2017-2018学年江苏省泰州市姜堰市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：（每题3分，共18分）

1．（3分）计算sin45°的值等于（ ）

A．word/media/image2.gif B．word/media/image3.gif C．word/media/image4.gif D．word/media/image5.gif

2．（3分）一元二次方程x2+px﹣6＝0的一个根为2，则p的值为（ ）

A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2

3．（3分）把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ）

A．y＝﹣2（x+1）2+1 B．y＝﹣2（x﹣1）2+1

C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y＝﹣2（x+1）2﹣1

4．（3分）如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（ ）

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A．AC：BC＝AD：BD B．AC：BC＝AB：AD

C．AB2＝CD•BC D．AB2＝BD•BC

5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数y＝word/media/image7.gif位于第一象限的图象上，则k的值为（ ）

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A．9word/media/image9.gif B．9word/media/image10.gif C．3word/media/image10.gif D．3word/media/image9.gif

6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心作⊙O交x轴正半轴于A，P为⊙O上的动点（点P不在坐标轴上），过点P作PC⊥x轴，PD⊥y轴于点C、D，B为CD中点，连接AB，则∠BAO的最大值是（ ）

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A．15° B．30° C．45° D．60°

二、填空题：（每题3分，共30分）

7．（3分）抛物线y＝2x2﹣3的顶点坐标为 ．

8．（3分）已知方程x2+5x+1＝0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2＝ ．

9．（3分）把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1＝word/media/image12.gif，则∠2的度数为 ．

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10．（3分）在学校的歌咏比赛中，10名选手的成绩如统计图所示，则这10名选手成绩的众数是 ．

word/media/image14.gif

11．（3分）拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：word/media/image15.gif，坝高BC＝10m，则坡面AB的长度是 m．

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12．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E．若AB＝2，BC＝4，BD＝1.5，则线段DE的长为 ．

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13．（3分）已知圆锥的母线为10，底面圆的直径为12，则此圆锥的侧面积是 ．

14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠BAC＝22°，则∠ADC的度数是 ．

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15．（3分）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为 元．

16．（3分）如图，一次函数y＝1+word/media/image19.gifx的图象与二次函数y＝2x2﹣8x+3的对称轴交于A点，函数y＝kx（k≠0）的图象与y＝1+word/media/image19.gifx的图象、二次函数y＝2x2﹣8x+3的对称轴分别交于B点和C点，若△ABC是等腰三角形，则tan∠ACB＝ ．

word/media/image20.gif

三、解答题：（共102分）

17．（10分）（1）计算：（word/media/image21.gif）﹣1﹣3tan30°+（1﹣π）0word/media/image22.gif．

（2）解分式方程：word/media/image23.gif＝word/media/image24.gif﹣1．

18．（8分）已知M＝5y2+3，N＝4y+4y2．

（1）求当M＝N时y的值；

（2）求M﹣N的最值．

19．（8分）某商场今年8～12月A、B两种品牌的冰箱的销售情况如下表（单位：台）：

通过整理，得到数据分析表如下：

（1）求出表中a、b、c的值；

（2）比较该商场8～12月这两种品牌冰箱月销售量的稳定性．

20．（10分）学校召集留守儿童过端午节，桌上摆有甲、乙两盘粽子，每盘中盛有白粽2个，豆沙粽1个，肉粽1个（粽子外观完全一样）．

（1）小明从甲盘中任取一个粽子，取到豆沙粽的概率是 ；

（2）小明在甲盘和乙盘中先后各取了一个粽子，请用树状图或列表法求小明恰好取到两个白粽子的概率．

21．（10分）某公司今年销售一种产品，1 月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率．

22．（10分）如图，已知抛物线y＝x2+kx﹣6的图象与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C，tan∠OCB＝word/media/image25.gif．

（1）求k的值；

（2）若点P（m，﹣2m）在该抛物线上，求m的值．

word/media/image26.gif

23．（10分）如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路10m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9秒，已知∠B＝30°，∠C＝45°．

（1）求B，C之间的距离；（保留根号）

（2）如果此地限速为80km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：word/media/image27.gif≈1.7，word/media/image28.gif≈1.4）

word/media/image29.gif

24．（10分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC为⊙O的直径，DB＝DC，延长BA、CD相交于E点．

（1）求证：∠EAD＝∠CAD；

（2）若AC＝10，sin∠BAC＝word/media/image30.gif，求AD的长．

word/media/image31.gif

25．（12分）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的右边），与y轴交于C点．

（1）求抛物线y＝（x+a）（x﹣a﹣1）的对称轴；

（2）若点D（2﹣2a，m）在二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）的图象上，其中m＜0，a为整数．

①a的值；

②点P为二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）对称轴上一点，△ACP为以AC为腰的等腰三角形，求P点的坐标．

word/media/image32.gif

26．（14分）如图，已知矩形ABCD中AB＝2，BC＝a，E为DC延长线上一点，CE＝1．

（1）连接AC、AE，求tan∠ACB•tan∠BAE的值；

（2）P为线段BC上的点，且以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、E三点为顶点的三角形相似．

①若a＝4，求线段BP的长；

②若满足条件的点P有且只有2个，求a的值或取值范围．

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2017-2018学年江苏省泰州市姜堰市九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（每题3分，共18分）

1．【解答】解：sin45°＝word/media/image34.gif

故选：C．

2．【解答】解：把x＝2代入x2+px﹣6＝0得4+2p﹣6＝0，

解得p＝1．

故选：C．

3．【解答】解：∵函数y＝﹣2x2的顶点为（0，0），

∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），

∴将函数y＝﹣2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+1，

故选：B．

4．【解答】解：∵∠B＝∠B，

∴当word/media/image35.gif时，

△ABC∽△DBA，

当AB2＝BD•BC时，△ABC∽△DBA，

故选：D．

5．【解答】解：word/media/image36.gif

连接OB，过B作BG⊥OA于G，

∵ABCDEF是正六边形，

∴∠AOB＝60°，

∵OB＝OA，

∴△AOB是等边三角形，

∴OB＝OA＝AB＝6，

∵BG⊥OA，

∴∠BGO＝90°，

∴∠OBG＝30°，

∴OG＝word/media/image37.gifOB＝3，由勾股定理得：BG＝3word/media/image38.gif，

即B的坐标是（3，3word/media/image38.gif），

∵B点在反比例函数y＝word/media/image39.gif上，

∴k＝3×3word/media/image38.gif＝9word/media/image38.gif，

故选：B．

6．【解答】解：∵B为CD中点，四边形OCPD为矩形，

∴点B为对角线CD、OP交点，

即点B为OP中点，连接OP，

由题意可知，当BA⊥OP时∠BAO最大，

设半径为2a，则OB＝a，OA＝2a，

在Rt△ABO中，

sin∠BAO＝word/media/image40.gif，

∠BAO＝30°．

故选：B．

word/media/image41.gif

二、填空题：（每题3分，共30分）

7．【解答】解：

∵抛物线y＝2x2﹣3，

∴抛物线顶点坐标为（0，﹣3），

故答案为：（0，﹣3）．

8．【解答】解：

∵方程x2+5x+1＝0的两个实数根分别为x1、x2，

∴x1+x2＝﹣5，

故答案为：﹣5．

9．【解答】解：∵sin∠1＝word/media/image42.gif，

∴∠1＝45°，

∵直角△EFG中，∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣45°＝45°，

∴∠4＝180°﹣∠3＝135°，

又∵AB∥CD，

∴∠2＝∠4＝135°．

故答案为：135°．

word/media/image43.gif

10．【解答】解：根据折线统计图可得：

90分的人数有5个，人数最多，则众数是90；

故答案为：90．

11．【解答】解：∵迎水坡AB的坡比是1：word/media/image44.gif，坝高BC＝10m，

∴word/media/image45.gif＝word/media/image46.gif＝word/media/image47.gif，

解得：AC＝10word/media/image48.gif，

则AB＝word/media/image49.gif＝20（m）．

故答案为：20．

12．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，

∴word/media/image50.gif＝word/media/image51.gif，即word/media/image52.gif，

∴BE＝3，

∴DE＝3+1.5＝4.5．

故答案为：4.5．

13．【解答】解：底面圆的半径为6，则底面周长＝12π，圆锥的侧面积＝word/media/image53.gif×12π×10＝60π．

故答案为：60π．

14．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝90°﹣22°＝68°．

∴∠ADC＝∠ABC＝68°．

故答案为：68°．

15．【解答】解：设利润为w元，

则w＝（x﹣20）（30﹣x）＝﹣（x﹣25）2+25，

∵20≤x≤30，

∴当x＝25时，二次函数有最大值25，

故答案是：25．

16．【解答】解：分两种情况：

如图1，当AB＝AC时，∠ACB＝∠ABC，

y＝word/media/image54.gifx+1中，当x＝0时，y＝1，

∴E（0，1），OE＝1，

当y＝0时，word/media/image54.gif +1＝0，x＝﹣word/media/image55.gif，

∴F（﹣word/media/image55.gif，0），OF＝word/media/image56.gif，

∴EF＝2，

∴∠EFO＝30°，∠OEF＝60°，

∵OE∥AC，

∴∠BAG＝∠OEF＝60°，

∵∠BAG＝∠ACB+∠ABC，

∴∠ACB＝30°，

∴tan∠ACB＝tan30°＝word/media/image57.gif；

如图2，当AB＝BC时，∠BAC＝∠ACB，

∵OE∥AC，

∴∠BEO＝∠BAC＝60°，

∴∠ACB＝60°，

∴tan∠ACB＝tan60°＝word/media/image56.gif；

综上所述，tan∠ACB＝word/media/image57.gif或word/media/image56.gif；

故答案为：word/media/image57.gif，word/media/image56.gif

word/media/image58.gif

word/media/image59.gif

三、解答题：（共102分）

17．【解答】解：（1）原式＝2﹣3×word/media/image60.gif+1+2word/media/image61.gif

＝3+word/media/image61.gif；

（2）方程的两边同乘（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）＝x（x+1）﹣（x+1（x﹣1），

∴2x﹣2＝x2+x﹣x2+1，

解得x＝3．

检验：把x＝3代入（x+1）（x﹣1）＝8≠0，即x＝3是原分式方程的解，

∴原方程的解：x＝3．

18．【解答】解：（1）当M＝N时，

即5y2+3＝4y+4y2

所以y2﹣4y+3＝0

解得：y1＝1，y2＝3

即当y＝1或y＝3 时，M＝N．

（2）M﹣N

＝5y2+3﹣4y﹣4y2

＝y2﹣4y+3

＝（y2﹣4y+4）﹣1

＝（y﹣2）2﹣1

即当y＝2时，M﹣N有最小值﹣1

19．【解答】解：（1）A品牌的销售量由小到大排列为：13，14，15，16，17，A品牌的中位数为15，即b＝15；

B品牌的销售量由小到大排列为：10，14，15，16，20，平均数为word/media/image62.gif＝15，

方差为word/media/image63.gif[（10﹣15）2+（14﹣15）2+（15﹣15）2+（16﹣15）2+[（20﹣15）2]＝10.4，

即a＝15，c＝10.4；

（2）∵10.4＞2，即B品牌的方差＞A品牌的方差，

∴该商场8～12月A种品牌冰箱月销售量较稳定．

20．【解答】解：（1）∵甲盘中一共有4个粽子，其中豆沙粽子只有1个，

∴小明从甲盘中任取一个粽子，取到豆沙粽的概率是word/media/image64.gif，

故答案为：word/media/image64.gif；

（2）画树状图如下：

word/media/image65.gif

由树状图可知，一共有16种等可能结果，其中恰好取到两个白粽子有4种结果，

∴小明恰好取到两个白粽子的概率为word/media/image66.gif＝word/media/image67.gif．

21．【解答】解：设这个增长率为x．

依题意得：20（1+x）2﹣20（1+x）＝4.8，

解得 x1＝0.2，x2＝﹣1.2（不合题意，舍去）．

0.2＝20%．

答：这个增长率是20%．

22．【解答】解：（1）由题意C（0，6），

∵tan∠OCB＝word/media/image68.gif＝word/media/image69.gif，OC＝6，

∴OB＝3，

∴B（3，0）代入y＝x2+kx﹣6得到，0＝9+3k﹣6

∴k＝﹣1．

（2）P（m，﹣2m）在抛物线y＝x2﹣x﹣6上，

∴﹣2m＝m2﹣m﹣6，

解得m＝﹣3或m＝2．

23．【解答】解：（1）如图作AD⊥BC于D．则AD＝10m，

在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，

∴AD＝CD＝10m，

在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，

∴tan30°＝word/media/image70.gif，

∴BD＝word/media/image71.gifAD＝10word/media/image71.gifm，

∴BC＝BD+DC＝（10+10word/media/image72.gif）m．

（2）结论：这辆汽车超速．

理由：∵BC＝10+10word/media/image73.gif27m，

∴汽车速度＝word/media/image74.gif＝30m/s＝108km/h，

∵108＞80，

∴这辆汽车超速．

word/media/image75.gif

24．【解答】（1）证明：∵A、B、C、D四点共圆，

∴∠EAD＝∠BCD，

∵BD＝CD，

∴∠DBC＝∠BCD，

∴∠EAD＝∠DBC，

∵∠DBC＝∠CAD，

∴∠EAD＝∠CAD；

（2）解：∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC＝∠ADC＝90°，

∵AC＝10，sin∠BAC＝word/media/image76.gif，

∴word/media/image77.gif，

∴BC＝6，AB＝8，

∵∠EAD＝∠CAD，∠ADC＝∠ADE＝90°，

∴∠E＝∠ACE，

∴AE＝AC＝10，ED＝CD，

∵∠ADE＝∠EBC，∠E＝∠E，

∴△EAD∽△ECB，

∴word/media/image78.gif即word/media/image79.gif得：ED＝3word/media/image80.gif，AD＝word/media/image80.gif．

25．【解答】解：（1）y＝（x+a）（x﹣a﹣1）＝x2﹣x﹣a2﹣a，

抛物线的对称轴为直线x＝﹣word/media/image81.gif＝word/media/image76.gif；

（2）①当y＝0时，（x+a）（x﹣a﹣1）＝0，解得x1＝﹣a，x2＝a+1，

∴B（﹣a，0），A（a+1，0），

∵点D（2﹣2a，m）在二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）的图象上，其中m＜0，

∴点D在x轴下方的抛物线上，

∴﹣a＜2﹣2a＜a+1，解得word/media/image76.gif＜a＜2，

∵a为整数，

∴a的值为1；

②a＝1时，抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2，A点坐标为（2，0），

当x＝0时，y＝x2﹣x﹣2＝﹣2，则C（0，﹣2），

设P（word/media/image76.gif，t），

AC2＝22+22＝8，PC2＝（word/media/image76.gif）2+（t+2）2，PA2＝（word/media/image76.gif﹣2）2+t2，

当CP＝CA时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形，即（word/media/image76.gif）2+（t+2）2＝8，解得t1＝﹣2+word/media/image82.gif，t2＝﹣2﹣word/media/image82.gif，此时P点坐标为（word/media/image76.gif，﹣2+word/media/image82.gif）或（word/media/image76.gif，﹣2﹣word/media/image82.gif）；

当AP＝AC时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形，即（word/media/image76.gif﹣2）2+t2＝8，解得t1＝word/media/image82.gif，t2＝﹣word/media/image82.gif，此时P点坐标为（word/media/image76.gif，word/media/image82.gif）或（word/media/image76.gif，﹣word/media/image82.gif）；

综上所述，P点坐标为（word/media/image76.gif，﹣2+word/media/image82.gif）或（word/media/image76.gif，﹣2﹣word/media/image82.gif）或（word/media/image76.gif，word/media/image82.gif）或（word/media/image76.gif，﹣word/media/image82.gif）．

26．【解答】解：（1）如图1，

∵四边形ABCD是矩形，

∴CD＝AB＝2，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB∥DC，

∴∠BAE＝∠DEA，

在Rt△ABC中，tan∠ACB＝word/media/image81.gif＝word/media/image76.gif，

在Rt△ADE中，DE＝CD+CE＝3，tan∠AED＝word/media/image81.gif＝word/media/image76.gif，

∴tan∠BAE＝word/media/image76.gif，

∴tan∠ACB•tan∠BAE＝word/media/image76.gif

（2）①∵a＝4，

∴BC＝4，

设BP＝m，∴CP＝4﹣m，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝∠BCE＝90°，

∵以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、E三点为顶点的三角形相似，

∴Ⅰ、△PAB∽△PEC，

∴word/media/image83.gif，

∴word/media/image83.gif，

∴m＝word/media/image76.gif

Ⅱ、△PAB∽△EPC，

∴word/media/image83.gif，

∴word/media/image83.gif，

∴m＝2+word/media/image84.gif或m＝2﹣word/media/image84.gif，

②设BP＝x，∴CP＝a﹣x，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝∠BCE＝90°，

∵以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、E三点为顶点的三角形相似，

当△PBA∽△PCE时，可得word/media/image83.gif得word/media/image83.gif得word/media/image85.gif（Ⅰ）

当△PBA∽△ECP时，可得word/media/image83.gif得word/media/image83.gif得x2﹣ax+2＝0（Ⅱ）

因为满足条件的点P有且只有两个，所以有两种情况：

1）方程（Ⅱ）有两个相等的实数根，且和方程（Ⅰ）的实数不相等，

由△＝0，得a＝2word/media/image84.gif或a＝﹣2word/media/image84.gif（负），

∴方程（Ⅱ）的实数根为x1＝x2＝word/media/image84.gif，方程（Ⅰ）的实数根为x＝word/media/image86.gif，

符合题意，

2）方程（Ⅰ）的解也是方程（Ⅱ）的解，且方程有两个不相等的实数根，

将word/media/image85.gif代入方程（Ⅱ）得a＝3或a＝﹣3（负），

综上所述：符合题意的a的值为：word/media/image87.gif或3．

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2017-2018年江苏省泰州市姜堰市九年级（上）期末数学试卷（解析版）