习题92

1 计算下列二重积分

(1) 其中D {(x y)| |x| 1 |y| 1}

解 积分区域可表示为D 1 x 1 1 y 1 于是

(2) 其中D是由两坐标轴及直线xy2所围成的闭区域

解 积分区域可表示为D 0 x 2 0 y 2 x 于是

(3) 其中D {(x y)| 0 x 1 0 y 1}

解

(4) 其中D是顶点分别为(0 0) ( 0) 和( )的三角形闭区域

解 积分区域可表示为D 0 x 0 y x 于是

2 画出积分区域 并计算下列二重积分

(1) 其中D是由两条抛物线 所围成的闭区域

解 积分区域图如 并且D {(x y)| 0 x 1 } 于是

(2) 其中D是由圆周x2y24及y轴所围成的右半闭区域

解 积分区域图如 并且D {(x y)| 2 y 2 } 于是

(3) 其中D {(x y)| |x| |y| 1}

解 积分区域图如 并且

D {(x y)| 1 x 0 x 1 y x 1} {(x y)| 0 x 1 x 1 y x 1}

于是

ee1

(4) 其中D是由直线y2 yx及y2x轴所围成的闭区域

解 积分区域图如 并且D {(x y)| 0 y 2 } 于是

3 如果二重积分的被积函数f(x y)是两个函数f1(x)及f2(y)的乘积 即f(x y) f1(x) f2(y) 积分区域D {(x y)| a x b c y d} 证明这个二重积分等于两个单积分的乘积 即

证明

而

故

由于的值是一常数 因而可提到积分号的外面 于是得

4 化二重积分为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分) 其中积分区域D是

(1)由直线yx及抛物线y24x所围成的闭区域

解 积分区域如图所示 并且

D {(x y)|} 或D {(x y)| }

所以 或

(2)由x轴及半圆周x2y2r2(y 0)所围成的闭区域

解 积分区域如图所示 并且

D {(x y)|}

或D {(x y)| }

所以 或

(3)由直线yx x2及双曲线(x>0)所围成的闭区域

解 积分区域如图所示 并且

D {(x y)|}

或D {(x y)| } {(x y)|}

所以 或

(4)环形闭区域{(x y)| 1 x2y2 4}

解 如图所示 用直线x1和x1可将积分区域D分成四部分 分别记做D1 D2 D3 D4 于是

用直线y1 和y1可将积分区域D分成四部分 分别记做D1 D2 D3 D 4

如图所示 于是

5 设f(x y)在D上连续 其中D是由直线yx、ya及xb(b>a)围成的闭区域

证明

证明 积分区域如图所示 并且积分区域可表示为

D {(x y)|a x b a y x} 或D {(x y)|a y b y x b}

于是 或

因此

6 改换下列二次积分的积分次序

(1)

解 由根据积分限可得积分区域D {(x y)|0 y 1 0 x y} 如图

因为积分区域还可以表示为D {(x y)|0 x 1 x y 1} 所以

(2)

解 由根据积分限可得积分区域D {(x y)|0 y 2 y2 x 2y} 如图

因为积分区域还可以表示为D{(x y)|0x4 } 所以

(3)

解 由根据积分限可得积分区域 如图

因为积分区域还可以表示为 所以

(4)

解 由根据积分限可得积分区域 如图

因为积分区域还可以表示为 所以

(5)

解 由根据积分限可得积分区域D{(x y)|1xe 0yln x} 如图

因为积分区域还可以表示为D{(x y)|0y1 eyx e} 所以

(6)(其中a0)．

解 由根据积分限可得积分区域 如图

因为积分区域还可以表示为

所以

7 设平面薄片所占的闭区域D由直线xy2 yx和x轴所围成 它的面密度为(x y)x2y2 求该薄片的质量

解 如图 该薄片的质量为

8 计算由四个平面x0 y0 x1 y1所围成的柱体被平面z0及2x3yz6截得的立体的体积

解 四个平面所围成的立体如图 所求体积为

9 求由平面x0 y0 xy1所围成的柱体被平面z0及抛物面x2y26z截得的立体的体积

解 立体在xOy面上的投影区域为D{(x y)|0x1 0y1x} 所求立体的体积为以曲面z6x2y2为顶 以区域D为底的曲顶柱体的体积 即

10 求由曲面zx22y2及z62x2y2所围成的立体的体积

解 由消去z 得x2+2y2=62x2y2 即x2y2=2 故立体在xOy面上的投影区域为x2y22 因为积分区域关于x及y轴均对称 并且被积函数关于x y都是偶函数 所以

11 画出积分区域 把积分表示为极坐标形式的二次积分 其中积分区域D是

(1){(x y)| x2y2 a2}(a>0)

解 积分区域D如图 因为D {( )|0 2 0 a} 所以

(2){(x y)|x2y2 2x}

解 积分区域D如图 因为 所以

(3){(x y)| a2 x2y2 b2} 其中0 ab

解 积分区域D如图 因为D {( )|0 2 a b} 所以

(4){(x y)| 0 y 1x 0 x 1}

解 积分区域D如图 因为 所以

12 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分

(1)

解 积分区域D如图所示 因为

所以

(2)

解 积分区域D如图所示 并且

所示

(3)

解 积分区域D如图所示 并且

所以

(4)

解 积分区域D如图所示 并且

所以

13 把下列积分化为极坐标形式 并计算积分值

(1)

解 积分区域D如图所示 因为 所以

(2)

解 积分区域D如图所示 因为 所以

(3)

解 积分区域D如图所示 因为 所以

(4)

解 积分区域D如图所示 因为 所以

14 利用极坐标计算下列各题

(1)，其中D是由圆周x2y24所围成的闭区域

解 在极坐标下D{( )|02 02} 所以

(2)，其中D是由圆周x2y21及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域

解 在极坐标下 所以

(3) 其中D是由圆周x2y24 x2y21及直线y0 yx所围成的第一象限内的闭区域

解 在极坐标下 所以

15 选用适当的坐标计算下列各题

(1)，其中D是由直线x2，yx及曲线xy1所围成的闭区域

解 因为积分区域可表示为 所以

(2) 其中D是由圆周x2y21及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域

解 在极坐标下 所以

(3) 其中D是由直线yx yxa ya y3a(a>0)所围成的闭区域

解 因为积分区域可表示为D {(x y)|a y 3a y a x y} 所以

(4) 其中D是圆环形闭区域{(x y)| a2 x2y2 b2}

解 在极坐标下D {( )|0 2 a b} 所以

16 设平面薄片所占的闭区域D由螺线 2 上一段弧()与直线所围成 它的面密度为 (x y)x2y2 求这薄片的质量

解 区域如图所示 在极坐标下 所以所求质量

17 求由平面y0 ykx(k>0) z0以及球心在原点、半径为R的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积

解 此立体在xOy面上的投影区域D {(x y)|0 arctank 0 R}

18 计算以xOy平面上圆域x2y2ax围成的闭区域为底 而以曲面zx2y2为顶的曲顶柱体的体积

解 曲顶柱体在xOy面上的投影区域为D {(x y)|x2 y2 ax}

在极坐标下 所以

高等数学同济大学第六版本