504c5d9e2e98d.png
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根据分式的减法和除法可以解答本题．本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
19.【答案】eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png
解：（1）画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果数为1，所以小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率=
；故答案为
（2）画树状图为：
共有8种等可能的结果数，其中他们三人在同一个半天去游玩的结果数为2，所以他们三人在同一个半天去游玩的概率=
．（1）画树状图展示所有4种等可能的结果数，找出小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果数，然后根据概率公式求解；（2）画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
20.【答案】解：解不等式2x＞1-x，得：x＞7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png
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分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21.【答案】200 12 36 108【解析】
解：（1）∵44÷22%=200（名）∴该调查的样本容量为200；a=24÷200=12%，b=72÷200=36%，“常常”对应扇形的圆心角为：360°×30%=108°．（2）200×30%=60（名）．（3）∵3200×36%=1152（名）∴“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有1152名．故答案为：200、12、36、108．（1）首先用“有时”对错题进行整理、分析、改正的学生的人数除以22%，求出该调查的样本容量为多少；然后分别用很少、总是“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”的人数除以样本容量，求出a、b的值各是多少；最后根据“常常”对应的人数的百分比是30%，求出“常常”对应扇形的圆心角为多少即可．（2）求出常常“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”的人数，补全条形统计图即可．（3）用该校学生的人数乘“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生占的百分率即可．此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22.【答案】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D=90°，∠BAC=∠DCA．由翻折的性质可知：∠EAB=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png
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（1）首先证明△ABE≌△CDF，则DF=BE，然后可得到AF=EC，依据一组对边平行且相等四边形是平行四边形可证明AECF是平行四边形； （2）由折叠性质得到∠BAE=∠CAE=30°，求得∠ACE=90°-30°=60°，即∠CAE=∠ACE，得到EA=EC，于是得到结论．本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，折叠的性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理和勾股定理等，综合运用各定理是解答此题的关键．
23.【答案】240【解析】
解：（1）观察图象可知：当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为240元．故答案为240．（2）∵3600÷240=15，3600÷150=24，∴收费标准在BC段，设直线BC的解析式为y=kx+b，则有，解得
，∴y=-6x+300，由题意（-6x+300）x=3600，解得x=20或30（舍弃）答：参加这次旅游的人数是20人．（1）观察图象即可解决问题；（2）首先判断收费标准在BC段，求出直线BC的解析式，列出方程即可解决问题．本题考查一次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，读懂图象信息，用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
24.【答案】150° 5【解析】
解：（1）如图，过点B作BH⊥CG于H，过点D作CG的垂线MN交AF于M，交HG于N．∵∠DCG=60°，∴∠CDN=30°．又∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠BCD=90°，∴∠MAD=∠CDN=30°（同角的余角相等），∴箱盖绕点A转过的角度为：360°-90°-30°-90°=150°．在直角△BCH中，∠BCH=30°，BC=10cm，则BH=
BC=5cm．故答案是：150°；5；（2）在直角△AMD中，AD=BC=10cm，∠MAD=30°，则MD=AD•sin30°=
×10=5（cm）．∵∠DCN=30°，∴cos∠DCN=cos30°=
=
，即
=
，解得EF=32.4．即箱子的宽EF是32.4cm．（1）如图，过点B作BH⊥CG于H，过点D作CG的垂线MN交AF于M，交HG于N．利用矩形的性质、直角三角形的性质以及等角的余角相等得到∠MAD=30°，根据周角的定义易求箱盖绕点A转过的角度；通过解直角△BHC来求BH的长度；（2）通过解直角△AMD得到线段MD的长度，则DN=65-EF-DM，利用解直角△DCN来求CD的长度，即EF的长度即可．本题考查了解直角三角形的应用．主要是余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
25.【答案】解：（1）∵点A（65ebe73c520528b6825b8ff4002086d7.png
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（3）如图，过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA于点F，即AE是切线，∵在Rt△AOB中，tan∠OAB=
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（1）由点A（，0）与点B（0，-
），可求得线段AB的长，然后由∠AOB=90°，可得AB是直径，继而求得⊙M的半径；（2）由圆周角定理可得：∠COD=∠ABC，又由∠COD=∠CBO，即可得BD平分∠ABO；（3）首先过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA于点F，易得△AEC是等边三角形，继而求得EF与AF的长，则可求得点E的坐标．此题属于圆的综合题，考查了勾股定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
26.【答案】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx-91a24814efa2661939c57367281c819c.png
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理由：当AM1⊥AB时，如右图1所示，∵点A（-1，0），点B（0，-
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由题意知，AB=2，∠BAF=∠ABO=30°，∠AFB=120°，∴以F为圆心，AF长为半径作圆交对称轴于点M和M′点，则∠AMB=∠AM′B=
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（1）根据二次函数y=ax2+bx-的图象经过点A（-1，0）、C（2，0），可以求得该函数的解析式，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标；（2）①根据题意，画出相应的图形，然后利用分类讨论的方法即可求得点M的坐标；②根据题意，构造一个圆，然后根据圆周角与圆心角的关系和∠AMB不小于60°，即可求得t的取值范围．本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用分类讨论和数形结合的思想解答．
27.【答案】不可能【解析】
解：（1）①若ON过点D，则OA＞AB，OD＞CD，∴OA2＞AD2，OD2＞AD2，∴OA2+OD2＞2AD2≠AD2，∴∠AOD≠90°，这与∠MON=90°矛盾，∴ON不可能过D点，故答案为：不可能；②如图2中，∵EH⊥CD，EF⊥BC，∴∠EHC=∠EFC=90°，且∠HCF=90°，∴四边形EFCH为矩形，∵∠MON=90°，∴∠EOF=90°-∠AOB，在正方形ABCD中，∠BAO=90°-∠AOB，∴∠EOF=∠BAO，在△OFE和△ABO中，，∴△OFE≌△ABO（AAS），∴EF=OB，OF=AB，又OF=CF+OC=AB=BC=BO+OC=EF+OC，∴CF=EF，∴四边形EFCH为正方形；③结论：OA=OE．理由：如图2-1中，连接EC，在BA上取一点Q，使得BQ=BO，连接OQ．
∵AB=BC，BQ=BO，∴AQ=QC，∵∠QAO=∠EOC，∠AQO=∠ECO=135°，∴△AQO≌△OCE（ASA），∴AO=OE．（2）
∵∠POK=∠OGB，∠PKO=∠OBG，∴△PKO∽△OBG，∵S△PKO=
S△OBG，∴
=（
）2=
，∴OP=1，∴S△POG=
OG•OP=
×1×2=1，设OB=a，BG=b，则a2+b2=OG2=4，∴b=
，∴S△OBG=
ab=
a
=
=
，∴当a2=2时，△OBG有最大值1，此时S△PKO=
S△OBG=
，∴四边形PKBG的最大面积为1+1+
=
．∴当BO为
时，四边形PKBG的面积最大，最大面积为
．（1）①若ON过点D时，则在△OAD中不满足勾股定理，可知不可能过D点；②由条件可先判业四边形EFCH为矩形，再证明△OFE≌△ABO，可证得结论；③结论：OA=OE．如图2-1中，连接EC，在BA上取一点Q，使得BQ=BO，连接OQ．证明△AQO≌△OCE（ASA）即可．（2）由条件可证明△PKO∽△OBG，利用相似三角形的性质可求得OP=2，可求得△POG面积为定值及△PKO和△OBG的关系，只要△CGB的面积有最大值时，则四边形PKBG的面积就最大，设OB=a，BG=b，由勾股定理可用b表示出a，则可用a表示出△OBG的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值，则可求得四边形PKBG面积的最大值．本题为四边形的综合应用，涉及矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积、二次函数的性质及方程思想等知识．在（1）①中注意反
中学自主招生数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24分）
28. 2的算术平方根是（ ）
A. f9f1a6454b1751458ae4230091f79c53.png
d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png
b11037a7c92d84bc62f27efd18b7705b.png
29. 下列运算正确的是（ ）
A. b08cc5c15924300ee105f38edcd22cd2.png
32c56f9747623982b258044f91ee09f4.png
f8376a75f5bceba0edcc9d54ecd786ae.png
126bf442c2ae8f351eca4d5ea3fa4812.png
30. 近两年，中国倡导的“一带一路”为沿线国家创造了约180000个就业岗位，将180000用科学记数法表示为（ ）
A. c97b2ac6cf6fb056392d005040ff6def.png
55a70486b5247eda6219f3e52c755301.png
9096a1ed3aca987e8a582f5224d18a8e.png
9674670a6324a3b309af7db3c2ecf6a0.png
31. 如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（ ）
A. B.
C.
D.
32. 在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动．为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：
关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A. 中位数是2 B. 众数是17 C. 平均数是2 D. 方差是2
33. 某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（ ）
A. a95b98a46ae739145b0a9eba5008e900.png
ae0ce64fc49cd0aa826b50099f869922.png
2496af30b64c3a4ff21e8505ea439a73.png
92546f349e0c4fa4142ac70fd037a458.png
34. 如图，反比例函数y=
e2be3bd7e8b1c90aac67441b70772817.png
A. 596a3d04481816330f07e4f97510c28f.png
47c1b025fa18ea96c33fbb6718688c0f.png
0267aaf632e87a63288a08331f22c7c3.png
b3149ecea4628efd23d2f86e5a723472.png
35. 如图，菱形ABCD的边AB=5，面积为20，∠BAD＜90°，⊙O与边AB、AD都相切，AO=2，则⊙O的半径长等于（ ）
A.
a4dda69bfa64ed22fba6ac6188bc1be2.png
2caf8383a51dc5a80a30f35520848a35.png
46d9f6dacae7199e2c5827b2262e9555.png
6a6f9d220af34df75ca26ecb8d23f3b0.png
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
36. -5的相反数是______．
37. 分解因式：4a2-4a+1=______．
38. 若626d266db7da755174820569e7f2a2ce.png
39. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD=______度．
40. 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AC=3，∠BOC=2∠AOC．若用扇形OAC（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是______．
41. 同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数表达式是y=3d54dca1696bb6b154242be0cf7df28a.png
42. 如图，把等边△ABC沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且DP⊥BC，若BP=4cm，则EC=______cm．
43. 如图，在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是______．
三、计算题（本大题共3小题，共20分）
44. 计算|-6|+（-2）3+（1801cfc88edd59ca7296ac197514e703.png
45. 化简：ae3207b12a0cdf38e39504c5d9e2e98d.png
46. 小明、小刚和小红打算各自随机选择本周日的上午或下午去兴化李中水上森林游玩．（1）小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率为______；（2）求他们三人在同一个半天去游玩的概率．
四、解答题（本大题共8小题，共82分）
47. 解不等式组ef6e072b821df7a2beebb256b17bf035.png
48. 某校随机抽取部分学生，就“学习习惯”进行调查，将“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”（选项为：很少、有时、常常、总是）的调查数据进行了整理，绘制成部分统计图如下：请根据图中信息，解答下列问题（1）该调查的样本容量为______，a=______%，b=______%，“常常”对应扇形的圆心角为______°（2）请你补全条形统计图；（3）若该校共有3200名学生，请你估计其中“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有多少名？
49. 如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）当∠BAE为多少度时，四边形AECF是菱形？请说明理由．
50. 某公司组织员工到附近的景点旅游，根据旅行社提供的收费方案，绘制了如图所示的图象，图中折线ABCD表示人均收费y（元）与参加旅游的人数x（人）之间的函数关系．（1）当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为______元；（2）如果该公司支付给旅行社3600元，那么参加这次旅游的人数是多少？
51. 如图，一种侧面形状为矩形的行李箱，箱盖打开后，盖子的一端靠在墙上，此时BC=10cm，箱底端点E与墙角G的距离为65cm，∠DCG=60°．（1）箱盖绕点A转过的角度为______，点B到墙面的距离为______cm；（2）求箱子的宽EF（结果保留整数，可用科学计算器）．（参考数据：d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png
91a24814efa2661939c57367281c819c.png
52. 如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（
65ebe73c520528b6825b8ff4002086d7.png
d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png
ad4c7cf771fd773ba43dfa9638377d56.png
53. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx-
91a24814efa2661939c57367281c819c.png
54. 正方形ABCD的边长为1，点O是BC边上的一个动点（与B，C不重合），以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON=90°（1）当OM经过点A时，①请直接填空：ON______（可能，不可能）过D点：（图1仅供分析）②如图2，在ON上截取OE=OA，过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EH⊥CD于H，求证：四边形EFCH为正方形；③如图2，将②中的已知与结论互换，即在ON上取点E（E点在正方形ABCD外部），过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EH⊥CD于H，若四边形EFCH为正方形，那么OE与OA是否相等？请说明理由；（2）当点O在射线BC上且OM不过点A时，设OM交边AB于G，且OG=2．在ON上存在点P，过P点作PK垂直于直线BC，垂足为点K，使得S△PKO=eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png
答案和解析
1.【答案】B【解析】
解：2的算术平方根是，故选：B．根据算术平方根的定义直接解答即可．本题考查的是算术平方根的定义，即一个数正的平方根叫这个数的算术平方根．
2.【答案】C【解析】
解：A、a3•a3=a6，故此选项错误； B、a3+a3=2a3，故此选项错误； C、（a3）2=a6，正确； D、a6•a2=a8，故此选项错误． 故选：C．分别利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算、合并同类项法则判断得出答案．此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
3.【答案】D【解析】
解：将180000用科学记数法表示为1.8×105， 故选：D．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】A【解析】
解：从左边看得到的是两个叠在一起的正方形． 故选：A．左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．此题考查了简单几何体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．
5.【答案】A【解析】
解：观察表格，可知这组样本数据的平均数为：（0×4+1×12+2×16+3×17+4×1）÷50=；∵这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是3；∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，∴这组数据的中位数为2，故选：A．先根据表格提示的数据得出50名学生读书的册数，然后除以50即可求出平均数；在这组样本数据中，3出现的次数最多，所以求出了众数；将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，从而求出中位数是2，根据方差公式即可得出答案．本题考查的知识点有：用样本估计总体、众数、方差以及中位数的知识，解题的关键是牢记概念及公式．
6.【答案】C【解析】
解：设该店销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2（1+x）万元，三月份销售额为2（1+x）2万元， 由题意可得：2（1+x）2=4.5， 解得：x1=0.5=50%，x2=-2.5（不合题意舍去）， 答：该店销售额平均每月的增长率为50%； 故选：C．设每月增长率为x，据题意可知：三月份销售额为2（1+x）2万元，依此等量关系列出方程，求解即可．本题考查了一元二次方程的应用；解题的关键在于理解清楚题目的意思，根据条件找出等量关系，列出方程求解．本题需注意根据题意分别列出二、三月份销售额的代数式．
7.【答案】D【解析】
解：过点P作PE⊥y轴于点E∵四边形ABCD为平行四边形∴AB=CD又∵BD⊥x轴∴ABDO为矩形∴AB=DO∴S矩形ABDO=S▱ABCD=6∵P为对角线交点，PE⊥y轴∴四边形PDOE为矩形面积为3即DO•EO=3∴设P点坐标为（x，y）k=xy=-3故选：D．由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，在得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．本题考查了反比例函数k的几何意义以及平行四边形的性质，理解等底等高的平行四边形与矩形面积相等是解题的关键．
8.【答案】D【解析】
解：连接AC、BD、OE，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AM=CM，BM=DM，∵⊙O与边AB、AD都相切，∴点O在AC上，设AM=x，BM=y，∵∠BAD＜90°，∴x＞y，由勾股定理得，x2+y2=25，∵菱形ABCD的面积为20，∴
xy=5，
，解得，x=2
，y=
，∵⊙O与边AB相切，∴∠OEA=90°，∵∠OEA=∠BMA，∠OAE=∠BAM，∴△AOE∽△ABM，∴
=
，即
=
，解得，OE=
，故选：D．连接AC、BD、OE，根据菱形的性质、勾股定理分别求出AM、BM，根据切线的性质得到∠OEA=90°，证明△AOE∽△ABM，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是切线的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
9.【答案】5【解析】
解：-5的相反数是5． 故答案为：5．根据相反数的定义直接求得结果．本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
10.【答案】（2a-1）2【解析】
解：4a2-4a+1=（2a-1）2． 故答案为：（2a-1）2．根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，本题可用完全平方公式分解因式．本题考查用完全平方公式法进行因式分解，能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点需熟练掌握．
11.【答案】x≥2【解析】
解：由题意得：x-2≥0， 解得：x≥2， 故答案为：x≥2．根据二次根式有意义的条件可得x-2≥0，再解即可．此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
12.【答案】30【解析】
解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD， ∴∠BOD=45°， ∴∠AOD=∠BOD-∠AOB=45°-15°=30°． 故答案为：30．根据旋转的性质可得∠BOD，再根据∠AOD=∠BOD-∠AOB计算即可得解．本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转角的概念，需熟记．
13.【答案】93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png
解：∵∠BOC=2∠AOC，∠BOC+∠AOC=180°，∴∠AOC=60°，∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴OA=3，∴的长度=
=π，∴圆锥底面圆的半径=
，故答案为：
．根据平角的定义得到∠AOC=60°，推出△AOC是等边三角形，得到OA=3，根据弧长的规定得到
的长度=
=π，于是得到结论．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14.【答案】-40【解析】
解：根据题意得x+32=x，解得x=-40．故答案是：-40．根据题意得
x+32=x，解方程即可求得x的值．本题考查了函数的关系式，根据摄氏度数值与华氏度数值恰好相等转化为解方程问题是关键．
15.【答案】（2+291a24814efa2661939c57367281c819c.png
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC，∵DP⊥BC，∴∠BPD=90°，∵PB=4cm，∴BD=8cm，PD=4
cm，∵把等边△A BC沿着D E折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，∴AD=PD=4
cm，∠DPE=∠A=60°，∴AB=（8+4
）cm，∴BC=（8+4
）cm，∴PC=BC-BP=（4+4
）cm，∵∠EPC=180°-90°-60°=30°，∴∠PEC=90°，∴CE=
PC=（2+2
）cm，故答案为：2+2
．根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC，根据直角三角形的性质得到BD=8cm，PD=4
cm，根据折叠的性质得到AD=PD=4
cm，∠DPE=∠A=60°，解直角三角形即可得到结论．本题考查了翻折变换-折叠问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
16.【答案】aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png
解：延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，∵DE平分△ABC的周长，∴ME=EB，又AD=DB，∴DE=
AM，DE∥AM，∵∠ACB=60°，∴∠ACM=120°，∵CM=CA，∴∠ACN=60°，AN=MN，∴AN=AC•sin∠ACN=
，∴AM=
，∴DE=
，故答案为：
．延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME=EB，根据三角形中位线定理得到DE=
AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可．本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：原式=6-8+1=-1．【解析】
直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：ae3207b12a0cdf38e39504c5d9e2e98d.png
4eb9c532fe00e18df3f2cd878eeea8a3.png
根据分式的减法和除法可以解答本题．本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
19.【答案】eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png
解：（1）画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果数为1，所以小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率=
；故答案为
（2）画树状图为：
共有8种等可能的结果数，其中他们三人在同一个半天去游玩的结果数为2，所以他们三人在同一个半天去游玩的概率=
．（1）画树状图展示所有4种等可能的结果数，找出小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果数，然后根据概率公式求解；（2）画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
20.【答案】解：解不等式2x＞1-x，得：x＞7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png
6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png
7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png
6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21.【答案】200 12 36 108【解析】
解：（1）∵44÷22%=200（名）∴该调查的样本容量为200；a=24÷200=12%，b=72÷200=36%，“常常”对应扇形的圆心角为：360°×30%=108°．（2）200×30%=60（名）．（3）∵3200×36%=1152（名）∴“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有1152名．故答案为：200、12、36、108．（1）首先用“有时”对错题进行整理、分析、改正的学生的人数除以22%，求出该调查的样本容量为多少；然后分别用很少、总是“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”的人数除以样本容量，求出a、b的值各是多少；最后根据“常常”对应的人数的百分比是30%，求出“常常”对应扇形的圆心角为多少即可．（2）求出常常“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”的人数，补全条形统计图即可．（3）用该校学生的人数乘“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生占的百分率即可．此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22.【答案】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D=90°，∠BAC=∠DCA．由翻折的性质可知：∠EAB=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png
93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png
14ee8d0a11899568fd8fe36bd977f7b9.png
（1）首先证明△ABE≌△CDF，则DF=BE，然后可得到AF=EC，依据一组对边平行且相等四边形是平行四边形可证明AECF是平行四边形； （2）由折叠性质得到∠BAE=∠CAE=30°，求得∠ACE=90°-30°=60°，即∠CAE=∠ACE，得到EA=EC，于是得到结论．本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，折叠的性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理和勾股定理等，综合运用各定理是解答此题的关键．
23.【答案】240【解析】
解：（1）观察图象可知：当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为240元．故答案为240．（2）∵3600÷240=15，3600÷150=24，∴收费标准在BC段，设直线BC的解析式为y=kx+b，则有，解得
，∴y=-6x+300，由题意（-6x+300）x=3600，解得x=20或30（舍弃）答：参加这次旅游的人数是20人．（1）观察图象即可解决问题；（2）首先判断收费标准在BC段，求出直线BC的解析式，列出方程即可解决问题．本题考查一次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，读懂图象信息，用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
24.【答案】150° 5【解析】
解：（1）如图，过点B作BH⊥CG于H，过点D作CG的垂线MN交AF于M，交HG于N．∵∠DCG=60°，∴∠CDN=30°．又∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠BCD=90°，∴∠MAD=∠CDN=30°（同角的余角相等），∴箱盖绕点A转过的角度为：360°-90°-30°-90°=150°．在直角△BCH中，∠BCH=30°，BC=10cm，则BH=
BC=5cm．故答案是：150°；5；（2）在直角△AMD中，AD=BC=10cm，∠MAD=30°，则MD=AD•sin30°=
×10=5（cm）．∵∠DCN=30°，∴cos∠DCN=cos30°=
=
，即
=
，解得EF=32.4．即箱子的宽EF是32.4cm．（1）如图，过点B作BH⊥CG于H，过点D作CG的垂线MN交AF于M，交HG于N．利用矩形的性质、直角三角形的性质以及等角的余角相等得到∠MAD=30°，根据周角的定义易求箱盖绕点A转过的角度；通过解直角△BHC来求BH的长度；（2）通过解直角△AMD得到线段MD的长度，则DN=65-EF-DM，利用解直角△DCN来求CD的长度，即EF的长度即可．本题考查了解直角三角形的应用．主要是余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
25.【答案】解：（1）∵点A（65ebe73c520528b6825b8ff4002086d7.png
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（3）如图，过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA于点F，即AE是切线，∵在Rt△AOB中，tan∠OAB=
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（1）由点A（，0）与点B（0，-
），可求得线段AB的长，然后由∠AOB=90°，可得AB是直径，继而求得⊙M的半径；（2）由圆周角定理可得：∠COD=∠ABC，又由∠COD=∠CBO，即可得BD平分∠ABO；（3）首先过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA于点F，易得△AEC是等边三角形，继而求得EF与AF的长，则可求得点E的坐标．此题属于圆的综合题，考查了勾股定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
26.【答案】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx-91a24814efa2661939c57367281c819c.png
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理由：当AM1⊥AB时，如右图1所示，∵点A（-1，0），点B（0，-
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由题意知，AB=2，∠BAF=∠ABO=30°，∠AFB=120°，∴以F为圆心，AF长为半径作圆交对称轴于点M和M′点，则∠AMB=∠AM′B=
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（1）根据二次函数y=ax2+bx-的图象经过点A（-1，0）、C（2，0），可以求得该函数的解析式，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标；（2）①根据题意，画出相应的图形，然后利用分类讨论的方法即可求得点M的坐标；②根据题意，构造一个圆，然后根据圆周角与圆心角的关系和∠AMB不小于60°，即可求得t的取值范围．本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用分类讨论和数形结合的思想解答．
27.【答案】不可能【解析】
解：（1）①若ON过点D，则OA＞AB，OD＞CD，∴OA2＞AD2，OD2＞AD2，∴OA2+OD2＞2AD2≠AD2，∴∠AOD≠90°，这与∠MON=90°矛盾，∴ON不可能过D点，故答案为：不可能；②如图2中，∵EH⊥CD，EF⊥BC，∴∠EHC=∠EFC=90°，且∠HCF=90°，∴四边形EFCH为矩形，∵∠MON=90°，∴∠EOF=90°-∠AOB，在正方形ABCD中，∠BAO=90°-∠AOB，∴∠EOF=∠BAO，在△OFE和△ABO中，，∴△OFE≌△ABO（AAS），∴EF=OB，OF=AB，又OF=CF+OC=AB=BC=BO+OC=EF+OC，∴CF=EF，∴四边形EFCH为正方形；③结论：OA=OE．理由：如图2-1中，连接EC，在BA上取一点Q，使得BQ=BO，连接OQ．
∵AB=BC，BQ=BO，∴AQ=QC，∵∠QAO=∠EOC，∠AQO=∠ECO=135°，∴△AQO≌△OCE（ASA），∴AO=OE．（2）
∵∠POK=∠OGB，∠PKO=∠OBG，∴△PKO∽△OBG，∵S△PKO=
S△OBG，∴
=（
）2=
，∴OP=1，∴S△POG=
OG•OP=
×1×2=1，设OB=a，BG=b，则a2+b2=OG2=4，∴b=
，∴S△OBG=
ab=
a
=
=
，∴当a2=2时，△OBG有最大值1，此时S△PKO=
S△OBG=
，∴四边形PKBG的最大面积为1+1+
=
．∴当BO为
时，四边形PKBG的面积最大，最大面积为
．（1）①若ON过点D时，则在△OAD中不满足勾股定理，可知不可能过D点；②由条件可先判业四边形EFCH为矩形，再证明△OFE≌△ABO，可证得结论；③结论：OA=OE．如图2-1中，连接EC，在BA上取一点Q，使得BQ=BO，连接OQ．证明△AQO≌△OCE（ASA）即可．（2）由条件可证明△PKO∽△OBG，利用相似三角形的性质可求得OP=2，可求得△POG面积为定值及△PKO和△OBG的关系，只要△CGB的面积有最大值时，则四边形PKBG的面积就最大，设OB=a，BG=b，由勾股定理可用b表示出a，则可用a表示出△OBG的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值，则可求得四边形PKBG面积的最大值．本题为四边形的综合应用，涉及矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积、二次函数的性质及方程思想等知识．在（1）①中注意反
中学自主招生数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的倒数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
2．（3分）如图所示，m和n的大小关系是（ ）
A．m＝n B．m＝1.5n C．m＞n D．m＜n
3．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正方形
4．（3分）据有关部门统计，2019年春节期间，广东各大景点的游客总数约25200000人次，将数25200000用科学记数法表示为（ ）
A．2.52×107 B．2.52×108 C．0.252×107 D．0.252×108
5．（3分）如图，直线l1∥l2，将等边三角形如图放置若∠α＝25°，则∠β等于（ ）
A．35° B．30° C．25° D．20°
6．（3分）某公司销售部有7个职员，他们5月份的工资分别是5300元、5800元、5300元、5500元、5800元、6500元和5800元，那么他们5月份工资的众数是（ ）
A．5300元 B．5500元 C．5800元 D．6500元
7．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，x2+1）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为M（，2），那么cosα的值是（ ）
A． B．
C．
D．
9．（3分）已知代数式a﹣2b+7的值是13，那么代数式2a﹣4b的值是（ ）
A．6 B．12 C．15 D．26
10．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，B＝60°，AD＝2，BC＝8，点P从点B出发沿折线BA﹣AD﹣DC匀速运动，同时，点Q从点B出发沿折线BC﹣CD匀速运动，点P与点Q的速度相同，当二者相遇时，运动停止，设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）因式分解：x2y﹣y3＝ ．
12．（4分）81的平方根等于 ．
13．（4分）不等式组的解集是 ．
14．（4分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣1，0）、C（0，1），将△ABC绕点B顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1，则点A1的坐标为 ．
15．（4分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AC＝4，菱形ABCD的面积为4，E为AD的中点，则OE的长为 ．
16．（4分）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（，0）、B（0，
），以AB为边作正方形ABCB1，延长CB1交x轴于点A1，以A1B1为边作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交x轴于点A2，以A2B2为边作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交x轴于点A3，以A3B3为边作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则△A6B7A7的周长为 ．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）计算：|﹣3|﹣（2019+sin45°）0+﹣1
18．（6分）先化简，再求值：，其中x＝
．
19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8．
（1）作△ABC的内角∠CAB的平分线，与边BC交于点D（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）若AD＝BD，求CD的长度．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20．（7分）某旅游团于早上8：00从某旅行社出发，乘大巴车前往“珠海长隆”旅游，“珠海长隆”离该旅行社有100千米，导游张某因有事情，于8：30从该旅行社自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比该旅游团提前20分钟到达“珠海长隆”．
（1）大巴与小车的平均速度各是多少？
（2）导游张某追上大巴的地点到“珠海长隆”的路程有多远？
21．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，点F在DE的延长线上，且AF＝CE＝AE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B＝30°时，试猜想四边形ACEF是什么图形，并说明理由．
22．（7分）为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查（每人只选一项内容），整理调查结果，绘制统计图如下：
请根据统计图提供的信息回答以下问题：
（1）这一调查属于 （选填“抽样调查”或“普查”），抽取的学生数为 名；
（2）估计喜欢收听易中天《品三国》的学生约占全校学生的 %（精确到小数点后一位）；
（3）已知该校女学生共有1800名，则该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生大约有多少名？
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点．点A的坐标为（m，3），点B与点A关于y＝x成轴对称，tan∠AOC＝
．
（1）求k的值；
（2）直接写出点B的坐标，并求直线AB的解析式；
（3）P是y轴上一点，且S△PBC＝2S△AOB，求点P的坐标．
24．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AO交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作⊙O，⊙O交AO所在的直线于D、E两点（点D在BC左侧）．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）连接CD，若AC＝AD，求tan∠D的值；
（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为5，求AB的长．
25．（9分）如图，在矩形ABCD中，CD＝3cm，BC＝4cm，连接BD，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，直线l垂直BC，分别交BD、BC于点P、Q．直线l从AB出发，以每秒1cm的速度沿BC方向匀速运动到CD为止；点M沿线段DA以每秒1cm的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，直线1与点M同时出发，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）线段CN＝ ；
（2）连接PM和QN，当四边形MPQN为平行四边形时，求t的值；
（3）在整个运动过程中，当t为何值时△PMN的面积取得最大值，最大值是多少？
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的倒数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【分析】利用倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数，进而得出答案．
【解答】解：∵﹣2×（﹣）＝1，
∴﹣的倒数是﹣2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了倒数的定义，正确把握定义是解题关键．
2．（3分）如图所示，m和n的大小关系是（ ）
A．m＝n B．m＝1.5n C．m＞n D．m＜n
【分析】根据数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，可得：m＞n．
【解答】解：根据图示，可得：m＞0＞n，
∴m＞n．
故选：C．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，以及在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．
3．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正方形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．（3分）据有关部门统计，2019年春节期间，广东各大景点的游客总数约25200000人次，将数25200000用科学记数法表示为（ ）
A．2.52×107 B．2.52×108 C．0.252×107 D．0.252×108
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：25200000＝2.52×107．
故选：A．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
5．（3分）如图，直线l1∥l2，将等边三角形如图放置若∠α＝25°，则∠β等于（ ）
A．35° B．30° C．25° D．20°
【分析】过点B作BD∥l1，如图，根据平行线的性质可得∠ABD＝∠β．根据平行线的传递性可得BD∥l2，从而得到∠DBC＝∠α＝35°．再根据等边△ABC可得到∠ABC＝60°，就可求出∠DBC，从而解决问题．
【解答】解：过点B作BD∥l1，如图，
则∠ABD＝∠β．
∵l1∥l2，
∴BD∥l2，
∵∠DBC＝∠α＝35°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠β＝∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝60°﹣25°＝35°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质、平行线的传递性、等边三角形的性质等知识，当然也可延长BA与l2交于点E，运用平行线的性质及三角形外角的性质解决问题．
6．（3分）某公司销售部有7个职员，他们5月份的工资分别是5300元、5800元、5300元、5500元、5800元、6500元和5800元，那么他们5月份工资的众数是（ ）
A．5300元 B．5500元 C．5800元 D．6500元
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数．
【解答】解：他们5月份工资的众数是5800元，
故选：C．
【点评】此题考查了众数，众数是一组数据中出现次数最多的数．
7．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，x2+1）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据非负数的性质确定出点P的纵坐标是正数，然后根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：∵x2≥0，
∴x2+1≥1，
∴点P（﹣2，x2+1）在第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为M（，2），那么cosα的值是（ ）
A． B．
C．
D．
【分析】如图，作MH⊥x轴于H．利用勾股定理求出OM，即可解决问题．
【解答】解：如图，作MH⊥x轴于H．
∵M（，2），
∴OH＝，MH＝2，
∴OM＝＝3，
∴cosα＝＝
，
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．（3分）已知代数式a﹣2b+7的值是13，那么代数式2a﹣4b的值是（ ）
A．6 B．12 C．15 D．26
【分析】首先根据a﹣2b+7＝13，求出a﹣2b的值是多少；然后把求出的a﹣2b的值代入，求出代数式2a﹣4b的值是多少即可．
【解答】解：∵a﹣2b+7＝13，
∴a﹣2b＝13﹣7＝6，
∴2a﹣4b＝2（a﹣2b）＝2×6＝12．
故选：B．
【点评】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．
10．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，B＝60°，AD＝2，BC＝8，点P从点B出发沿折线BA﹣AD﹣DC匀速运动，同时，点Q从点B出发沿折线BC﹣CD匀速运动，点P与点Q的速度相同，当二者相遇时，运动停止，设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】①当点P在AB上运动时（0≤x≤6），y＝BQ×BPsinB＝
x2，当x＝6时，y＝9
；②6＜t＜8，y为常数；③当x≥8时，点PC＝6+2+6﹣t＝14﹣t，QC＝t﹣8，则PQ＝22﹣2t，而△BPQ的高常数，即可求解．
【解答】解：由题意得：四边形ABCD为等腰梯形，如下图，分别过点A、D作梯形的高AM、DN交BC于点M、N，
则MN＝AD＝2，BM＝NC＝（BC﹣AD）＝3，
则AB＝2BM＝6，
①当点P在AB上运动时（0≤x≤6），
y＝BQ×BPsinB＝
x2，当x＝6时，y＝9
，
图象中符合条件的有B、D；
②6＜t＜8，y为常数；
③当x≥8时，点PC＝6+2+6﹣t＝14﹣t，QC＝t﹣8，
则PQ＝22﹣2t，
而△BPQ的高常数，故y的表达式为一次函数，
故在B、D中符合条件的为B，
故选：B．
【点评】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、一次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是，要弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）因式分解：x2y﹣y3＝ y（x+y）（x﹣y） ．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
【解答】解：x2y﹣y3＝y（x2﹣y2）＝y（x+y）（x﹣y）．
故答案为y（x+y）（x﹣y）
【点评】本题考查因式分解﹣提公因式法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，属于中考常考题型、
12．（4分）81的平方根等于 ±9 ．
【分析】一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，据此求解即可．
【解答】解：81的平方根等于：±＝±9．
故答案为：±9．
【点评】此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
13．（4分）不等式组的解集是 2＜x≤3 ．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解：解不等式x﹣1＞1，得：x＞2，
解不等式3+2x≥4x﹣3，得：x≤3，
所以不等式组的解集为2＜x≤3，
故答案为：2＜x≤3．
【点评】本题考查了不等式组的解法，求不等式组中每个不等式的解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
14．（4分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣1，0）、C（0，1），将△ABC绕点B顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1，则点A1的坐标为 （2，1） ．
【分析】正确画出图形解决问题即可．
【解答】解：观察图象可知：点A1的坐标为（2，1）．
故答案为（2，1）．
【点评】本题考查坐标与图形变化的性质，解题的关键是理解题意，学会正确画出图形解决问题．
15．（4分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AC＝4，菱形ABCD的面积为4，E为AD的中点，则OE的长为
．
【分析】直接利用菱形的面积和性质得出AO，DO的长，再利用勾股定理得出菱形的边长，进而利用直角三角形中线的性质得出答案．
【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝4，菱形ABCD的面积为4，
∴AO＝2，DO＝，∠AOD＝90°，
∴AD＝3，
∵E为AD的中点，
∴OE的长为：AD＝
．
故答案为：
【点评】此题主要考查了菱形的性质，正确得出AD的长是解题关键．
16．（4分）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（，0）、B（0，
），以AB为边作正方形ABCB1，延长CB1交x轴于点A1，以A1B1为边作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交x轴于点A2，以A2B2为边作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交x轴于点A3，以A3B3为边作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则△A6B7A7的周长为 27（3+
） ．
【分析】利用相似三角形的性质，探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：由题意：A1B1∥A2B2，
∴∠AA1B1＝∠A1A2B2，
∵∠AB1A1＝∠A1B2A2＝90°，
∴△AB1C1∽△A1B2C2，
∴＝
，
∵△AB1A1的周长为3+，△A1B2A2的周长为（3+
）•
，△A2B3A3的周长为（3+
）•（
）2，…，△AnBn+1An+1的周长为（3+
）•（
）n，
∴△A6B7A7的周长为（3+）•（
）6＝27（3+
）．
故答案为：27（3+）．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，规律型问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）计算：|﹣3|﹣（2019+sin45°）0+﹣1
【分析】直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣1﹣3
＝﹣1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．（6分）先化简，再求值：，其中x＝
．
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
＝
＝2x，
当x＝时，原式＝2（
﹣1）＝2
﹣2．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8．
（1）作△ABC的内角∠CAB的平分线，与边BC交于点D（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）若AD＝BD，求CD的长度．
【分析】（1）利用基本作图作∠BAC的平分线；
（2）利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAD＝∠B＝30°，在Rt△ACB中利用含30度的直角三角形三边的关系得到AC＝4，然后在Rt△ACD中求CD．
【解答】解：（1）如图，AD为所作；
（2）∵AD＝BD，
∴∠DAB＝∠B，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB＝∠CAD，
∴∠DAB＝∠CAD＝∠B，
而∠DAB+∠CAD+∠B＝90°，
∴∠CAD＝∠B＝30°，
在Rt△ACB中，AC＝AB＝4，
在Rt△ACD中，tan∠CAD＝，
∴CD＝4tan30°＝4×＝
．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平分线的性质．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20．（7分）某旅游团于早上8：00从某旅行社出发，乘大巴车前往“珠海长隆”旅游，“珠海长隆”离该旅行社有100千米，导游张某因有事情，于8：30从该旅行社自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比该旅游团提前20分钟到达“珠海长隆”．
（1）大巴与小车的平均速度各是多少？
（2）导游张某追上大巴的地点到“珠海长隆”的路程有多远？
【分析】（1）设大巴的平均速度为x千米/时，则小车的平均速度为1.5x千米/时，根据题意列出方程，求出方程的解得到结果；
（2）设导游张某追上大巴的地点到“珠海长隆”的路程为y千米，根据题意列出方程，求出方程的解得到结果．
【解答】解：（1）设大巴的平均速度为x千米/时，则小车的平均速度为1.5x千米/时，
根据题意得：＝
+
+
，
解得：x＝40，
经检验x＝40是分式方程的解，且1.5×40＝60，
则大巴与小车的平均速度各是40千米/时，60千米/时；
（2）设导游张某追上大巴的地点到“珠海长隆”的路程为y千米，
由题意得：＝
+
，
解得：y＝40，
经检验y＝40是分式方程的解，且符合题意，
则导游张某追上大巴的地点到“珠海长隆”的路程有40千米．
【点评】此题考查了分式方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
21．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，点F在DE的延长线上，且AF＝CE＝AE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B＝30°时，试猜想四边形ACEF是什么图形，并说明理由．
【分析】（1）易知DE是△ABC的中位线，则FE∥AC，BE＝EA＝CE＝AF；因此△AFE、△AEC都是等腰三角形，可得∠F＝∠5＝∠1＝∠2，即∠FAE＝∠AEC，由此可证得AF∥EC，即可得出结论；
（2）证出AC＝CE，即可得出结论．
【解答】（1）证明：四边形ACEF是平行四边形；
∵DE垂直平分BC，
∴D为BC的中点，ED⊥BC，
又∵AC⊥BC，
∴ED∥AC，
∴E为AB中点，
∴ED是△ABC的中位线．
∴BE＝AE，FD∥AC．
∴BD＝CD，
∴Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，
∴CE＝AE＝AF．
∴∠F＝∠5＝∠1＝∠2．
∴∠FAE＝∠AEC．
∴AF∥EC．
又∵AF＝EC，
∴四边形ACEF是平行四边形；
（2）解：当∠B＝30°时，四边形ACEF为菱形；
理由：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB，
由（1）知CE＝AB，
∴AC＝CE
又∵四边形ACEF为平行四边形
∴四边形ACEF为菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，垂直平分线的性质，本题中熟练掌握含30°的直角三角形的性质是解题的关键．
22．（7分）为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查（每人只选一项内容），整理调查结果，绘制统计图如下：
请根据统计图提供的信息回答以下问题：
（1）这一调查属于 抽样调查 （选填“抽样调查”或“普查”），抽取的学生数为 300 名；
（2）估计喜欢收听易中天《品三国》的学生约占全校学生的 35.3 %（精确到小数点后一位）；
（3）已知该校女学生共有1800名，则该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生大约有多少名？
【分析】（1）男女生所有人数之和；
（2）听品三国的学生生人数除以总人数．
（3）求出抽取的样本中收听品红楼梦的女学生所占的比例，乘1800即可求解；
【解答】解：（1）这一调查属于抽样调查，
抽查的人数为：20+10+30+15+30+38+64+42+6+45＝300人；
故答案为：抽样调查，300；
（2）（64+42）÷300≈35.3%；
故答案为：35.3；
（3）×1800＝540人
该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生大约有540名．
【点评】本题考查条形统计图、用样本估计总体以及从统计表中获取信息的能力，及统计中用样本估计总体的思想．
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点．点A的坐标为（m，3），点B与点A关于y＝x成轴对称，tan∠AOC＝
．
（1）求k的值；
（2）直接写出点B的坐标，并求直线AB的解析式；
（3）P是y轴上一点，且S△PBC＝2S△AOB，求点P的坐标．
【分析】（1）作AD⊥y轴于D，根据正切函数，可得AD的长，得到A的坐标，根据待定系数法，可得k的值；
（2）根据题意即可求得B点的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（3）先根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC求得△AOB的面积为4，然后设P（0，t），得出S△PBC＝|t﹣2|×3＝
|t﹣2|，由S△PBC＝2S△AOB列出关于t的方程，解得即可．
【解答】解：（1）作AD⊥y轴于D，
∵点A的坐标为（m，3），
∴OD＝3，
∵tan∠AOC＝．
∴＝
，即
＝
，
∴AD＝1，
∴A（﹣1，3），
∵在反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象上，
∴k＝﹣1×3＝﹣3；
（2）∵点B与点A关于y＝x成轴对称，
∴B（3，﹣1），
∵A、B在一次函数y＝ax+b的图象上，
∴，解得
，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2；
（3）连接OC，
由直线AB为y＝﹣x+2可知，C（0，2），
∵S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×2×1+
×2×3＝4，
∵P是y轴上一点，
∴设P（0，t），
∴S△PBC＝|t﹣2|×3＝
|t﹣2|，
∵S△PBC＝2S△AOB，
∴|t﹣2|＝2×4，
∴t＝或t＝﹣
，
∴P点的坐标为（0，）或（0，﹣
）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，利用待定系数法是解题关键．
24．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AO交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作⊙O，⊙O交AO所在的直线于D、E两点（点D在BC左侧）．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）连接CD，若AC＝AD，求tan∠D的值；
（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为5，求AB的长．
【分析】（1）过点O作OF⊥AB，由角平分线到性质可得OC＝OF，即可证AB是⊙O的切线；
（2）通过证明△ACE∽△ADC，可得＝
＝
，即可求tan∠D的值；
（3）由相似三角形的性质可得，即可求AD＝18，AC＝12＝AF，通过证明△OBF∽△ABC，可得
，可得关于OB，BF的方程组，即可求BF的长，即可求AB的长．
【解答】证明：（1）如图，过点O作OF⊥AB，
∵AO平分∠BAC，OF⊥AB，∠ACB＝90°
∴OC＝OF，
∴OF为⊙O半径，且OF⊥AB
∴AB是⊙O切线．
（2）连接CE
∵DE是直径
∴∠DCE＝90°
∵∠ACB＝90°
∴∠DCE＝∠ACB
∴∠DCO＝∠ACE
∵OC＝OD
∴∠D＝∠DCO
∴∠ACE＝∠D，且∠A＝∠A
∴△ACE∽△ADC
∴＝
＝
∴tan∠D＝
（3）∵△ACE∽△ADC
∴
∴AC2＝AD（AD﹣10），且AC＝AD
∴AD＝18
∴AC＝12
∵AO＝AO，OC＝OF
∴Rt△AOF≌Rt△AOC（HL）
∴AF＝AC＝12
∵∠B＝∠B，∠OFB＝∠ACB＝90°
∴△OBF∽△ABC
∴
即
∴
∴BF＝
∴AB＝FA+BF＝12+
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用方程的思想求BF的长度是本题的关键．
25．（9分）如图，在矩形ABCD中，CD＝3cm，BC＝4cm，连接BD，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，直线l垂直BC，分别交BD、BC于点P、Q．直线l从AB出发，以每秒1cm的速度沿BC方向匀速运动到CD为止；点M沿线段DA以每秒1cm的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，直线1与点M同时出发，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）线段CN＝ ；
（2）连接PM和QN，当四边形MPQN为平行四边形时，求t的值；
（3）在整个运动过程中，当t为何值时△PMN的面积取得最大值，最大值是多少？
【分析】（1）由矩形的性质和勾股定理可求BD的长，由三角形的面积公式可求CN的长；
（2）由勾股定理可求DN的长，通过证明△DMN∽△DAB，可得，可得DM的值，即可求t的值；
（3）分两种情况讨论，利用三角形面积公式列出△PMN的面积与t的关系式，可求△PMN的面积的最大值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴BC＝AD＝4cm，∠BCD＝90°＝∠A，
∴BD＝＝5cm，
∵S△BCD＝BC×CD＝
×BD×CN
∴CN＝
故答案为：
（2）在Rt△CDN中，DN＝＝
∵四边形MPQN为平行四边形时
∴PQ∥MN，且PQ⊥BC，AD∥BC
∴MN⊥AD
∴MN∥AB
∴△DMN∽△DAB
∴
即
∴DM＝cm
∴t＝s
（3）∵BD＝5，DN＝
∴BN＝
如图，过点M作MH⊥BD于点H，
∵sin∠MDH＝sin∠BDA＝
∴
∴MH＝t
当0＜t＜
∵BQ＝t，
∴BP＝t，
∴PN＝BD﹣BP﹣DN＝5﹣﹣
t＝
﹣
t
∴S△PMN＝×PN×MH＝
×
t×（
﹣
t）＝﹣
t2+
t
∴当t＝s时，S△PMN有最大值，且最大值为
，
当t＝s时，点P与点N重合，点P，点N，点M不构成三角形；
当＜t≤4时，如图，
∴PN＝BP﹣BN＝t﹣
∴S△PMN＝×PN×MH＝
×
t×（
t﹣
）＝
t2﹣
t
当＜t≤4时，S△PMN随t的增大而增大，
∴当t＝4时，S△PMN最大值为，
∵＞
∴综上所述：t＝4时，△PMN的面积取得最大值，最大值为．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题关键．
中学自主招生数学试卷
一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列实数为无理数的是（ ）
A． B．
C．
D．0
2．（3分）2019年“五一”小长假有四天假期，长沙市共接待游客356万人次，称为新晋“网红城市”，356万人用科学记数法表示为（ ）
A．3.56×106人 B．35.6×105人
C．3.6×105人 D．0.356×107人
3．（3分）下列各式正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．2a2+2a3＝2a5
C． D．（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
4．（3分）下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）在下列说法中不正确的是（ ）
A．两条对角线互相垂直的矩形是正方形
B．两条对角线相等的菱形是正方形
C．两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
D．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形
6．（3分）如图是一个由6个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）已知一次函数y＝（3﹣a）x+3，如果y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围为（ ）
A．a＜3 B．a＞3 C．a＜﹣3 D．a＞﹣3．
9．（3分）将抛物线y＝5x2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，所得的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝5（x+3）2+2 B．y＝5（x+3）2﹣2
C．y＝5（x﹣3）2+2 D．y＝5（x﹣3）2﹣2
10．（3分）如图，已知CA、CB分别与⊙O相切于A、B两点，D是⊙O上的一点，连接AD、BD，若∠C＝56°，则∠D等于（ ）
A．72° B．68° C．64° D．62°
11．（3分）如图，考古队在A处测得古塔BC顶端C的仰角为45°，斜坡AD长10米，坡度i＝3：4，BD长12米，请问古塔BC的高度为（ ）米．
A．25.5 B．26 C．28.5 D．20.5
12．（3分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F、E分别以相同的速度从D、C两点同时出发向C、B运动（任何一个点到达即停止），BF、AE交于点P，连接CP，则线段CP的最小值为（ ）
A． B．
C．
D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）分解因式：3a2﹣12＝ ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心．位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0），则点E的坐标是 ．
15．（3分）在不透明的盒子中装有6个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则白色棋子的个数是 ．
16．（3分）小红需要用扇形薄纸板制作成底面半径为9厘米，高为12厘米的圆锥形生日帽，如图所示，则该扇形薄纸板的圆心角为 ．
17．（3分）如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为 ．
18．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，AC与DE相交于点F，若CE＝2EB，S△AFD＝27，则三角形ACD的面积等于 ．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：﹣2sin45°+|
|﹣（
）﹣2+（
）0．
20．（6分）先化简，然后从﹣2≤a≤2的范围内选取一个你认为合适的整数作为a的值代入求值．
21．（8分）某校为了解全校2400名学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查．问卷给出了五种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选．将调查得到的结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）
（1）这次调查中，一共抽取了 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）估计全校所有学生中有多少人乘坐公交车上学？
（4）小明在上学的路上要经过2个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互独立的，求小明在上学路上到第二个路口时第二次遇到红灯的概率，（请用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程）
22．（8分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD的垂直平分线分别交AC、DC、BC于点E、F、G，连接DE、DG．
（1）求证：四边形DGCE是菱形；
（2）若∠DGB＝60°，GC＝4，求菱形DGCE的面积．
23．（9分）某工厂，甲负责加工A型零件，乙负责加工B型零件．已知甲加工60个A型零件所用时间和乙加工80个B型零件所用时间相同，每天甲、乙两人共加工两种零件35个，设甲每天加工x个A型零件．
（1）求甲、乙每天各加工多少个零件；（列分式方程解应用题）
（2）根据市场预测估计，加工A型零件所获得的利润为m元/件（3≤m≤5），加工B型零件所获得的利润每件比A型少1元．求每天甲、乙加工两种零件所获得的总利润y（元）与m（元/件）的函数关系式，并求总利润y的最大值和最小值．
24．（9分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H连接C．过弧BD上一点，过E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）求证：GF2＝GD•GC；
（3）延长AB交GE的延长线于点M．若tanG＝，HC＝4
，求EM的值．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，顶点A在第二象限，B，C两点在x轴的负半轴上（点C在点B的右侧），BC＝2，△ACD与△ABC关于AC所在的直线对称．
（1）当OC＝2时，求点D的坐标；
（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OC的长；
（3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向左平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y＝（k≠0）的图象与BA的延长线交千点P，问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．
26．（10分）在平面直角坐标系中，若点A、C同时在某函数的图象上（点A在点C的左侧），以AC为对角线作矩形ABCD，若矩形ABCD的各边都分别与坐标轴乘直，则称矩形ABCD为该函数图象的“雅垂矩形”，如图1，矩形ABCD为直线l的“雅垂矩形”
（1）若某正比例函数图象的“雅垂矩形”的两邻边比为1：4，则下列函数：①y＝4x；②y＝﹣4x；③y＝2x；④y＝x中，符合条件的是 （只填写序号）
（2）若二次函数y＝x2﹣2x图象的“雅垂矩形”ABCD的顶点C的横坐标是顶点A横坐标的3倍，设顶点A的横坐标为m（0＜m＜0.5），矩形ABCD的周长为L，求L的最大值．
（3）若二次函数y＝x2﹣2nx的图象的“雅垂矩形”ABCD的顶点A、C的横坐标分别为﹣2，1，分别作点A、C关于此二次函数图象对称轴的对称点A、C，连接A'C'，是否存在这样的一个n，使得线段A'C'将矩形ABCD两部分图形的面积比为2：7的两部分？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列实数为无理数的是（ ）
A． B．
C．
D．0
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、＝2是整数，是有理数，故选项不符合题意；
B、是分数，是有理数，故选项不符合题意；
C、是无理数，故选项符合题意；
D、0是整数，是有理数，故选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（3分）2019年“五一”小长假有四天假期，长沙市共接待游客356万人次，称为新晋“网红城市”，356万人用科学记数法表示为（ ）
A．3.56×106人 B．35.6×105人
C．3.6×105人 D．0.356×107人
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：356万＝3.56×106．
故选：A．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列各式正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．2a2+2a3＝2a5
C． D．（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝a6，不符合题意；
B、原式不能合并，不符合题意；
C、原式＝a3，不符合题意；
D、原式＝x2﹣1，符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了平方差公式，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
4．（3分）下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5．（3分）在下列说法中不正确的是（ ）
A．两条对角线互相垂直的矩形是正方形
B．两条对角线相等的菱形是正方形
C．两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
D．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形
【分析】根据既是矩形又是菱形的四边形是正方形进行判断．
【解答】解：A、两条对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项不符合题意；
B、两条对角线相等的菱形是正方形，故选项不符合题意；
C、两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项不符合题意；
D、应是两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的判定，通过这道题可以掌握正方形和矩形，菱形的关系．
6．（3分）如图是一个由6个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是3个小正方形，第二层右边2个小正方形，第三层右边2个小正方形，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】求出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
∴不等式组的解集为x＜1，
故选：A．
【点评】此题考查了解一元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（3分）已知一次函数y＝（3﹣a）x+3，如果y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围为（ ）
A．a＜3 B．a＞3 C．a＜﹣3 D．a＞﹣3．
【分析】先根据一次函数的性质得出关于a的不等式，再解不等式即可求出a的取值范围．
【解答】解：∵一次函数y＝（3﹣a）x+3，函数值y随自变量x的增大而增大，
∴3﹣a＞0，解得a＜3．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
9．（3分）将抛物线y＝5x2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，所得的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝5（x+3）2+2 B．y＝5（x+3）2﹣2
C．y＝5（x﹣3）2+2 D．y＝5（x﹣3）2﹣2
【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：∵y＝5x2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的顶点坐标为（3，2），
∴所得的抛物线的解析式为y＝5（x﹣3）2+2．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式求解更简便．
10．（3分）如图，已知CA、CB分别与⊙O相切于A、B两点，D是⊙O上的一点，连接AD、BD，若∠C＝56°，则∠D等于（ ）
A．72° B．68° C．64° D．62°
【分析】连接OA，OB．根据圆周角定理和四边形内角和定理求解即可．
【解答】解：连接OA，OB，
∵CA、CB切⊙O于点A、B，
∴∠CAO＝∠CBO＝90°，
∵∠C＝56°，
∴∠AOB＝360°﹣∠CAO﹣∠CBO﹣∠C＝360°﹣90°﹣90°﹣56°＝124°．
由圆周角定理知，∠D＝∠AOB＝62°，
故选：D．
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、以及四边形的内角和为360度．熟练掌握：圆心与切点的连线垂直切线；过圆心垂直于切线的直线必过切点；过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等等知识是解题的关键．
11．（3分）如图，考古队在A处测得古塔BC顶端C的仰角为45°，斜坡AD长10米，坡度i＝3：4，BD长12米，请问古塔BC的高度为（ ）米．
A．25.5 B．26 C．28.5 D．20.5
【分析】作AE⊥BC，AF⊥BD，由i＝3：4，可设AF＝3x，DF＝4x，结合AD＝10，利用勾股定理可求得x的值，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥BD，交BD延长线于点F，
由i＝3：4，
可设AF＝3x，DF＝4x，
∵AD＝10，
∴9x2+16x2＝100，
解得：x＝2（负值舍去），
则AF＝BE＝6，DF＝8，
∴AE＝DF+BD＝8+12＝20，
∵∠CAE＝45°，
∴CE＝AE＝20，
则BC＝CE+BE＝20+6＝26，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是能根据题意构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
12．（3分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F、E分别以相同的速度从D、C两点同时出发向C、B运动（任何一个点到达即停止），BF、AE交于点P，连接CP，则线段CP的最小值为（ ）
A． B．
C．
D．
【分析】首先判断出△ABE≌△BCF，即可判断出∠BAE＝∠CBF，再根据∠BAE+∠BEA＝90°，可得∠CBF+∠BEA＝90°，所以∠APB＝90°；然后根据点P在运动中保持∠APB＝90°，可得点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，最后在Rt△BCG中，根据勾股定理，求出CG的长度，再求出PG的长度，即可求出线段CP的最小值为多少．
【解答】解：如图，∵动点F，E的速度相同，
∴DF＝CE，
又∵CD＝BC，
∴CF＝BE，
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠APB＝90°，
∵点P在运动中保持∠APB＝90°，
∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，
设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，
在Rt△BCG中，CG＝＝
＝
，
∵PG＝AB＝
，
∴CP＝CG﹣PG＝﹣
＝
，
即线段CP的最小值为 ，
故选：A．
【点评】此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，正方形的性质和应用，直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，解答此题的关键是判断出什么情况下，CP的长度最小．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）分解因式：3a2﹣12＝ 3（a+2）（a﹣2） ．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：3a2﹣12＝3（a+2）（a﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后要继续利用平方差公式进行因式分解，分解因式要彻底，直到不能再分解为止．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心．位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0），则点E的坐标是 （，
） ．
【分析】由题意可得OA：OD＝2：3，又由点A的坐标为（1，0），即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．
【解答】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为2：3，
∴OA：OD＝2：3，
∵点A的坐标为（1，0），
即OA＝1，
∴OD＝，
∵四边形ODEF是正方形，
∴DE＝OD＝．
∴E点的坐标为：（，
）．
故答案是：（，
）．
【点评】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键．
15．（3分）在不透明的盒子中装有6个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则白色棋子的个数是 24 ．
【分析】设盒子中白色棋子有x个，根据概率公式列出关于x的方程，解之可得．
【解答】解：设盒子中白色棋子有x个，
根据题意，得：＝
，
解得：x＝24，
经检验：x＝24是原分式方程的解，
所以白色棋子有24个，
故答案为：24．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（3分）小红需要用扇形薄纸板制作成底面半径为9厘米，高为12厘米的圆锥形生日帽，如图所示，则该扇形薄纸板的圆心角为 216° ．
【分析】利用勾股定理计算出母线长＝15，设该扇形薄纸板的圆心角为n°，利用弧长公式得到2π•9＝，解得n＝216．
【解答】解：母线长＝＝15，
设该扇形薄纸板的圆心角为n°，
所以2π•9＝，解得n＝216，
即该扇形薄纸板的圆心角为216°．
故答案为216°．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
17．（3分）如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为 ﹣5＜x＜3 ．
【分析】先根据抛物线的对称性得到A点坐标（3，0），由y＝ax2+bx+c＞0得函数值为正数，即抛物线在x轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式ax2+bx+c＞0的解集．
【解答】解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点坐标为（﹣5，0），
根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝﹣1对称，即
抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（﹣5，0）关于直线x＝﹣1对称，
∴另一个交点的坐标为（3，0），
∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax2+bx+c＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的图形在x轴上方，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣5＜x＜3．
故答案为：﹣5＜x＜3．
【点评】此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．
18．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，AC与DE相交于点F，若CE＝2EB，S△AFD＝27，则三角形ACD的面积等于 45 ．
【分析】先证明△ADF∽△CEF，可知＝
，然后根据相似三角形的性质可知
＝（
）2，再根据
，从而可求出三角形ACD的面积．
【解答】解：在▱ABCD中，
AD∥CE，AD＝BC
∴△ADF∽△CEF，
∴，
∵CE＝2EB，
∴CE＝BC＝
AD，
∴＝
，
∴＝（
）2＝
，
∴S△CEF＝12，
∵，
∴S△CFD＝18，
∴S△ACD＝S△AFD+S△CDF
＝27+18
＝45，
故答案为：45
【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：﹣2sin45°+|
|﹣（
）﹣2+（
）0．
【分析】原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝2﹣2×
+2﹣
﹣4+1＝﹣1．
【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（6分）先化简，然后从﹣2≤a≤2的范围内选取一个你认为合适的整数作为a的值代入求值．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣2≤a≤2的范围内选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
＝
＝
＝，
当a＝1时，原式＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
21．（8分）某校为了解全校2400名学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查．问卷给出了五种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选．将调查得到的结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）
（1）这次调查中，一共抽取了 80 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）估计全校所有学生中有多少人乘坐公交车上学？
（4）小明在上学的路上要经过2个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互独立的，求小明在上学路上到第二个路口时第二次遇到红灯的概率，（请用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程）
【分析】（1）由给的图象解题，根据自行车所占比例为30%，而频数分布直方图知一共有24人骑自行车上学，从而求出总人数；
（2）由扇形统计图知：步行占20%，而由（1）总人数已知，从而求出步行人数，补全频数分布直方图；
（3）自行车、步行、公交车、私家车、其他交通工具所占比例之和为100%，再由直方图具体人数来相减求解．
（4）画树状图列出所有等可能结果，从中找到到第二个路口时第二次遇到红灯的结果数，根据概率公式计算可得．
【解答】解：（1）被抽到的学生中，骑自行车上学的学生有24人，占整个被抽到学生总数的30%，
∴抽取学生的总数为24÷30%＝80（人）．
故答案为：80；
（2）被抽到的学生中，步行的人数为80×20%＝16人，
直方图：
（3）被抽到的学生中，乘公交车的人数为80﹣（24+16+10+4）＝26，
∴全校所有学生中乘坐公交车上学的人数约为×2400＝780人．
（4）画树状图如下：
由树状图知，共有9种等可能结果，其中到第二个路口时第二次遇到红灯的结果数为1，
所以到第二个路口时第二次遇到红灯的概率为．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD的垂直平分线分别交AC、DC、BC于点E、F、G，连接DE、DG．
（1）求证：四边形DGCE是菱形；
（2）若∠DGB＝60°，GC＝4，求菱形DGCE的面积．
【分析】（1）由角平分线的性质和中垂线性质可得∠EDC＝∠DCG＝∠ACD＝∠GDC，可得CE∥DG，DE∥GC，DE＝EC，可证四边形DGCE是菱形；
（2）过点D作DH⊥BC，由锐角三角函数可求DH的长，即可求菱形DGCE的面积．
【解答】证明：（1）∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCG，
∵EG垂直平分CD
∴DG＝CG，DE＝EC，
∴∠DCG＝∠GDC，∠ACD＝∠EDC
∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD＝∠GDC
∴CE∥DG，DE∥GC
∴四边形DECG是平行四边形，
且DE＝EC
∴四边形DGCE是菱形
（2）如图，过点D作DH⊥BC，
∵四边形DGCE是菱形，
∴DE＝DG＝GC＝4，DG∥EC
在Rt△DGH中，∠DGB＝60°
∴DH＝DGcos30°＝2
∴菱形DGCE的面积＝GC×DH＝8
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的判定是关键．
23．（9分）某工厂，甲负责加工A型零件，乙负责加工B型零件．已知甲加工60个A型零件所用时间和乙加工80个B型零件所用时间相同，每天甲、乙两人共加工两种零件35个，设甲每天加工x个A型零件．
（1）求甲、乙每天各加工多少个零件；（列分式方程解应用题）
（2）根据市场预测估计，加工A型零件所获得的利润为m元/件（3≤m≤5），加工B型零件所获得的利润每件比A型少1元．求每天甲、乙加工两种零件所获得的总利润y（元）与m（元/件）的函数关系式，并求总利润y的最大值和最小值．
【分析】（1）根据题意，易得，解可得x的值，进而可得答案；
（2）根据题意，可得关系式y＝15m+20（m﹣1），化简可得y＝35m﹣20，根据一次函数的性质分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，每天甲、乙两人共加工35个零件，
设甲每天加工x个，则乙每天加工35﹣x；根据题意，
易得，
解得x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意．
35﹣15＝20，
答：甲每天加工15个，乙每天加工20个；
（2）y＝15m+20（m﹣1），
即y＝35m﹣20，
∵在y＝35m﹣20中，y是m的一次函数，k＝35＞0，y随m的增大而增大，
又由已知得：3≤m≤5，
∴当m＝5时，y最大值＝155，
当m＝3时，y最小值＝85．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，能根据题意，列出关系式，进而结合一次函数的性质得到结论或求解方程是解题关键．
24．（9分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H连接C．过弧BD上一点，过E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）求证：GF2＝GD•GC；
（3）延长AB交GE的延长线于点M．若tanG＝，HC＝4
，求EM的值．
【分析】（1）连接OE，证明∠GEO＝90°，即GE⊥OE，于是EG是⊙O的切线；
（2）连接DE，易得△GDE∽△GEC，得到GE2＝GC•GD，又GF＝GE，所以GF2＝GC•GD；
（3）如图，连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△AHC中，，
，在Rt△HOC中，由勾股定理得
，由△AHC∽△MEO，所以
．
【解答】解：（1）证明：如图，连接OE，
∵GF＝GE，∴∠GFE＝∠GEF＝∠AFH，
∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，
∵∠AFH+∠FAH＝90°，
∴∠GEF+∠AEO＝90°，
∴∠GEO＝90°，∴GE⊥OE，
∴EG是⊙O的切线；
（2）连接DE，易得△GDE∽△GEC，
∴，
∴GE2＝GC•GD，
又∵GF＝GE，
∴GF2＝GC•GD；
（3）如图，连接OC．
设⊙O的半径为r．
在Rt△AHC中，
，
∵，
∴，
在Rt△HOC中，
∵OC＝r，，
，
∴，
∴，
∵GM∥AC，
∴∠CAH＝∠M，
∵∠OEM＝∠AHC，
∴△AHC∽△MEO，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查了圆，熟练运用圆的切线定理、相似三角形的性质以及勾股定理是解题的关键．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，顶点A在第二象限，B，C两点在x轴的负半轴上（点C在点B的右侧），BC＝2，△ACD与△ABC关于AC所在的直线对称．
（1）当OC＝2时，求点D的坐标；
（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OC的长；
（3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向左平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y＝（k≠0）的图象与BA的延长线交千点P，问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称，则CD＝BC＝2，∠ACD＝∠ACB＝30°，过点D作DE⊥BC于点E，∠DCE＝60°，则，即可求解；
（2）求出A，D坐标，两个点在同一反比例函数上，则，即可求解；
（3）分P为直角顶点、D为直角顶点，两种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）∵△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称，
∴CD＝BC＝2，∠ACD＝∠ACB＝30°，
过点D作DE⊥BC于点E，∵∠DCE＝60°，
∴，
∵OC＝2，
∴OE＝3，∴；
（2）设OC＝m，则OE＝m+1，OB＝m+2
在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝2，
∴，
∴，
∵A，D在同一反比例函数上，
∴，
解得：m＝1，
∴OC＝1；
（3）由（2）得：∴，
∵四边形A1B1C1D1由四边形ABCD平移得到，
∴，
∵D1在反比例函数上，
∴
同理：，
，
∴，
∴，
∵xP＝xA＝﹣3，P在反比例函数上，
∴，
①若P为直角顶点，则A1P⊥DP，
过点P作l1⊥y轴，过点A1作A1F⊥l1，
过点D作DG⊥l1，
则△A1PF～△PDG，
，
解得：；
②若D为直角顶点，则A1D⊥DP，
过点D作l2⊥x轴，过点A1作A1H⊥l2，
则△A1DH～△DPG，
，
，
解得：k＝0（舍），
综上：存在．
【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似等知识点，此类题目的关键是，通过设线段长度，确定图象上点的坐标，进而求解．
26．（10分）在平面直角坐标系中，若点A、C同时在某函数的图象上（点A在点C的左侧），以AC为对角线作矩形ABCD，若矩形ABCD的各边都分别与坐标轴乘直，则称矩形ABCD为该函数图象的“雅垂矩形”，如图1，矩形ABCD为直线l的“雅垂矩形”
（1）若某正比例函数图象的“雅垂矩形”的两邻边比为1：4，则下列函数：①y＝4x；②y＝﹣4x；③y＝2x；④y＝x中，符合条件的是 ①②④ （只填写序号）
（2）若二次函数y＝x2﹣2x图象的“雅垂矩形”ABCD的顶点C的横坐标是顶点A横坐标的3倍，设顶点A的横坐标为m（0＜m＜0.5），矩形ABCD的周长为L，求L的最大值．
（3）若二次函数y＝x2﹣2nx的图象的“雅垂矩形”ABCD的顶点A、C的横坐标分别为﹣2，1，分别作点A、C关于此二次函数图象对称轴的对称点A、C，连接A'C'，是否存在这样的一个n，使得线段A'C'将矩形ABCD两部分图形的面积比为2：7的两部分？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由“雅垂矩形”的两邻边比为1：4可以得出正比例函数的系数k的值，从而得出答案；
（2）由题意知A（m，m2﹣2m），C（3m，9m2﹣6m）．由0＜m＜0.5知CD＝3m﹣m＝2m，BC＝m2﹣2m﹣（9m2﹣6m）＝4m2﹣8m，从而得L＝2（CD+BC）＝﹣16m2﹣12m＝﹣16（m﹣0.375）2+2.25，据此可得答案；
（3）作A′H⊥CC′，证四边形A′BDC′是平行四边形得A′C′∥BD，由题意可知，A（﹣2，4+4n）、C（1，1﹣2n），二次函数图象的对称轴为直线x＝n，AB＝CD＝3，根据两部分图形的面积比为2：7，分n＜0和n≥0两种情况，分别得出关于n的方程，解之可得．
【解答】解：（1）如图1，当正比例函数y＝kx图象经过第一、三象限时，
由题意知，＝
或
＝
即
＝4，
则k＝tan∠CAB＝或k＝4；
当正比例函数y＝kx图象经过第二、四象限时，k＝﹣或k＝﹣4，
∴此正比例函数解析式为y＝±4x或y＝±x，
故答案为：①②④；
（2）由题意可知，A（m，m2﹣2m），C（3m，9m2﹣6m）．
∵0＜m＜0.5，
∴CD＝3m﹣m＝2m，BC＝m2﹣2m﹣（9m2﹣6m）＝4m2﹣8m，
∴L＝2（CD+BC）＝﹣16m2﹣12m＝﹣16（m﹣0.375）2+2.25，
∴当m＝0.375时，周长最大为2.25；
（3）如图2，过点A′作A′H⊥CC′于点H，
∴四边形A′BCH是矩形．
∴A′B＝CH，
由抛物线的轴对称性可知，CH＝C′D．
∴A′B＝C′D．
∵A′B∥C′D，
∴四边形A′BDC′是平行四边形．
∴A′C′∥BD．
由题意可知，A（﹣2，4+4n）、C（1，1﹣2n），二次函数图象的对称轴为直线x＝n，AB＝CD＝3．
若线段A′C′将矩形ABCD分成两部分图形的面积比为2：7，
当n＜0时，AA′：AB＝2：3，AA′＝2n+4，．
∴AA′＝2n+4＝2．
∴n＝﹣1，
当n≥0时，CC′：CD＝2：3，CC′＝2（1﹣2n）＝2﹣2n
∴CC′＝2﹣2n＝2．
∴n＝0，
′综上，n的值为﹣1或0．
【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是理解并掌握“雅垂矩形”的概念、二次函数性质的运用、平行四边形的判定与性质等知识点．
中学自主招生数学试卷
一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列实数为无理数的是（ ）
A． B．
C．
D．0
2．（3分）2019年“五一”小长假有四天假期，长沙市共接待游客356万人次，称为新晋“网红城市”，356万人用科学记数法表示为（ ）
A．3.56×106人 B．35.6×105人
C．3.6×105人 D．0.356×107人
3．（3分）下列各式正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．2a2+2a3＝2a5
C． D．（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
4．（3分）下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）在下列说法中不正确的是（ ）
A．两条对角线互相垂直的矩形是正方形
B．两条对角线相等的菱形是正方形
C．两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
D．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形
6．（3分）如图是一个由6个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）已知一次函数y＝（3﹣a）x+3，如果y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围为（ ）
A．a＜3 B．a＞3 C．a＜﹣3 D．a＞﹣3．
9．（3分）将抛物线y＝5x2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，所得的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝5（x+3）2+2 B．y＝5（x+3）2﹣2
C．y＝5（x﹣3）2+2 D．y＝5（x﹣3）2﹣2
10．（3分）如图，已知CA、CB分别与⊙O相切于A、B两点，D是⊙O上的一点，连接AD、BD，若∠C＝56°，则∠D等于（ ）
A．72° B．68° C．64° D．62°
11．（3分）如图，考古队在A处测得古塔BC顶端C的仰角为45°，斜坡AD长10米，坡度i＝3：4，BD长12米，请问古塔BC的高度为（ ）米．
A．25.5 B．26 C．28.5 D．20.5
12．（3分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F、E分别以相同的速度从D、C两点同时出发向C、B运动（任何一个点到达即停止），BF、AE交于点P，连接CP，则线段CP的最小值为（ ）
A． B．
C．
D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）分解因式：3a2﹣12＝ ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心．位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0），则点E的坐标是 ．
15．（3分）在不透明的盒子中装有6个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则白色棋子的个数是 ．
16．（3分）小红需要用扇形薄纸板制作成底面半径为9厘米，高为12厘米的圆锥形生日帽，如图所示，则该扇形薄纸板的圆心角为 ．
17．（3分）如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为 ．
18．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，AC与DE相交于点F，若CE＝2EB，S△AFD＝27，则三角形ACD的面积等于 ．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：﹣2sin45°+|
|﹣（
）﹣2+（
）0．
20．（6分）先化简，然后从﹣2≤a≤2的范围内选取一个你认为合适的整数作为a的值代入求值．
21．（8分）某校为了解全校2400名学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查．问卷给出了五种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选．将调查得到的结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）
（1）这次调查中，一共抽取了 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）估计全校所有学生中有多少人乘坐公交车上学？
（4）小明在上学的路上要经过2个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互独立的，求小明在上学路上到第二个路口时第二次遇到红灯的概率，（请用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程）
22．（8分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD的垂直平分线分别交AC、DC、BC于点E、F、G，连接DE、DG．
（1）求证：四边形DGCE是菱形；
（2）若∠DGB＝60°，GC＝4，求菱形DGCE的面积．
23．（9分）某工厂，甲负责加工A型零件，乙负责加工B型零件．已知甲加工60个A型零件所用时间和乙加工80个B型零件所用时间相同，每天甲、乙两人共加工两种零件35个，设甲每天加工x个A型零件．
（1）求甲、乙每天各加工多少个零件；（列分式方程解应用题）
（2）根据市场预测估计，加工A型零件所获得的利润为m元/件（3≤m≤5），加工B型零件所获得的利润每件比A型少1元．求每天甲、乙加工两种零件所获得的总利润y（元）与m（元/件）的函数关系式，并求总利润y的最大值和最小值．
24．（9分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H连接C．过弧BD上一点，过E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）求证：GF2＝GD•GC；
（3）延长AB交GE的延长线于点M．若tanG＝，HC＝4
，求EM的值．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，顶点A在第二象限，B，C两点在x轴的负半轴上（点C在点B的右侧），BC＝2，△ACD与△ABC关于AC所在的直线对称．
（1）当OC＝2时，求点D的坐标；
（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OC的长；
（3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向左平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y＝（k≠0）的图象与BA的延长线交千点P，问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．
26．（10分）在平面直角坐标系中，若点A、C同时在某函数的图象上（点A在点C的左侧），以AC为对角线作矩形ABCD，若矩形ABCD的各边都分别与坐标轴乘直，则称矩形ABCD为该函数图象的“雅垂矩形”，如图1，矩形ABCD为直线l的“雅垂矩形”
（1）若某正比例函数图象的“雅垂矩形”的两邻边比为1：4，则下列函数：①y＝4x；②y＝﹣4x；③y＝2x；④y＝x中，符合条件的是 （只填写序号）
（2）若二次函数y＝x2﹣2x图象的“雅垂矩形”ABCD的顶点C的横坐标是顶点A横坐标的3倍，设顶点A的横坐标为m（0＜m＜0.5），矩形ABCD的周长为L，求L的最大值．
（3）若二次函数y＝x2﹣2nx的图象的“雅垂矩形”ABCD的顶点A、C的横坐标分别为﹣2，1，分别作点A、C关于此二次函数图象对称轴的对称点A、C，连接A'C'，是否存在这样的一个n，使得线段A'C'将矩形ABCD两部分图形的面积比为2：7的两部分？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列实数为无理数的是（ ）
A． B．
C．
D．0
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、＝2是整数，是有理数，故选项不符合题意；
B、是分数，是有理数，故选项不符合题意；
C、是无理数，故选项符合题意；
D、0是整数，是有理数，故选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（3分）2019年“五一”小长假有四天假期，长沙市共接待游客356万人次，称为新晋“网红城市”，356万人用科学记数法表示为（ ）
A．3.56×106人 B．35.6×105人
C．3.6×105人 D．0.356×107人
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：356万＝3.56×106．
故选：A．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列各式正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．2a2+2a3＝2a5
C． D．（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝a6，不符合题意；
B、原式不能合并，不符合题意；
C、原式＝a3，不符合题意；
D、原式＝x2﹣1，符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了平方差公式，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
4．（3分）下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5．（3分）在下列说法中不正确的是（ ）
A．两条对角线互相垂直的矩形是正方形
B．两条对角线相等的菱形是正方形
C．两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
D．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形
【分析】根据既是矩形又是菱形的四边形是正方形进行判断．
【解答】解：A、两条对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项不符合题意；
B、两条对角线相等的菱形是正方形，故选项不符合题意；
C、两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项不符合题意；
D、应是两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的判定，通过这道题可以掌握正方形和矩形，菱形的关系．
6．（3分）如图是一个由6个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是3个小正方形，第二层右边2个小正方形，第三层右边2个小正方形，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】求出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
∴不等式组的解集为x＜1，
故选：A．
【点评】此题考查了解一元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（3分）已知一次函数y＝（3﹣a）x+3，如果y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围为（ ）
A．a＜3 B．a＞3 C．a＜﹣3 D．a＞﹣3．
【分析】先根据一次函数的性质得出关于a的不等式，再解不等式即可求出a的取值范围．
【解答】解：∵一次函数y＝（3﹣a）x+3，函数值y随自变量x的增大而增大，
∴3﹣a＞0，解得a＜3．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
9．（3分）将抛物线y＝5x2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，所得的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝5（x+3）2+2 B．y＝5（x+3）2﹣2
C．y＝5（x﹣3）2+2 D．y＝5（x﹣3）2﹣2
【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：∵y＝5x2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的顶点坐标为（3，2），
∴所得的抛物线的解析式为y＝5（x﹣3）2+2．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式求解更简便．
10．（3分）如图，已知CA、CB分别与⊙O相切于A、B两点，D是⊙O上的一点，连接AD、BD，若∠C＝56°，则∠D等于（ ）
A．72° B．68° C．64° D．62°
【分析】连接OA，OB．根据圆周角定理和四边形内角和定理求解即可．
【解答】解：连接OA，OB，
∵CA、CB切⊙O于点A、B，
∴∠CAO＝∠CBO＝90°，
∵∠C＝56°，
∴∠AOB＝360°﹣∠CAO﹣∠CBO﹣∠C＝360°﹣90°﹣90°﹣56°＝124°．
由圆周角定理知，∠D＝∠AOB＝62°，
故选：D．
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、以及四边形的内角和为360度．熟练掌握：圆心与切点的连线垂直切线；过圆心垂直于切线的直线必过切点；过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等等知识是解题的关键．
11．（3分）如图，考古队在A处测得古塔BC顶端C的仰角为45°，斜坡AD长10米，坡度i＝3：4，BD长12米，请问古塔BC的高度为（ ）米．
A．25.5 B．26 C．28.5 D．20.5
【分析】作AE⊥BC，AF⊥BD，由i＝3：4，可设AF＝3x，DF＝4x，结合AD＝10，利用勾股定理可求得x的值，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥BD，交BD延长线于点F，
由i＝3：4，
可设AF＝3x，DF＝4x，
∵AD＝10，
∴9x2+16x2＝100，
解得：x＝2（负值舍去），
则AF＝BE＝6，DF＝8，
∴AE＝DF+BD＝8+12＝20，
∵∠CAE＝45°，
∴CE＝AE＝20，
则BC＝CE+BE＝20+6＝26，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是能根据题意构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
12．（3分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F、E分别以相同的速度从D、C两点同时出发向C、B运动（任何一个点到达即停止），BF、AE交于点P，连接CP，则线段CP的最小值为（ ）
A． B．
C．
D．
【分析】首先判断出△ABE≌△BCF，即可判断出∠BAE＝∠CBF，再根据∠BAE+∠BEA＝90°，可得∠CBF+∠BEA＝90°，所以∠APB＝90°；然后根据点P在运动中保持∠APB＝90°，可得点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，最后在Rt△BCG中，根据勾股定理，求出CG的长度，再求出PG的长度，即可求出线段CP的最小值为多少．
【解答】解：如图，∵动点F，E的速度相同，
∴DF＝CE，
又∵CD＝BC，
∴CF＝BE，
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠APB＝90°，
∵点P在运动中保持∠APB＝90°，
∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，
设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，
在Rt△BCG中，CG＝＝
＝
，
∵PG＝AB＝
，
∴CP＝CG﹣PG＝﹣
＝
，
即线段CP的最小值为 ，
故选：A．
【点评】此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，正方形的性质和应用，直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，解答此题的关键是判断出什么情况下，CP的长度最小．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）分解因式：3a2﹣12＝ 3（a+2）（a﹣2） ．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：3a2﹣12＝3（a+2）（a﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后要继续利用平方差公式进行因式分解，分解因式要彻底，直到不能再分解为止．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心．位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0），则点E的坐标是 （，
） ．
【分析】由题意可得OA：OD＝2：3，又由点A的坐标为（1，0），即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．
【解答】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为2：3，
∴OA：OD＝2：3，
∵点A的坐标为（1，0），
即OA＝1，
∴OD＝，
∵四边形ODEF是正方形，
∴DE＝OD＝．
∴E点的坐标为：（，
）．
故答案是：（，
）．
【点评】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键．
15．（3分）在不透明的盒子中装有6个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则白色棋子的个数是 24 ．
【分析】设盒子中白色棋子有x个，根据概率公式列出关于x的方程，解之可得．
【解答】解：设盒子中白色棋子有x个，
根据题意，得：＝
，
解得：x＝24，
经检验：x＝24是原分式方程的解，
所以白色棋子有24个，
故答案为：24．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（3分）小红需要用扇形薄纸板制作成底面半径为9厘米，高为12厘米的圆锥形生日帽，如图所示，则该扇形薄纸板的圆心角为 216° ．
【分析】利用勾股定理计算出母线长＝15，设该扇形薄纸板的圆心角为n°，利用弧长公式得到2π•9＝，解得n＝216．
【解答】解：母线长＝＝15，
设该扇形薄纸板的圆心角为n°，
所以2π•9＝，解得n＝216，
即该扇形薄纸板的圆心角为216°．
故答案为216°．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
17．（3分）如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为 ﹣5＜x＜3 ．
【分析】先根据抛物线的对称性得到A点坐标（3，0），由y＝ax2+bx+c＞0得函数值为正数，即抛物线在x轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式ax2+bx+c＞0的解集．
【解答】解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点坐标为（﹣5，0），
根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝﹣1对称，即
抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（﹣5，0）关于直线x＝﹣1对称，
∴另一个交点的坐标为（3，0），
∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax2+bx+c＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的图形在x轴上方，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣5＜x＜3．
故答案为：﹣5＜x＜3．
【点评】此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．
18．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，AC与DE相交于点F，若CE＝2EB，S△AFD＝27，则三角形ACD的面积等于 45 ．
【分析】先证明△ADF∽△CEF，可知＝
，然后根据相似三角形的性质可知
＝（
）2，再根据
，从而可求出三角形ACD的面积．
【解答】解：在▱ABCD中，
AD∥CE，AD＝BC
∴△ADF∽△CEF，
∴，
∵CE＝2EB，
∴CE＝BC＝
AD，
∴＝
，
∴＝（
）2＝
，
∴S△CEF＝12，
∵，
∴S△CFD＝18，
∴S△ACD＝S△AFD+S△CDF
＝27+18
＝45，
故答案为：45
【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：﹣2sin45°+|
|﹣（
）﹣2+（
）0．
【分析】原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝2﹣2×
+2﹣
﹣4+1＝﹣1．
【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（6分）先化简，然后从﹣2≤a≤2的范围内选取一个你认为合适的整数作为a的值代入求值．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣2≤a≤2的范围内选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
＝
＝
＝，
当a＝1时，原式＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
21．（8分）某校为了解全校2400名学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查．问卷给出了五种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选．将调查得到的结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）
（1）这次调查中，一共抽取了 80 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）估计全校所有学生中有多少人乘坐公交车上学？
（4）小明在上学的路上要经过2个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互独立的，求小明在上学路上到第二个路口时第二次遇到红灯的概率，（请用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程）
【分析】（1）由给的图象解题，根据自行车所占比例为30%，而频数分布直方图知一共有24人骑自行车上学，从而求出总人数；
（2）由扇形统计图知：步行占20%，而由（1）总人数已知，从而求出步行人数，补全频数分布直方图；
（3）自行车、步行、公交车、私家车、其他交通工具所占比例之和为100%，再由直方图具体人数来相减求解．
（4）画树状图列出所有等可能结果，从中找到到第二个路口时第二次遇到红灯的结果数，根据概率公式计算可得．
【解答】解：（1）被抽到的学生中，骑自行车上学的学生有24人，占整个被抽到学生总数的30%，
∴抽取学生的总数为24÷30%＝80（人）．
故答案为：80；
（2）被抽到的学生中，步行的人数为80×20%＝16人，
直方图：
（3）被抽到的学生中，乘公交车的人数为80﹣（24+16+10+4）＝26，
∴全校所有学生中乘坐公交车上学的人数约为×2400＝780人．
（4）画树状图如下：
由树状图知，共有9种等可能结果，其中到第二个路口时第二次遇到红灯的结果数为1，
所以到第二个路口时第二次遇到红灯的概率为．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD的垂直平分线分别交AC、DC、BC于点E、F、G，连接DE、DG．
（1）求证：四边形DGCE是菱形；
（2）若∠DGB＝60°，GC＝4，求菱形DGCE的面积．
【分析】（1）由角平分线的性质和中垂线性质可得∠EDC＝∠DCG＝∠ACD＝∠GDC，可得CE∥DG，DE∥GC，DE＝EC，可证四边形DGCE是菱形；
（2）过点D作DH⊥BC，由锐角三角函数可求DH的长，即可求菱形DGCE的面积．
【解答】证明：（1）∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCG，
∵EG垂直平分CD
∴DG＝CG，DE＝EC，
∴∠DCG＝∠GDC，∠ACD＝∠EDC
∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD＝∠GDC
∴CE∥DG，DE∥GC
∴四边形DECG是平行四边形，
且DE＝EC
∴四边形DGCE是菱形
（2）如图，过点D作DH⊥BC，
∵四边形DGCE是菱形，
∴DE＝DG＝GC＝4，DG∥EC
在Rt△DGH中，∠DGB＝60°
∴DH＝DGcos30°＝2
∴菱形DGCE的面积＝GC×DH＝8
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的判定是关键．
23．（9分）某工厂，甲负责加工A型零件，乙负责加工B型零件．已知甲加工60个A型零件所用时间和乙加工80个B型零件所用时间相同，每天甲、乙两人共加工两种零件35个，设甲每天加工x个A型零件．
（1）求甲、乙每天各加工多少个零件；（列分式方程解应用题）
（2）根据市场预测估计，加工A型零件所获得的利润为m元/件（3≤m≤5），加工B型零件所获得的利润每件比A型少1元．求每天甲、乙加工两种零件所获得的总利润y（元）与m（元/件）的函数关系式，并求总利润y的最大值和最小值．
【分析】（1）根据题意，易得，解可得x的值，进而可得答案；
（2）根据题意，可得关系式y＝15m+20（m﹣1），化简可得y＝35m﹣20，根据一次函数的性质分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，每天甲、乙两人共加工35个零件，
设甲每天加工x个，则乙每天加工35﹣x；根据题意，
易得，
解得x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意．
35﹣15＝20，
答：甲每天加工15个，乙每天加工20个；
（2）y＝15m+20（m﹣1），
即y＝35m﹣20，
∵在y＝35m﹣20中，y是m的一次函数，k＝35＞0，y随m的增大而增大，
又由已知得：3≤m≤5，
∴当m＝5时，y最大值＝155，
当m＝3时，y最小值＝85．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，能根据题意，列出关系式，进而结合一次函数的性质得到结论或求解方程是解题关键．
24．（9分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H连接C．过弧BD上一点，过E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）求证：GF2＝GD•GC；
（3）延长AB交GE的延长线于点M．若tanG＝，HC＝4
，求EM的值．
【分析】（1）连接OE，证明∠GEO＝90°，即GE⊥OE，于是EG是⊙O的切线；
（2）连接DE，易得△GDE∽△GEC，得到GE2＝GC•GD，又GF＝GE，所以GF2＝GC•GD；
（3）如图，连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△AHC中，，
，在Rt△HOC中，由勾股定理得
，由△AHC∽△MEO，所以
．
【解答】解：（1）证明：如图，连接OE，
∵GF＝GE，∴∠GFE＝∠GEF＝∠AFH，
∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，
∵∠AFH+∠FAH＝90°，
∴∠GEF+∠AEO＝90°，
∴∠GEO＝90°，∴GE⊥OE，
∴EG是⊙O的切线；
（2）连接DE，易得△GDE∽△GEC，
∴，
∴GE2＝GC•GD，
又∵GF＝GE，
∴GF2＝GC•GD；
（3）如图，连接OC．
设⊙O的半径为r．
在Rt△AHC中，
，
∵，
∴，
在Rt△HOC中，
∵OC＝r，，
，
∴，
∴，
∵GM∥AC，
∴∠CAH＝∠M，
∵∠OEM＝∠AHC，
∴△AHC∽△MEO，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查了圆，熟练运用圆的切线定理、相似三角形的性质以及勾股定理是解题的关键．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，顶点A在第二象限，B，C两点在x轴的负半轴上（点C在点B的右侧），BC＝2，△ACD与△ABC关于AC所在的直线对称．
（1）当OC＝2时，求点D的坐标；
（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OC的长；
（3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向左平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y＝（k≠0）的图象与BA的延长线交千点P，问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称，则CD＝BC＝2，∠ACD＝∠ACB＝30°，过点D作DE⊥BC于点E，∠DCE＝60°，则，即可求解；
（2）求出A，D坐标，两个点在同一反比例函数上，则，即可求解；
（3）分P为直角顶点、D为直角顶点，两种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）∵△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称，
∴CD＝BC＝2，∠ACD＝∠ACB＝30°，
过点D作DE⊥BC于点E，∵∠DCE＝60°，
∴，
∵OC＝2，
∴OE＝3，∴；
（2）设OC＝m，则OE＝m+1，OB＝m+2
在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝2，
∴，
∴，
∵A，D在同一反比例函数上，
∴，
解得：m＝1，
∴OC＝1；
（3）由（2）得：∴，
∵四边形A1B1C1D1由四边形ABCD平移得到，
∴，
∵D1在反比例函数上，
∴
同理：，
，
∴，
∴，
∵xP＝xA＝﹣3，P在反比例函数上，
∴，
①若P为直角顶点，则A1P⊥DP，
过点P作l1⊥y轴，过点A1作A1F⊥l1，
过点D作DG⊥l1，
则△A1PF～△PDG，
，
解得：；
②若D为直角顶点，则A1D⊥DP，
过点D作l2⊥x轴，过点A1作A1H⊥l2，
则△A1DH～△DPG，
，
，
解得：k＝0（舍），
综上：存在．
【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似等知识点，此类题目的关键是，通过设线段长度，确定图象上点的坐标，进而求解．
26．（10分）在平面直角坐标系中，若点A、C同时在某函数的图象上（点A在点C的左侧），以AC为对角线作矩形ABCD，若矩形ABCD的各边都分别与坐标轴乘直，则称矩形ABCD为该函数图象的“雅垂矩形”，如图1，矩形ABCD为直线l的“雅垂矩形”
（1）若某正比例函数图象的“雅垂矩形”的两邻边比为1：4，则下列函数：①y＝4x；②y＝﹣4x；③y＝2x；④y＝x中，符合条件的是 ①②④ （只填写序号）
（2）若二次函数y＝x2﹣2x图象的“雅垂矩形”ABCD的顶点C的横坐标是顶点A横坐标的3倍，设顶点A的横坐标为m（0＜m＜0.5），矩形ABCD的周长为L，求L的最大值．
（3）若二次函数y＝x2﹣2nx的图象的“雅垂矩形”ABCD的顶点A、C的横坐标分别为﹣2，1，分别作点A、C关于此二次函数图象对称轴的对称点A、C，连接A'C'，是否存在这样的一个n，使得线段A'C'将矩形ABCD两部分图形的面积比为2：7的两部分？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由“雅垂矩形”的两邻边比为1：4可以得出正比例函数的系数k的值，从而得出答案；
（2）由题意知A（m，m2﹣2m），C（3m，9m2﹣6m）．由0＜m＜0.5知CD＝3m﹣m＝2m，BC＝m2﹣2m﹣（9m2﹣6m）＝4m2﹣8m，从而得L＝2（CD+BC）＝﹣16m2﹣12m＝﹣16（m﹣0.375）2+2.25，据此可得答案；
（3）作A′H⊥CC′，证四边形A′BDC′是平行四边形得A′C′∥BD，由题意可知，A（﹣2，4+4n）、C（1，1﹣2n），二次函数图象的对称轴为直线x＝n，AB＝CD＝3，根据两部分图形的面积比为2：7，分n＜0和n≥0两种情况，分别得出关于n的方程，解之可得．
【解答】解：（1）如图1，当正比例函数y＝kx图象经过第一、三象限时，
由题意知，＝
或
＝
即
＝4，
则k＝tan∠CAB＝或k＝4；
当正比例函数y＝kx图象经过第二、四象限时，k＝﹣或k＝﹣4，
∴此正比例函数解析式为y＝±4x或y＝±x，
故答案为：①②④；
（2）由题意可知，A（m，m2﹣2m），C（3m，9m2﹣6m）．
∵0＜m＜0.5，
∴CD＝3m﹣m＝2m，BC＝m2﹣2m﹣（9m2﹣6m）＝4m2﹣8m，
∴L＝2（CD+BC）＝﹣16m2﹣12m＝﹣16（m﹣0.375）2+2.25，
∴当m＝0.375时，周长最大为2.25；
（3）如图2，过点A′作A′H⊥CC′于点H，
∴四边形A′BCH是矩形．
∴A′B＝CH，
由抛物线的轴对称性可知，CH＝C′D．
∴A′B＝C′D．
∵A′B∥C′D，
∴四边形A′BDC′是平行四边形．
∴A′C′∥BD．
由题意可知，A（﹣2，4+4n）、C（1，1﹣2n），二次函数图象的对称轴为直线x＝n，AB＝CD＝3．
若线段A′C′将矩形ABCD分成两部分图形的面积比为2：7，
当n＜0时，AA′：AB＝2：3，AA′＝2n+4，．
∴AA′＝2n+4＝2．
∴n＝﹣1，
当n≥0时，CC′：CD＝2：3，CC′＝2（1﹣2n）＝2﹣2n
∴CC′＝2﹣2n＝2．
∴n＝0，
′综上，n的值为﹣1或0．
【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是理解并掌握“雅垂矩形”的概念、二次函数性质的运用、平行四边形的判定与性质等知识点．
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