扬州市2017—2018学年度第一学期期末检测试题

高 二 数 学

2018．1

（满分160分，考试时间120分钟）

注意事项：

1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．

2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）

1．命题“R，”的否定是 ▲ ．

2．直线在轴上的截距为 ▲ ．

3．抛物线的焦点坐标为 ▲ ．

4．曲线在处的切线方程为 ▲ ．

5．在边长为2的正方形内随机取一点，取到的点到正方形中心的距离大于1的概率为 ▲ ．

6．某校学生高一年级有400人，高二年级有300人，高三年级有200人，现用分层抽样的方法从所有学生中抽取一个容量为的样本．已知从高三学生中抽取的人数为10，那么= ▲ ．

7．执行如图所示的程序框图，输出的值为 ▲ ．

8．已知函数的定义域为，集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ▲ ．

9． 已知椭圆上的点到右焦点的距离为2，则点到左准线的距离为 ▲ ．

10．已知双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为 ▲ ．

11．已知函数的定义域为R，是的导函数，且，，则不等式的解集为 ▲ ．

12．已知，，动点满足．设点到点的距离为，则的取值范围为 ▲ ．

13．斜率为直线经过椭圆的左顶点，且与椭圆交于另一个点，若在轴上存在点使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率

为 ▲ ．

14． 已知函数在的值域为，则实数的最小值为 ▲ ．

二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本题满分14分）

已知命题：“椭圆的焦点在轴上”；命题：“关于的不等式在R上恒成立”．

（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；

（2） 若命题“或”为真命题、“且”为假命题，求实数的取值范围．

16．（本题满分14分）

为了让学生更多地了解“数学史”知识，某班级举办一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”

的数学史知识竞赛活动．现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表：

（1）填充上述表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；

（2）若利用组中值近似计算数据的平均数，求此次数学史初赛的平均成绩；

（3）甲同学的初赛成绩在，学校为了宣传班级的学习经验，随机抽取分数在的4位同学中的两位同学到学校其他班级介绍，求甲同学被抽取到的概率．

17．（本题满分14分）

已知圆的半径为3，圆心在轴正半轴上，直线圆相切．

（1）求圆的方程；

（2）过点的直线与圆交于不同的两点且，求的值．

18．（本题满分16分）

某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量（万只）与时间（年）（其中）的关系为．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值（其中为常数，且）来进行生态环境分析．

（1）当时，求比值取最小值时的值；

（2）经过调查，环保部门发现：当比值不超过时不需要进行环境防护．为确保恰好3年不需要进行保护，求实数的取值范围．（为自然对数的底，）

19．（本题满分16分）

已知椭圆的右准线方程为，又离心率为，椭圆的左顶点为，上顶点为，点为椭圆上异于任意一点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值．

20．（本题满分16分）

已知：函数．

（1）当时，求函数的极值；

（2）若函数，讨论的单调性；

（3）若函数的图象与轴交于两点，且．设，其中常数、满足条件，且．试判断在点处的切线斜率的正负，并说明理由．

扬州市2017—2018学年度第一学期期末检测试题

高 二 数 学 参 考 答 案 2018．1

1．R， 2． 3． 4． 5． 6．45 7．

8． 9．4 10． 11． 12． 13． 14．

15．解：（1）真：椭圆的焦点在轴上 ∴ …………5分

（2）∵“或”为真命题、“且”为假命题 ∴真假或假真………………7分

真：∵关于的不等式在R上恒成立

∴，解得： ……………………11分

∴或 解得：或

∴实数a的取值范围是或． ……………………14分

16．解：（1）①22；②14；③0.28； ……………………3分

（2）； ……………………8分

（3）记“甲同学被抽取到”为事件，设四名学生为甲、乙、丙、丁，则总的基本事件为：

甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6个基本事件；满足事件的基本事件：甲乙、

甲丙、甲丁，共3个基本事件，则 ……………………13分

答：此次数学史初赛的平均成绩为，甲同学被抽取到的概率为．……………………14分

17．解：（1）设，∵直线圆相切，且圆的半径为3

∴，解得或 ∵ ∴ ……………………5分

∴圆的方程为：； ……………………7分

（2）若直线的斜率不存在，则直线∴，不符合题意，舍；

若直线的斜率存在，设：

∵ ∴点到直线的距离为，即，

化简得： ∴ ……………………9分

联立方程：，消去得：∴ ……14分

18．解：（1）当时，，∴……………………3分

列表得：

…………………6分

∴在上单调减，在上单调增 ∴在时取最小值；……………………8分

（2）∵ 根据（1）知：在上单调减，在上单调增

∵确保恰好3年不需要进行保护 ∴，解得：

答：实数的取值范围为． ……………………16分

19．解：（1）∵椭圆的右准线方程为∴ ∵离心率为∴

∴ ∴ ∴椭圆的方程为：； ………………6分

（2）方法（一）设点，则，，即．

当时，，则， ∴………………8分

∵点异于点∴

当且时，设直线方程为：，它与轴交于点

直线方程为：，它与轴交于点

∴，…………12分

∴

为定值． ……………………16分

方法（二）若直线斜率不存在，则直线方程为：，此时，则，

∴ ………………8分

若直线斜率存在，设直线方程为：，且

∴且 ………………10分

则联立方程：，消去得：，解得：或，

即点∵点异于点∴

∴

∴直线的方程为：，

则且 ………………14分

∴为定值． ………………16分

20．解：（1）当时， ∴，令，则，列表得：

∴有极小值，无极大值； ……………………3分

（2），∴，设

①当时，恒成立，即恒成立，∴在上单调减；

②当且，即时，恒成立，且不恒为0，则恒成立，且不恒为0，∴在上单调减；

③当且，即时，

有两个实数根：，且

∴ ∴当或时，，；当时，，；

∴在和上单调减，在上单调增．

∴综上：当时，在上单调减；当时，在和上单调减，在上单调增． ……………………7分

（3），，问题即为判断的符号．

∵函数的图象与轴交于两点，且

∴ 两式相减得：

∴ ……………………9分

∴

∵且 ∴ ∵ ∴………………11分

研究：的符号，即判断的符号．

令，，设

∴

方法（一）设，其对称轴为：

∴在上单调减，则，即在上恒成立 ∴在上单调增 ∴，即 ……………14分

∵ ∴

∴，即

∴在点处的切线斜率为正． ……………………16分

方法（二）

∵， ∴∴在上恒成立

∴在上单调增 ∴，即 ……………14分

∵ ∴

∴，即

∴在点处的切线斜率为正． ……………………16分

扬州市2017-2018高二上学期期末数学测试