高一上学期知识点及解题技巧归纳

一、常见不等式解法

1.含绝对值不等式的解法

2.一元二次不等式的解法

【提示】

(1)一元二次不等式的解为“大两边、小中间”，即“大于大根或小于小根”，“大于小根小于大根”.

(2)若a<0，是什么情况？一元二次不等式、一元二次方程、一元二次函数区别与联系？望自行思考.

3.分式不等式：

（1）； （2）；

（3） ； （4）.

4.指数不等式与对数不等式

(1)当时,；.

(2)当时,；

5.经典例题及易混易错题型

略.

二、与集合相关的知识

1.集合间的基本关系

【易错点拔】

(1)包含A=B和AB两种情况. AB分A= Ø和A≠ Ø两种情况.

(2)与∈的区别.

(3)Ø 与{Ø}的区别：前者代表空集，后者代表一个集合，这个集合的元素的空集，属于集中集. Ø∈{Ø}、Ø{Ø}均正确.

【解题思路点拔】

学好集合间基本关系须熟记四个结论：

(1)是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

(2)任何一个集合是它本身的子集，AA.只有一个子集，就是它本身.

(3)集合是子集和真子集具有传递性，若且，则.

(4)已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.

2.集合的基本运算

【常用公式及结论】

(1)容斥原理：

(2)

例：A ={(x，y)| y =x+1} ,B={y|y =x2+1} ,则A∩B =.

解题思路及注意点：读懂集合中元素的意义是解决集合问题的关键.

例：，，其中,若,求r的取值范围.

【解题思路点拔】

学好集合问题须做到“五看”：

一看代表元素，分清数集、点集、还是其它集合；

二看约束条件；

三看能否化简，化简后再研究集合，将变得简单；

四看能否数形结合，它是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、坐标轴或韦恩图.

五看端点值能不能取等号；同时还要注意各个端点的画法，即实心的点与空心的圆圈的应用.

3.经典例题及易混易错题型

忽视空集是任何非空集合的子集，导致思维不全面.

,勿忘空集和集合本身. 树立分类讨论思想，分Φ和非空集合两种情况进行讨论.

例：设，，若，求实数a组成的集合的子集有多少个？答案：a=，故其子集共有个.

例:已知集合、，若，则实数a的取值范围是 。答案：或.

易错点分析：读不懂集合，导致求x2+1 =x-1的根。

A ={y|y =x2+1} ， B={y|y =x-1} ,则A∩B =[1，+∞).

三、函数及其表示

1.映射与函数的区别与联系

区别：主要区别体现在对集合的要求上，映射定义中两个集合为“非空集合”，函数定义中两个集合为“非空数集”.即映射可以是非空图集到非空图集的映射，也可是非空图集到非空数集的映射.函数仅为非空数集到非空数集.

联系：均为一对一或一对多，不可多对一.函数是数集上的一种映射，即函数是特殊的映射，映射是函数概念的推广.

【提示】

(1)函数图像是特点是什么？判断两个非空数集能否构成函数，须看是否满足任意性、存在性、唯一性，缺一不可.须会从图形和代数式两种判断方法.

(2)原象、象与函数定义域、值域区别与联系？函数定义域、值域与集合A和集合B的关系？函数定义域=集合A, 函数值域集合B.

(3)从集合到集合的映射有个.

(4)第一个集合中的元素必须有象.

2.函数的三要素:定义域、值域和对应法则．讲解如何从图像尤其是分段函数图像判断定义域和值域.

树立函数定义域优先原则，在求解函数单调区间、值域、奇偶性时，均要先求函数定义域.

3.两个函数相同的定义及判断方法

只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）.与表示自变量和函数值的字母无关.

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备).实际解题时，定义域、对应法则哪一要素容易判断不相等，先判断谁，只要有一个不相等，即不为同一函数.

4.常见函数概念

（1）分段函数

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

（2）复合函数

将原函数分解为两个基本函数：内函数与外函数， 称为f、g的复合函数.

(3)反函数

就是把y与x互换一下，用含有y的代数式表示x.为了书写习惯，再调换x、y位置即可.

a.单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的（如）．因此，所有偶函数不存在反函数．

b.如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数．

c.互为反函数的两个函数增减性相同．

d.函数f（x）与它的反函数f-1（x）图象关于直线y=x对称

e.一般地，的反函数．是先的反函数，在左移三个单位．是先左移三个单位，在的反函数．

(4)抽象函数

无具体函数解析式的函数均为抽象函数.

5.函数定义域的求法

(1)具体函数定义域求法

一般遵循以下原则：

a.是整式时，定义域是全体实数．

b.是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．

c.是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．

d.对数函数的真数大于零，当指数、对数、指数函数或对数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．

e.零（负）指数幂的底数不能为零．

f.若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．

h.对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．

i.由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．

(2)抽象函数或复合函数定义域求法

a.若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出.

b. 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域.

6.函数值域或最值求法：

(1)分析或观察法: 对于比较简单的函数，通过观察直接得到值域或最值．

(2) 利用常见函数值域法：熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及幂函数的值域，是求解复杂函数值域的基础.

（3）配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．

(4)判别式法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程，则在时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值．

(5)函数单调性法

(6)换元法

(7)利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）

（8）分离常数法

（9）反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．

（10）数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．

（11）利用函数有界性（等）.

（12）不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．

与值域求法相关的变型题（已知函数值域，求解参数范围）

已知函数（1）如果函数的定义域为R求实数m的取值范围。（2）如果函数的值域为R求实数m的取值范围。

【易错点分析】此题学生易忽视对是否为零的讨论，而导致思维不全面而漏解。另一方面对两个问题中定义域为R和值域为R的含义理解不透彻导致错解。

解析：（1）据题意知若函数的定义域为R即对任意的x值恒成立，令，当=0时，即或。经验证当时适合，当时，据二次函数知识若对任意x值函数值大于零恒成立，只需解之得或综上所知m的取值范围为或。

（2）如果函数的值域为R即对数的真数能取到任意的正数，令当=0时，即或。经验证当时适合，当时，据二次函数知识知要使的函数值取得所有正值只需解之得综上可知满足题意的m的取值范围是。

【知识点归类点拔】对于二次型函数或二次型不等式若二次项系数含有字母，要注意对字母是否为零进行讨论即函数是一次函数还是二次函数不等式是一次不等式还是二次不等式。同时通过本题的解析同学们要认真体会这种函数与不等式二者在解题中的结合要通过二者的相互转化而获得解题的突破破口。再者本题中函数的定义域和值域为R是两个不同的概念，前者是对任意的自变量x的值函数值恒正，后者是函数值必须取遍所有的正值二者有本质上的区别。

7.函数解析式求法

函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

1.待定系数法：若已知函数解析式的构造时，可用待定系数法.

2.换元法或配凑法: 已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意新元的取值范围. 当已知表达式较简单时，也可用凑配法.

3.消元/参法或构造方程组法: 若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x).

4.图形法：已知函数尤其是分段函数图像求解析式

四、函数单调性判断方法

(一)增减函数图像特点:在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.另外一种夹角说法.

（二）判断方法

1. 定义法：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号.

2.多个函数四则运算单调性:

若函数f(x)与g(x)在区间I上有相同的单调性，则在区间I上有以下性质：

f(x)与f(x)+C有相同单调性；

f(x)与af(x)有相同单调性(a>0); f(x)与af(x)有相反单调性(a<0);

f(x)与g(x)都是增函数或减函数，f(x)+或-g(x)是增函数或减函数；

f(x)与g(x)都是增函数或减函数时，若两者都大于0，则f(x)* g(x)也是增函数或减函数；若两者都小于0，则f(x)* g(x)也是减函数或增函数.

3.复合函数单调性:

(1)首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数

(2)分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性

(3)根据“同增异减”来判断原函数在其定义域内的单调性.

4.图像法：略.

(三)经典例题及易混易错题型

例.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)－2a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=()的单调递减区间.

解：设0则－x2<－x1<0，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调递增，

∴f(－x2)－x1),∵f(x)为偶函数，∴f(－x2)=f(x2),f(－x1)=f(x1),

∴f(x2)x1).∴f(x)在(0，+∞)内单调递减.

由f(2a2+a+1)－2a+1)得：2a2+a+1>3a2－2a+1.解之，得0

又a2－3a+1=(a－)2－.

∴函数y=()的单调减区间是［，+∞］

结合0得函数y=()的单调递减区间为［，3).

例.是否存在实数a使函数在上是增函数？若存在求出a的值，若不存在，说明理由。

【易错点分析】本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法，在解题过程中易忽略对数函数的真数大于零这个限制条件而导致a的范围扩大。

解析：函数是由和复合而成的，根据复合函数的单调性的判断方法（1）当a>1时，若使在上是增函数，则在上是增函数且大于零。故有解得a>1。（2）当a<1时若使在上是增函数，则在上是减函数且大于零。不等式组无解。综上所述存在实数a>1使得函数在上是增函数

【知识归类点拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）。

例.Y=1/x的单调区间，不能说函数在（-∞，0）U(0,+∞)上为减函数，不能说函数在（-∞，0）或(0,+∞)上为减函数，只能说在（-∞，0）和(0,+∞)上为减函数.

五、函数奇偶性判断方法

（一）函数具备奇偶性的前提条件

1.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件（定义域关于原点对称的函数，才有可能具备奇偶性）.

2.求解函数奇偶性，优先求函数定义域，务必树立定义域优先的思想.

3.什么叫做定义域关于原点对称？

(二)奇偶性概念

1.奇函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=－f（x）〔或f（x）+f（－x）=0〕，则称f（x）为奇函数.

2.偶函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=f（x）=f(|x|)〔或f（x）－f（－x）=0〕，则称f（x）为偶函数.

(三) 奇偶性判断方法

1.定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断或是否定义域上的恒等式；

2.图象法：略.

3.性质法：

设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；偶奇不确定.

4.复合函数法：构成复合函数，只要有偶函数就是偶函数，全是奇函数为奇函数.

5.反函数法：若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数.

6.多项式函数的奇偶性

多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

(四)奇、偶函数的性质

1.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称. 反之成立.

2.若奇函数的定义域包含数0，则f（0）=0.

3.奇函数的反函数也为奇函数.

4.定义在（－∞，+∞）上的任意函数f（x）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.

5.在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性.

6.既是奇函数又是偶函数的函数只有一种模型，即f(x)=0，x属于D,D关于原点对称.

7.f(x)是偶函数与f(x+3)是偶函数的区别：函数f(x+3)为偶函数 ，则f(x+3)=f(-x+3)；f(x)是偶函数，则f(x+3)=f(-x-3).

f(x)是奇函数: f(-x)=-f(x)，f(2x+1)是奇函数: f(-2x+1)=-f(2x+1). 令g(x)=f(2x+1)，即g(x)是奇函数问题，即g(-x)=-g(x)，即f(-2x+1)=-f(2x+1).

8.函数分类：既不是奇函数又不是偶函数；奇函数；偶函数；既是奇函数又是偶函数.

（五）经典例题及易混易错题型

例.判断下列函数的奇偶性：

①既是奇函数又是偶函数

②非奇非偶函数

判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。

例.判断函数的奇偶性.

【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：从而得出函数为非奇非偶函数的错误结论。

解析：由函数的解析式知x满足即函数的定义域为定义域关于原点对称，在定义域下易证即函数为奇函数。

易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。

例.函数的反函数为，证明是奇函数且在其定义域上是增函数。

六、函数图像问题

（一）图像画法

1.描点法

2.图象变换法

平移变换：ⅰ)，———左“+”右“－”；

ⅱ)———上“+”下“－”；

若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；

若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图象.

注意：左“+”右“－”仅针对x而言，不可针对-x或Kx.

对称变换：ⅰ)；ⅱ)；

ⅲ)； ⅳ)；

翻折变换：

ⅰ)———（去左翻右）y轴右不动，右向左翻（在左侧图象去掉）；

ⅱ)———（留上翻下）x轴上不动，下向上翻（||在下面无图象）.

（二）画图技巧及识图技巧

1.关于二次函数

（1）二次函数一般式：；顶点式：，为顶点；零点式：（a≠0）.

（2）二次函数问题解决需考虑的因素：

①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。

二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是.

(3)可以根据二次函数性质比较两个函数值的大小.若开口向上，到对称抽距离大的自变量对应的函数值大；若开口向小，到对称抽距离大的自变量对应的函数值小.

2.反比例、指数、对数、幂函数图像走向:

向x、y轴正负方向无限延伸.

3.指数函数、对数函数、幂函数增长差异:

总存在一个x0，当x>x0时，有logax

4.如何在一个图像画分段函数图像，即将指数、对数、幂函数、一次函数、二次函数画在一个坐标系中？

奇函数在关于原点对称的区间内单调性一致（在整个定义域内未必单调），推广：函数在其对称中心两侧单调性相同。偶函数在关于原点对称的区间内单调性相反，推广：函数在其对称轴两侧的单调性相反；此时函数值的大小取决于离对称轴的远近。

是一种重要的函数模型，要引起重视并注意应用。但注意本题中不能说在上为增函数，在上为减函数,在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”.

七、特殊模型和抽象函数

常用变换：．

②

八、判断函数零点（方程的根）所在区间

1.解方程：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定的区间上.

2.零点的存在性定理：

3.图像法：画出相应函数图像，通过观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或转为两个函数图像在给定区间有无交点判断.

高一上学期知识点归纳