线性代数 北京理工大学出版社 习题解答

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第一章行列式
学习要求

1.理解二阶与三阶行列式的概念，熟悉掌握二阶与三阶行列式的计算方法，会求二元、三元一次线性方程组的解；
2.理解n级全排列、逆序数的概念和排列的奇偶性；
3.理解n阶行列式的概念和n阶行列式的等价定义，会用行列式的定义计算对角、三角行列式和一些简单的特殊的n阶行列式；
4.掌握行列式的基本性质，会利用“化三角形”方法计算行列式；
5.理解余子式、代数余子式的概念，掌握行列式按行（列）展开定理，会用降阶法计算行列式；
6.掌握克莱姆法则，了解未知量个数与方程个数相同的方程组解的判定定理，会运用克莱姆法则讨论齐次线性方程组的解.

§1.1二阶与三阶行列式
1.计算二阶行列式：(5
x11
(x1(x2x1x2x3x21;22
xxx1
2．计算三阶行列式：
101
(235050(120007;
041x34
3．求解方程D1x00.
0x1
x34
解由1x0x24x3(x1(x30,故原方程的解为x1或x3.
0x1
4．用行列式解下列方程组：
3x12x23,x12x2x30,
(1(22x1x2x31,
4x13x21.x1x22x33.
解


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(1D
32
9810,
43

D1
32
927,
13
D2
33
3129,故所求的方程组有唯一解：x17,x29.
41
121
(2D21122211880,
112
0
D11
21101
114，D22131213
120
14，D321112,
1132
故所求的方程组有唯一解：x1,x1,x3.
123
222
x23
6.当x取何值时，1x30.
123
x23
解由1x33x29x63(x1(x20,解得x1且x2.
123

§1.3n阶行列式的定义

1.写出四阶行列式中含有因子a22a34的项.
解利用n阶行列式的定义来求解.行列式的阶数是四，每一项都要有4个元素相乘，题目已给出了两个已知因子，那么还有两个元素还未写出，由于因子a22a34的行标已经取了2，3，列标取2，4，所以剩下因子的行标只能取1，4，列标只能取1，3，因此未写出的因子为a11a43和a13a41.又因为(12431，所以四阶行列式中含有因子a22a34的(32414，项为(1(1243a11a22a34a43和(1(3241a13a22a34a41，即a11a22a34a43和a13a22a34a41.
x
1
3.已知f(x
21xx3112x2033
，用行列式的定义求x的系数.2x


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(1(2134x1xxx3，解f(x的展开式中含x的项只有一项：故x的系数为1.
4.利用行列式的定义计算下列行列式:
33
0001
(2
020030000040
(1(4213123424;
解析由n阶行列式的定义可知:行列式等于取自不同行不同列的元素的乘积的代数和.因为第1行只有一个非零元素1，先取a141，则第1行和第4列的元素不能再取了，再考虑第2行的元素，第2行只能取a222，则第2行和第2列的元素也不能再取了，对第3行的元素而言，此时只能取a313，则第3行和第1列的元素不能再取了，最后第4行的元素只能取a434，那么行列式的结果为
(1(4213a14a22a31a43123424;
补充练习
5x123
xx1234
1.由行列式的定义写出D的展开式中包含x和x的项.
12x3x122x
解D的展开式中含x的项只有一项(1
4
(1234
5xxx2x10x4，而含x3的项有
3
两项(1(21341xx2x和(1(42313xxx，从而展开式中含x的项为：
(1(21341xx2x(1(42313xxx2x33x35x3.

§1.4行列式的性质
1.利用行列式的性质计算下列行列式：

ab
(2bd
bfacae111cddeabcdef111cfef111
r2r3
r2r1
111
abcdef002
r3r1
022
111
abcdef0224abcdef;
002
(3由于每一行(或列的和都是等于6，故将第2，3，4行都乘以1加到第一行，再


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提取公因子6，利用性质5化成三角形行列式即可求值.
311113111131166113
111311613161111361113111
13111110261003001
02010
48;02
12120239

04120013
1212r2(3r13011r3(1r1
(4
1204r42r12411
1212
0647r2(1r304120013
r3(2r2
12121
r4(r3
0239500520001312120239
10.
005200001
2.证明下列等式：
a2
b2
（2）2
c
d2
(a12(b12(c12(d12
(a22(b22(c22(d22
(a32
(b32
0;2
(c3(d32
1x1y11x1y2
（3）1x2y1
1x1y3
1x2y21x2y30;.
1x3y11x3y21x3y3
证明
(2把行列式中的括号展开，第1列乘以-1加到其它列，化简行列式.
a2b2c2d2(a12(b12(c12(d12(a22(b22(c22(d22(a32a2(b32b2
2
(c32c(d32d22a12b12c12d14a44b44c44d46a96b9
0;6c96d9
(3由性质4，将D的第1列拆开，得
11x1y2
D11x2y2
1x1y3x1y11x1y21x1y3
11x3y2
1x2y3x2y11x2y21x2y3,1x3y3x3y11x3y21x3y3
将第1个行列式的第1列乘以-1加到第2、3列，第2个行列式第1列提取y1，得


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1x1y2
D1
x1y3x11x1y21x1y3
x2y2
1x3y2
x2y3y1x21x2y21x2y3，x3y3x31x3y21x3y3
将第1个行列式第2、3列提取y2,y3，将第2个行列式的第2列、第3列分别拆开，最后可得如下行列式，
1x1
Dy2y31x2
1x3
x111x11x1y3x1
x2y1x211x21x2y3x2
x11x1xyx3x33333
x1
x1y21x1
x2y21x2x3y21x3x1y2x2y2x3y2x1y3x2y3x3y3

000;
3.计算下列n阶行列式.
x1
(1
1x
11
1
1
2
1
;(22

x
222222232
222;n
解(1把第2,3,,n列分别乘以1加到第1列，得到第1列的公因子x(n1，提取公因子之后，再给第1行乘以(1加到第2,3,,n行，化成上三角形行列式，得到行列式的值.
x1M11LxLM1L1x(n11x(n1MMxx(n11LxLM1L1111[x(n1]MMx11L
xLM1L11Mx
11L0x1L
[x(n1]
MM00L1
0
[x(n1](x1n1;Mx1
(2把第2行乘以(-1分别加至其余各行，再把第1行乘以2加至第2行，得
12
2
M2222M2223M2
LLLL222Mn
-1200
020021
00
0-12000n-20
00220100
0
2
02(n2!;n-2


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1
4.求方程
1111
1111
1111
0的根.
111
解第1行乘以(1加到第2,3,4行，得如下行列式:
111100
,
0000
再将上述行列式的第2，3，4列乘以1加到第1列，化成上三角形行列式.
4111000
3(4,
000000
即可求出根:0或4.
补充练习
a11
2.已知行列式a21
a12a22a32
a13a33
2a112a13
a11a13
a11a13a21a22a23
a213a11a223a12a233a13
a21a31
a21a31
a22a32的值.
a23a33
a232，求行列式2a12
a31
2a11
解2a12
a213a11a223a12a233a13a21a22a23a21a22a23
a21a31a23a33
a213a11a223a12a233a13
a21a31
a22a322a12
2a13
a112a12
a13a112a12
a13

a22a32a23a33
a21a31a23a33a21a23
a11a13
a222a12
3a113a123a13a31a32a33
a22a322a12
a22a32a23a33
a13
a234.a33
a11a12
=2a21a22
a31a32
§1.5行列式按行（列）展开


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2
1.求行列式5
04
02中元素5与2的代数余子式.
311
解元素5的代数余子式为A21(121
04
11
01
4,
元素2的代数余子式为A23(123
23
2.
2.已知四阶行列式第3行元素依次为4、3、0、-2，它们的余子式依次为2、1、-1、4，求行列式的值.
解由行列式按行（列）展开定理，得
Da31A31a32A32a33A33a34A34

4(13123(13210(133(1(2(1344830813.
3.求下列行列式的值
4c(1c122231222c(2c0002411
1(121146（2）
31463110
217
12171205
c2(1c1
c3(1c1
112031
35
1352(11124;
39
239
200
（3）所求行列式为四阶德蒙行列式，由德蒙行列式的展开公式，得
111111122x
(21(21(22(x1(x2[x(2]2
44x
3
88x
12(x1(x2(x2.
11001k2000k3003k
4.讨论当k为何值时，行列式0.


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11解
001k0002k30
0c2(1c13k101k100000
2k3
11
0
k120
0
1(1110k33
03k
k
(k1(1
k3
3k
(k1(k3(k3,
所以，当k1，且k3，且k3时，
11001k2000k3003k
0.
5.计算n阶行列式(3按第1列展开，得
1012
Dn2(111Dn1(121
01
LL
000O21
000,M12
012OMMOO0000
00
OL
上式右端的行列式再按第一行展开，得
Dn2Dn1Dn2,
移项，得DnDn1Dn1Dn2，递推，得DnDn1Dn1Dn2Dn2Dn3LD2D1从而得
2112
21,
DnDn11,Dn1Dn21,L,D2D11,
把上面n1个等式相加，得
DnD1n12n1n1.

7．设四阶行列式
acD4
dabcbdbcbdda,ac
试求A14A24A34A44的值，其中Ai4（i1,2,3,4）为行列式D4的第4列第i行


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的元素的代数余子式.
解根据行列式按行（列）展开定理的推论，有
a12A14a22A24a32A34a42A440,
即bA14bA24bA34bA44b(A14A24A34A440,
A14A24A34A440.


§1.6行列式的应用
1.用克莱姆法则解线性方程组
2x1x2x3x41,x2xxx2,1234
（3）
x22x33x43,
5.x1x2x3
解：
21D
01112112111r(1r24r(2r11430
0131001
111
2121
30
131
(1411
1
21180,2
3
所以方程组有唯一解.又
1111D1
22113151
21
3018,


2111D2
12110315
21
3036,
2111D3
122101331150
所以方程组的解为
2111
36,


D4
12120111
21
35
18,
x1
D1181，D18D36x332，
D18


D2362，D18D18
1.x44
D18
x2

2．满足什么条件时，线性方程组


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x1x2x31,
x13x2x32,xx3x1,
231
有唯一解？
解由克莱姆法则知，当系数行列式D0，线性方程组有唯一解，

D1

1r1r2120
r3(3r212
31131(1232(51,
38
133801
当D0时，2(510，即当
3．当k为何值时，齐次线性方程组
1
时，题设的线性方程组有唯一解.5
2x1kx2x30,
kx1x2x30,4x5x5x0,
231
有非零解？
解齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D0，
1r1r2k2k10
r35r2k2k1
Dk11k11(123(k1(5k4,
5k40
4555k400
2
k
由D0得：k1，k
4
.5
4．和为何值时，齐次线性方程组
x1x2x30,
x1x2x30,x2xx0,
231
有非零解？
解齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D0，

D1
1
1r2(1r1
r3(1r1
112111
11
10(113(1,
121
210
11
由D0得：0或1.即当0或1时，方程组有非零解.
5．求二次多项式f(xaxbxc，使得f(12，f(110，f(25.解由f(12，f(110，f(25，得

2

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abc2,
abc10,4a2bc5.
要求二次多项式需要求出系数a,b,c，即要求出上述非齐次线性方程组的解.由其系数行列式
14
所以可用克莱姆法则求解.由于
12
11
D11160,
2D110
5
从而
12
11
121
D2110136,
451
14
12
25
116,
D3111018,
a
DD1D
1，b26，c33.DDD
2
即所求的二次多项式为f(xx6x3.

补充练习
2．系数ai1,ai2,ai3,ai4
(i1,2,3,4满足什么条件时，四个平面ai1xai2y
ai3zai40(i1,2,3,4相交于一点（x0,y0,z0）？
解把平面方程写成如下形式
ai1xai2yai3zai4t0，（t1，i1,2,3,4），
于是由四个平面相交于一点，推知齐次线性方程组
a11xa12ya13za14t0,axayazat0,21222324

axayazat0,32333431a41xa42ya43za44t0,
有一非零解（x0,y0,z0,1）.根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式
D0，即四个平面相交于一点的条件为
a11a12
a21a22a31a32a41a42
a13a23a33a43


a14a24a34a44
0.

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3．设平面曲线yaxbxcxd通过点（1，0），（2，-2），（3，2），（4，18），求系数a,b,c,d.
解由平面曲线通过点（1，0），（2，-2），（3，2），（4，18），得
32
abcd0,
8a4b2cd2,

27a9b3cd2,64a16b4cd18.
我们可以通过求解上述线性方程组的解来求系数a,b,c,d.
1D
827
149
112131
12，
641641
又
0D1
221D3
827
149149
11213102
12，
D2
18271
0，
D4
827
02149
11314113
0224,
22
36，
221
181641
1121
6418
6416181
从而
6416418
a
DD1DD
1，b23，c30，d42.DDDD




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第二章矩阵

学习要求

1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵以及它们的性质；
2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律.了解方阵的行列式、方阵的幂与方阵的多项式的性质；
3.理解可逆矩阵的概念和性质，以及理解矩阵可逆的充要条件。理解伴随矩阵的概念，掌握通过伴随矩阵求可逆矩阵的方法；4.知道分块矩阵的概念及其运算规律；
5.了解矩阵等价的概念，掌握矩阵的初等变换，并能用初等变换把矩阵化为阶梯形矩阵、行最简形矩阵和标准形．掌握用初等变换求逆矩阵和矩阵方程．理解初等矩阵的定义及其理论;
6.理解矩阵秩的概念，掌握矩阵秩的相关性质，并能用初等变换求矩阵的秩;

§2.1矩阵的概念
2．图2.1表示了b省三个城市b1、b2、b3和c省三个城市
c1、c2、c3相互间高等级道路的通路情况.试用矩阵表示b
省和c省之间的通路情况.解
图2.1中两省的城市相互间的通路情况可以用矩阵表示，规定矩阵元素
1，城市i与城市j之间有通路aij
0，城市i与城市j之间没有通路
由上规定，
b省和c省之间的城市通路情况可用下列形式表示：
c1

c2110
b1b2b3
101
0
110，记为矩阵A011.1101
1

c3



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补充练习
1.图2.2表示某物质在四个单位之间的转移路线.设
1，物质在单位i和单位j之间有转移
aij
0，物质在单位i和单位j之间没有转移
试用矩阵表示该物质在这四个单位之间的转移路线.
解图2.2中物质在四个单位间的转移情况可用一个
1
2
44矩阵表示：
011000
A
110
101
01.00
3
图2.2


4

y1x1yx22
2．若有线性变换，试写出该线性变换的矩阵.
LLynxn
解该线性替换的矩阵为n阶单位矩阵：
1
1
.En
O
1
3．某一城市在2000年的城市和郊区人口数量分别为r0和s0，一年后约有5%的城市人口移居郊区（其他95%留在城市），而2%的郊区人口移居城市（其他98%留在郊区）.假设2001年的城市和郊区人口数量分别为r1和s1，请用线性方程组表示2001年该市的城市和郊区人口分配情况，并写出相应的移民矩阵.
解根据题意，可写出下列方程组
r1r00.95s00.02

s1r00.05s00.98
该方程组的系数即构成了移民矩阵，即
由：城市
0.950.05
记为
郊区移至：0.020.98
城市郊区
0.95M
0.05

0.02
.0.98


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§2.2矩阵的运算
1322011.设A015，B113，计算A2B和5A3B.624505
解
132201132402
2113015226
A2B015
62450562410010324
031263
13220151510603
31130339
5A3B5015525
62450530102015015
11
345

2、计算
15132341035

111113
221210（4）1013312333

11(121111(111(213(1213
21120121110(2231203
11021111011(2130213

024
438
216
16015
34（5）
2602311
32


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011(35(1061451216(30(1266401

891636

5.设矩阵M为某公司在第一季度生产的四种产品A、B、C、D的产量表：ABCD
30205020一月
二月，M60403010
10201825三月
矩阵N为这四种产品的生产成本的各种费用：
原材料人工杂费
20003000N
5000
4000300150A280180B，250120C

200140D
求该公司第一季度各月生产这四种产品所需的原材料费用、人工费用和杂费.解记该公司第一季度各月所需费用为矩阵K
原材料人工杂费
k11k12
Kk21k22
kk3132k13一月k23二月k33三月
那么k1j(j1,2,3是一月份生产四种产品所需的原材料费用、人工费用和杂费k2j(j1,2,3是二月份生产四种产品所需的原材料费用、人工费用和杂费k3j(j1,2,3是三月份生产四种产品所需的原材料费用、人工费用和杂费根据矩阵乘法定义，有
2000
30205020
3000KMN60403010
1020182550004000
300150280180250120

200140
45000031100169004300003870021200.2700001810010760
所以


实用文档
一月份生产四种产品所需的原材料费用、人工费用和杂费各为450000、31100和16900；二月份所需的原材料费用、人工费用和杂费各为430000、38700和21200；三月份所需的原材料费用、人工费用和杂费各为270000、18100和10760.
补充练习
a102.设A0a1，计算An.00a
解本题的求解方法是：先根据方阵的幂的定义，具体计算A2，A3，A4，…，并从中找出An的规律.找到规律后，用数学归纳法证明该规律.
2
a10a10a2a1
0a10a22a
A2AA0a1
00a00a00a2
a22a1a10a33a2322
AAA0a2a0a10a3
00a200a00

3a
23aa36a2
4a3a4
a33a2

A4A3A0a3
00a44a3
A5A4A0a4
00
3aa10a44a3
043a20a1a3a00a00
6a2a10a55a410a3044a30a1a55a00a0a40a5
……
由以上A的各次幂的计算结果可推断
nn1ana
AnAn1A0an
00
n(n1n2
a2

nan1
an

a101
以下用数学归纳法证明A的幂的规律：当n1时，A0a1显然成立；
00a


实用文档
kk1akak
设当nk时，A0ak
00
于是则有
k(k1k2
a2

nak1成立，
ak

k(k1k2
a
a102
kak10a100aakk(k1k1
a2

(k1ak
ak1

kk1akak1k
当nk1时，AAA0ak
00k1
(k1ak
a
0ak1
00
故由归纳法得
nn1anaAn0an
00
3.计算
n(n1n2
a2

nan1成立.
an

T

16201
（3）4113220

此题有两种求解法：方法一：先求矩阵乘积再转置.故有
16T
0120172014117912913220

方法二：利用矩阵转置运算规律(ABBA.故有
T
T
T
T
1616T
2012014141132132
2020

TT


实用文档
21
142017
03
61012129

4.设A

3
211
,B2130
，C32
T
1T
，求.ABC2
T
T
解此题有两种求解方法：方法一：ABC(ABCCTABCTBTATABC
T
0
311
22
T
33
22
T
1
1
T
031
1233312

2312
2329632
7211
211
方法二：先求矩阵乘积，再作转置.ABC
T
3
21112


30
23



1
2


T
T
1110
344133233312
121223122
T
TT
5.设列矩阵Aa1,a2,L,an，满足AA1，E为n阶单位阵，BE2AA，
T
证明（1）矩阵B是对称阵；（2）BBE.
证明
（1）BE2AA
T
T
T

TT
E2AA
T
TT
E2A
TT

AT
E2AAB
根据对称阵的定义，所以矩阵B是对称阵
（2）方法一：
BBTB2(E2AAT2(E2AAT(E2AAT
(E2AAE(E2AA2AA
T
T
T
E2AAT2AAT2AAT2AAT
E4AAT4A(ATAAT.
由已知AA1，所以
BBE4AA4AAE

T
T
T
T

实用文档
方法二：由于矩阵乘积AAT是一个n阶方阵，而任一n阶方阵与n阶单位阵E是可交换的
即(AAEE(AA，所以
BBB(E2AAE2E2AA
T
2
T2
2
T
T

T
2AAT
2
E4AAT(2AAT(2AATE4AA4A(AAA
由已知ATA1，所以
T
T
T

BBE4AA4AAE
TTT
§2.3可逆矩阵
104
1.求矩阵A321的逆矩阵.
013
解因为A50,故A可逆.又由于M11
21
13
617,M12
3103

9,M133,M214,M223,M231,M318,M3211,M332.所
1112
以，A11(1M117，A12(1M129，A13M133；A21M214，
A22M223，A23M231，A31M318，A32M3211，A33M332.
A11
AA12
A13
A21A22A23
A31748
9A23311A33312
487
555748
119311A1A9311.5A555
332312

555
2.设方阵A满足A2A3E0，证明A2E可逆，并求可逆矩阵.
证AA3EA2EA3E6E3E0A2EA3E3E
2


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即A2E
111
AEE.AE.A2E可逆，A2E33
3.求解下列矩阵方程的X：（1）设矩阵A
2123
,B10,AXB；32
(2A
122132,B,C,AXBC.133215
解（1）A10，A可逆.又M112,M123,M211,M222,
A11
AA
12
A21M11
A22M12M21211*211
32，即AAA32M22
212356
XA1B321089.

(2A10，A可逆因为AA12
*
A11
A21M11
A22M12M2132
M2211
A1
132
AB可逆11.又B10，A
*
B11
由于BB
12B21211211
BBB223232B
3232213419
XA1CB1
1115321710
5.用逆矩阵方法求解下列方程
2x1x22x33,
（1）x12x2x34,
3x4xx2;
231
解方程可写为：
2x1321
121x24341x23


实用文档
221

21A280,所以A可逆.设A1
341
又M11
24
1
11
4,M1310,M219,242,M12
311
M224,M2311,M315,M324,M333
A11

AA12
A13
A21A22A23
A31M11

A23M12
A33M13
M21M22M23
M31295
M32444
M3310113
137x132953
15x2A144444
728x2
31011325
7
1355x1,x2,x3.
777
1
6.设A是三阶矩阵，A,求2A*3A1
4
1**1
解A0,A可逆.又因为AAAE,故AAA.
4
1125155.2A3A2AA3A2A13A1A1A4222
*
1
1
1
3
3
7.设Adiag(1,2,1,ABABA4E,求B.
*
111
解A20A可逆，且A
2
所以可得A2A.
*
1

.又A*AAE,1
*
由ABABA4E得AEBA4E以及(2A

*

1
EBA4E.
3
又2A
1
E2
1
60.则2A1E可逆且


实用文档
2A
1
E

1
13
1.
21
B(2A1E1(4EA14(2A1E1A1
1
1311422
1


4
31.
41

补充练习
120
1
1.设矩阵A201,ABAB，求BE.
112
020

解方法1：ABAB得(AEBA.而AE211,
111

11111
00AE20,故AE可逆，且(AE
23
122
111
所以B(AEA
23211
BE
232

111202
1
00201
21123
12
2
1110.

13

11
1
00，又BE,故可知BE可逆，且
2
12


实用文档
(BE1
020211.111
A(BEEBE（1）
可得(AE(BEE
方法2：ABABABABABAEBE则得到
因为(AE(BEE,AE0,E0,所以BE0,BE可逆将（1）式两边同时右乘(BE，得到AEE(BE
1
1
(BE1，
进而BE
1
020

AE211.
111
011000200004
2.已知A的伴随矩阵为
1
1*
A
02
且ABABA2E,求矩阵B
解首先由A来确定A（由A1
*
11
1*1*1*
A*AAAAAAAAAAAEA
4
3
A*AAA*AAA*A
可知AA8,故A2,
由ABABA2E，可得:AEBA
1
1
1
3
*
2EAEB2A.
求解该矩阵方程有两种方法：
方法1：先求出A.由AAAE,可知，
*


实用文档
AAEA

*1
2A

*1
112
02
1
000-1
1
10012
21201004
2
01120
00120
0200
22011
1104
0010
10
2
00
03
23
AE11

10
0020
00
0，AE270AE可逆32
AE
1
1329
11829
013160
00120
00.023
1329
B2(AE1A2
11829
013160
00120
1
0
20
022
1101023
0010
403
409011
924
9
0
4
00
3
.
1103
200
300
方法2：（AE）B2A，得A(AEBA
1
2A即(EA1B2E.

03
00
2
1202

00300
因A
1
32111*1*
AA.得EA*22A2
01
1
故EAE
1*271A0，所以EA*可逆，222


实用文档
因此(E
1*1A2
2
000
3220011**93(EA
12111EA*018622
2100
39
4
000
3440093
1110934200
39
由此可得B2(E
1*1
A2

§2.4分块矩阵
01
10
1.A
13
12
0010
020012
B,120211
1
023
01
，求AB1100
00E
A10
21
01
O
,其中E
01

10
解把A,B按以下方式分块为A
13
12
310100
E01，A2112，O00.又设

20
12
B
12
21
10

01B11
B2121
31
E0212
,其中,BB11212121,B22
2110
,B22E3101.


实用文档
则AB
E
A21OB11EB21EB11
B22A21B11B2131000011
20

E12
A21B2235
25
1
001
.3421
2
2A2.设矩阵0
022
解令A
00
3A11
所以AO

3
003
，求A和A4.01
02310
,其中,AA11212211.A22
300

100A11

0010
011
3310O223.又,A22.A113A2222331
322
O223300A2200OA22
4
3A311
所以AO

00
00
，10
31A11A22
4
4
A4
A4A11
O
A11A22
4
841484.
13
21
3.设矩阵A
00
0013
21
解令A
00
00
00
001
，求和.AA123200

00A11
O1232
O1312
,其中A1121,A2232.根据A22
分块矩阵的性质，可得：
AA11A22
1312
2132
1
7428.
1
2.14
17131
又A112217

311
1271
2，A22313247

实用文档
1A111
A
O
172O7
1A2200
371700
001234
00.1214

§2.5矩阵的初等变换
11232.请用矩阵初等变换把3214化为标准形矩阵.1022
解
1123r(3r1123rr1123
2321
321405550101r3(1r1r3(5r2

102201010050
3(2c11022c1000c4(2c1
0100c4c2
0101
00100010
1
(r35r1r2
13243.A32511,请用行初等变换把矩阵化为阶梯形矩阵及行最简形矩阵.2137
解
1324r(3r13241324
21
07110711r32r1r3r2
A32511
2137071100001011/725/7

011/71/7
0000
6.用初等变换求下列矩阵的逆矩阵
1
(r2
7r1(3r2
101(1A110;012


实用文档
101M100101M100
011M110r2(1r1
E110M010解AM
012M001012M001
101M100100M211
010M221r3r21r2
011M110
001M111001M111
211r
AEA可逆且A1221
111


r2r3
r1(1r3
101107.试用初等变换求矩阵方程110X21.12302
10110

解记A110,B21
12302101
A11040A可逆
123
在矩阵方程AXB两边同时左乘A，得到的解是XAB．
1
1
101M10r(1r101M10
21
r3(1r1
(AMB110M21011M31
123M02022M12101M10r2r3100M1/40
010M7/41r1(1r3
011M31
001M5/40001M5/40
r3(2r2
(1/4r3
1/40
r
AEA可逆且XA1B7/41
5/40


301
9.设矩阵A和B满足关系式ABA2B，其中A110，求矩阵B.014


实用文档
1
解由ABA2B,有(A2EBA.因为,A2E1
011010,所以
0
1
2
B(A2E1A.下面用初等变换求出矩阵B.
101M301101MA2EMA110M11030r2(1r1
011M21012M014012M01101M301r2r3
r1(1r3
100M522
r3r2011M211010M41r2
32001M223001M223


522
A2Er
EA2E可逆，且B(A2E1A432
223
1
14





线性代数 北京理工大学出版社 习题解答

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