二次函数最大利润应用题

参考答案与试题解析

1．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．

（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；

（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；

（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？

【解答】解：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；

（2）设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y=k1x+b1，

∵y=k1x+b1的图象过点（0，60）与（90，42），

∴

∴，

∴这个一次函数的表达式为；y=﹣0.2x+60（0≤x≤90）；

（3）设y2与x之间的函数关系式为y=k2x+b2，

∵经过点（0，120）与（130，42），

∴，

解得：，

∴这个一次函数的表达式为y2=﹣0.6x+120（0≤x≤130），

设产量为xkg时，获得的利润为W元，

当0≤x≤90时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣（﹣0.2x+60）]=﹣0.4（x﹣75）2+2250，

∴当x=75时，W的值最大，最大值为2250；

当90≤x≤130时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣42]=﹣0.6（x﹣65）2+2535，

由﹣0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，∴90≤x≤130时，W≤2160，

∴当x=90时，W=﹣0.6（90﹣65）2+2535=2160，

因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250．

2．某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足下列关系式：

y=．

（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？

（2）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）

（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多48元，则第（m+1）天每只粽子至少应提价几元？

【解答】解：（1）设李明第n天生产的粽子数量为420只，

由题意可知：30n+120=420，

解得n=10．

答：第10天生产的粽子数量为420只．

（2）由图象得，当0≤x≤9时，p=4.1；

当9≤x≤15时，设P=kx+b，

把点（9，4.1），（15，4.7）代入得，，

解得，

∴p=0.1x+3.2，

①0≤x≤5时，w=（6﹣4.1）×54x=102.6x，当x=5时，w最大=513（元）；

②5＜x≤9时，w=（6﹣4.1）×（30x+120）=57x+228，

∵x是整数，

∴当x=9时，w最大=741（元）；

③9＜x≤15时，w=（6﹣0.1x﹣3.2）×（30x+120）=﹣3x2+72x+336，

∵a=﹣3＜0，

∴当x=﹣=12时，w最大=768（元）；

综上，当x=12时，w有最大值，最大值为768．

（3）由（2）可知m=12，m+1=13，

设第13天提价a元，由题意得，w13=（6+a﹣p）（30x+120）=510（a+1.5），

∴510（a+1.5）﹣768≥48，解得a=0.1．

答：第13天每只粽子至少应提价0.1元．

3．近期，海峡两岸关系的气氛大为改善．大陆相关部门对原产台湾地区的15种水果实施进口零关税措施，扩大了台湾水果在大陆的销售．某经销商销售了台湾水果凤梨，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系：

设当单价从40元/千克下调了x元时，销售量为y千克；

（1）写出y与x间的函数关系式；

（2）如果凤梨的进价是20元/千克，若不考虑其他情况，那么单价从40元/千克下调多少元时，当天的销售利润W最大？利润最大是多少？

（3）目前两岸还未直接通航，运输要绕行，需耗时一周（七天），凤梨最长的保存期为一个月（30天），若每天售价不低于32元/千克，问一次进货最多只能是多少千克？

（4）若你是该销售部负责人，那么你该怎样进货、销售，才能使销售部利润最大？

【解答】解：（1）y=60+5x

（2）w=（40﹣x﹣20）y=﹣5（x﹣4）2+1280

∴下调4元时当天利润最大是1280元

（3）设一次进货m千克，由售价32元/千克

得x=40﹣32=8，

此时y=60+5x=100，

∴m≤100×（30﹣7）=2300，

答：一次进货最多2300千克

（4）下调4元时当天利润最大，

由x=4，y=60+5x=80，m=80×（30﹣7）=1840千克

∴每次进货1840千克，售价36元/千克时，销售部利润最大．

4．某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）．已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．该店应支付员工的工资为每人每天82元，每天还应支付其它费用为106元（不包含债务）．

（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；

（2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡（收人=支出），求该店员工的人数；

（3）若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？

【解答】解：（1）当40≤x≤58时，设y与x的函数解析式为y=k1x+b1，由图象可得

，

解得．

∴y=﹣2x+140．

当58＜x≤71时，设y与x的函数解析式为y=k2x+b2，由图象得

，

解得，

∴y=﹣x+82，

综上所述：y=；

（2）设人数为a，当x=48时，y=﹣2×48+140=44，

∴（48﹣40）×44=106+82a，

解得a=3；

（3）设需要b天，该店还清所有债务，则：

b[（x﹣40）•y﹣82×2﹣106]≥68400，

∴b≥，

当40≤x≤58时，∴b≥=，

x=﹣时，﹣2x2+220x﹣5870的最大值为180，

∴b，即b≥380；

当58＜x≤71时，b=，

当x=﹣=61时，﹣x2+122x﹣3550的最大值为171，

∴b，即b≥400．

综合两种情形得b≥380，即该店最早需要380天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为55元．

5．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s=12+3t，平均销售价格为9万元/吨．

（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；

（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润=销售总收入﹣经营总成本）．

①求w关于x的函数关系式；

②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？

（3）第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．

【解答】解：（1）①当2≤x＜8时，如图，

设直线AB解析式为：y=kx+b，

将A（2，12）、B（8，6）代入得：

，解得，

∴y=﹣x+14；

②当x≥8时，y=6．

所以A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为：

y=；

（2）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20﹣x）吨．

①当2≤x＜8时，

wA=x（﹣x+14）﹣x=﹣x2+13x；

wB=9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]=108﹣6x

∴w=wA+wB﹣3×20

=（﹣x2+13x）+（108﹣6x）﹣60

=﹣x2+7x+48；

当x≥8时，

wA=6x﹣x=5x；

wB=9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]=108﹣6x

∴w=wA+wB﹣3×20

=（5x）+（108﹣6x）﹣60

=﹣x+48．

∴w关于x的函数关系式为：

w=．

②当2≤x＜8时，﹣x2+7x+48=30，解得x1=9，x2=﹣2，均不合题意；

当x≥8时，﹣x+48=30，解得x=18．

∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18吨．

（3）设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，

则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元，B类杨梅加工成本为[12+3（m﹣x）]万元，

∴3m+x+[12+3（m﹣x）]=132，化简得：x=3m﹣60．

①当2≤x＜8时，

wA=x（﹣x+14）﹣x=﹣x2+13x；

wB=9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]=6m﹣6x﹣12

∴w=wA+wB﹣3×m

=（﹣x2+13x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m

=﹣x2+7x+3m﹣12．

将3m=x+60代入得：w=﹣x2+8x+48=﹣（x﹣4）2+64

∴当x=4时，有最大毛利润64万元，

此时m=，m﹣x=；

②当x≥8时，

wA=6x﹣x=5x；

wB=9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]=6m﹣6x﹣12

∴w=wA+wB﹣3×m

=（5x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m

=﹣x+3m﹣12．

将3m=x+60代入得：w=48

∴当x＞8时，有最大毛利润48万元．

综上所述，购买杨梅共吨，其中A类杨梅4吨，B类吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．

6．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．

（1）求w与x之间的函数关系式．

（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？

【解答】解：（1）由题意得出：

w=（x﹣20）∙y

=（x﹣20）（﹣2x+80）

=﹣2x2+120x﹣1600，

故w与x的函数关系式为：w=﹣2x2+120x﹣1600；

（2）w=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，

∵﹣2＜0，

∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200．

答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．

（3）当w=150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+200=150．

解得 x1=25，x2=35．

∵35＞28，

∴x2=35不符合题意，应舍去．

答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．

7．某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：

同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元．

（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式．

（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？

（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？

【解答】解：（1）根据表格中数据可得出：y与x是一次函数关系，

设解析式为：y=ax+b，

则，

解得：，

故函数解析式为：y=﹣x+8；

（2）根据题意得出：

z=（x﹣20）y﹣40

=（x﹣20）（﹣x+8）﹣40

=﹣x2+10x﹣200，

=﹣（x2﹣100x）﹣200

=﹣[（x﹣50）2﹣2500]﹣200

=﹣（x﹣50）2+50，

故销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元．

（3）当公司要求净得利润为40万元时，即﹣（x﹣50）2+50=40，解得：x1=40，x2=60．

如上图，通过观察函数y=﹣（x﹣50）2+50的图象，可知按照公司要求使净得利润不低于40万元，则销售价格的取值范围为：40≤x≤60．

而y与x的函数关系式为：y=﹣x+8，y随x的增大而减少，

因此，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个．

8．某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在x天销售的相关信息如表所示．

（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？

（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式；

（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？

【解答】解：（1）当1≤x≤20时，令30+x=35，得x=10，

当21≤x≤40时，令20+=35，得x=35，经检验得x=35是原方程的解且符合题意

即第10天或者第35天该商品的销售单价为35元/件．

（2）当1≤x≤20时，y=（30+x﹣20）（50﹣x）=﹣x2+15x+500，

当21≤x≤40时，y=（20+﹣20）（50﹣x）=﹣525，

即y=，

（3）当1≤x≤20时，y=﹣x2+15x+500=﹣（x﹣15）2+612.5，

∵﹣＜0，

∴当x=15时，y有最大值y1，且y1=612.5，

当21≤x≤40时，∵26250＞0，

∴随x的增大而减小，

当x=21时，最大，

于是，x=21时，y=﹣525有最大值y2，且y2=﹣525=725，

∵y1＜y2，

∴这40天中第21天时该网店获得利润最大，最大利润为725元．

9．某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量x（千件）的关系为：

y1=

若在国外销售，平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为

（1）用x的代数式表示t为：t=　6﹣x　；当0＜x≤4时，y2与x的函数关系为：y2=　5x+80　；当　4　≤x＜　6　时，y2=100；

（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围；

（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？

【解答】解：（1）由题意，得x+t=6，

∴t=6﹣x；

∵，

∴当0＜x≤4时，2≤6﹣x＜6，即2≤t＜6，

此时y2与x的函数关系为：y2=﹣5（6﹣x）+110=5x+80；

当4≤x＜6时，0＜6﹣x≤2，即0＜t≤2，

此时y2=100．

故答案为：6﹣x；5x+80；4，6；

（2）分三种情况：

①当0＜x≤2时，w=（15x+90）x+（5x+80）（6﹣x）=10x2+40x+480；

②当2＜x≤4时，w=（﹣5x+130）x+（5x+80）（6﹣x）=﹣10x2+80x+480；

③当4＜x≤6时，w=（﹣5x+130）x+100（6﹣x）=﹣5x2+30x+600；

综上可知，w=；

（3）当0＜x≤2时，w=10x2+40x+480=10（x+2）2+440，此时x=2时，w最大=600；

当2＜x≤4时，w=﹣10x2+80x+480=﹣10（x﹣4）2+640，此时x=4时，w最大=640；

当4＜x≤6时，w=﹣5x2+30x+600=﹣5（x﹣3）2+645，4＜x＜6时，w＜640；

∵a=﹣5，

∴当x＞3时，w随x的增大而减小，

∴没有w最大．

故该公司每年国内、国外的销售量各为4千件、2千件，可使公司每年的总利润最大，最大值为640千元．

10．某公司投资700万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后，进行这两种产品加工．已知生产甲种产品每件还需成本费30元，生产乙种产品每件还需成本费20元．经市场调研发现：甲种产品的销售单价为x（元），年销售量为y（万件），当35≤x＜50时，y与x之间的函数关系式为y=20﹣0.2x；当50≤x≤70时，y与x的函数关系式如图所示，乙种产品的销售单价，在25元（含）到45元（含）之间，且年销售量稳定在10万件．物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元．

（1）当50≤x≤70时，求出甲种产品的年销售量y（万元）与x（元）之间的函数关系式．

（2）若公司第一年的年销售量利润（年销售利润=年销售收入﹣生产成本）为W（万元），那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？

（3）第二年公司可重新对产品进行定价，在（2）的条件下，并要求甲种产品的销售单价x（元）在50≤x≤70范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总盈利（总盈利=两年的年销售利润之和﹣投资成本）不低于85万元．请直接写出第二年乙种产品的销售单价m（元）的范围．

【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），

∵函数图象经过点（50，10），（70，8），

∴，

解得，

所以，y=﹣0.1x+15；

（2）∵乙种产品的销售单价在25元（含）到45元（含）之间，

∴，

解之得45≤x≤65，

①45≤x＜50时，W=（x﹣30）（20﹣0.2x）+10（90﹣x﹣20），

=﹣0.2x2+16x+100，

=﹣0.2（x2﹣80x+1600）+320+100，

=﹣0.2（x﹣40）2+420，

∵﹣0.2＜0，

∴x＞40时，W随x的增大而减小，

∴当x=45时，W有最大值，W最大=﹣0.2（45﹣40）2+420=415万元；

②50≤x≤65时，W=（x﹣30）（﹣0.1x+15）+10（90﹣x﹣20），

=﹣0.1x2+8x+250，

=﹣0.1（x2﹣80x+1600）+160+250，

=﹣0.1（x﹣40）2+410，

∵﹣0.1＜0，

∴x＞40时，W随x的增大而减小，

∴当x=50时，W有最大值，W最大=﹣0.1（50﹣40）2+410=400万元．

综上所述，当x=45，即甲、乙两种产品定价均为45元时，第一年的年销售利润最大，最大年销售利润是415万元；

（3）根据题意得，W=﹣0.1x2+8x+250+415﹣700=﹣0.1x2+8x﹣35，

令W=85，则﹣0.1x2+8x﹣35=85，解得x1=20，x2=60．

又由题意知，50≤x≤65，根据函数与x轴的交点可知50≤x≤60，

即50≤90﹣m≤60，

∴30≤m≤40．

11．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣制造成本）

（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？

（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？

【解答】解：（1）z=（x﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100）

=﹣2x2+136x﹣1800，

∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800（x＞18）；

（2）由z=350，得350=﹣2x2+136x﹣1800，

解这个方程得x1=25，x2=43

所以，销售单价定为25元或43元，

将z=﹣2x2+136x﹣1800配方，得z=﹣2（x﹣34）2+512（x＞18），

答；当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；

（3）结合（2）及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象（如图所示）可知，

当25≤x≤43时z≥350，

又由限价32元，得25≤x≤32，

根据一次函数的性质，得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小，

∵x最大取32，

∴当x=32时，每月制造成本最低．最低成本是18×（﹣2×32+100）=648（万元），

答：每月最低制造成本为648万元．

12．某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．

（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？

（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）

【解答】解：（1）设件数为x，依题意，得3000﹣10（x﹣10）=2600，解得x=50，

答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元；

（2）当0≤x≤10时，y=（3000﹣2400）x=600x，

当10＜x≤50时，y=[3000﹣10（x﹣10）﹣2400]x，即y=﹣10x2+700x

当x＞50时，y=（2600﹣2400）x=200x

∴y=

（3）由y=﹣10x2+700x可知抛物线开口向下，当x=﹣=35时，利润y有最大值，

此时，销售单价为3000﹣10（x﹣10）=2750元，

答：公司应将最低销售单价调整为2750元．

13．某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元，已知绿茶每千克成本50元，在第一个月的试销时间内发现，销量w（kg）随销售单价x（元/kg）的变化而变化，具体变化规律如下表所示

设该绿茶的月销售利润为y（元）（销售利润=单价×销售量﹣成本﹣投资）．

（1）请根据上表，写出w与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；

（2）求y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）．并求出x为何值时，y的值最大？

（3）若在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元？

【解答】解：（1）设w=kx+b，

将（70，100），（75，90）代入上式得：

，

解得：，

则w=﹣2x+240；

（2）y=（x﹣50）•w=（x﹣50）•（﹣2x+240）=﹣2x2+340x﹣9000，

因此y与x的关系式为：

y=﹣2x2+340x﹣9000，

=﹣2（x﹣85）2+2450，

故当x=85时，y的值最大为2450．

（3）故第1个月还有3000﹣2450=550元的投资成本没有收回，

则要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，即y=2250才可以，

可得方程﹣2（x﹣85）2+2450=2250，

解这个方程，得x1=75，x2=95；

根据题意，x2=95不合题意应舍去．

答：当销售单价为每千克75元时，可获得销售利润2250元，即在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元．

14．某大众汽车经销商在销售某款汽车时，以高出进价20%标价．已知按标价的九折销售这款汽车9辆与将标价直降0.2万元销售4辆获利相同．

（1）求该款汽车的进价和标价分别是多少万元？

（2）若该款汽车的进价不变，按（1）中所求的标价出售，该店平均每月可售出这款汽车20辆；若每辆汽车每降价0.1万元，则每月可多售出2辆．求该款汽车降价多少万元出售每月获利最大？最大利润是多少？

【解答】解：（1）设进价为x万元，则标价是1.2x万元，由题意得：

1.2x×0.9×9﹣9x=（1.2x﹣0.2）×4﹣4x，

解得：x=10，

1.2×10=12（万元），

答：进价为10万元，标价为12万元；

（2）设该款汽车降价a万元，利润为w万元，由题意得：

w=（20+×2）（12﹣10﹣a），

=﹣20（a﹣）2+45，

∵﹣20＜0，

∴当a=时，w最大=45，

答：该款汽车降价0.5万元出售每月获利最大，最大利润是45万元．

15．荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元．

（1）基地的菜农共修建大棚x（公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y（万元），写出y关于x的函数关系式．

（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公顷大棚．（用分数表示即可）

（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．

【解答】解：（1）y=7.5x﹣（2.7x+0.9x2+0.3x）

=7.5x﹣2.7x﹣0.9x2﹣0.3x

=﹣0.9x2+4.5x．

（2）当﹣0.9x2+4.5x=5时，

整理得：9x2﹣45x+50=0，

解得：x1=，x2=，

从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建公顷大棚．

（3）设3年内每年的平均收益为Z（万元）

Z=7.5x﹣（0.9x+0.3x2+0.3x）

=7.5x﹣0.9x﹣0.3x2﹣0.3x

=﹣0.3x2+6.3x

=﹣0.3（x﹣10.5）2+33.075（10分）

不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．（11分）

建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益．

②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．

③当﹣0.3x2+6.3x=0时，x1=0，x2=21．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．

（说其中一条即可）（12分）

16．今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如下表：

进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y（元/千克）从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y与周数x的变化情况满足二次函数y=﹣x2+bx+c．

（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y与x的函数关系式，并求出5月份y与x的函数关系式；

（2）若4月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m=x+1.2，5月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m=x+2．试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？

（3）若5月份的第2周共销售100吨此种蔬菜．从5月份的第3周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可供销量将在第2周销量的基础上每周减少a%，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的销售价格比第2周仅上涨0.8a%．若在这一举措下，此种蔬菜在第3周的总销售额与第2周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出a的整数值．

（参考数据：372=1369，382=1444，392=1521，402=1600，412=1681）

【解答】解：（1）4月份y与x满足的函数关系式为y=0.2x+1.8

把x=1，y=2.8和x=2，y=2.4，分别代入y=﹣+bx+c得

解得：，

∴5月份y与x满足的函数关系式为y=﹣0.05x2﹣0.25x+3.1；

（2）设4月份第x周销售此种蔬菜一千克的利润为W1元，5月份第x周销售此种蔬菜一千克的利润为W2元．则：

W1=（0.2x+1.8）﹣（x+1.2）=﹣0.05x+0.6

∵﹣0.05＜0，∴W1随x的增大而减少

∴当x=1时，W1最大=﹣0.05+0.6=0.55

W2=（﹣0.05x2﹣0.25x+3.1）﹣（﹣x+2）=﹣0.05x2﹣0.05x+1.1

∵对称轴为x=﹣=﹣0.5，且﹣0.05＜0，

∴当x=1时，W2最大=1

∴4月份销售此种蔬菜一千克的利润在第1周最大，最大利润为0.55元，

5月份销售此种蔬菜一千克的利润在第1周最大，最大利润为1元．

（3）由题意知：[100000（1﹣a%）+2000]×2.4（1+0.8a%）=2.4×100000，

整理，得a2+23a﹣250=0，解得a=

∵392=1521，402=1600，而1529更接近1521，∴取≈39

∴a≈﹣31（舍去）或a≈8．

17．某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．

若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y=x+150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润=销售额﹣成本﹣广告费）．

若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2元的附加费，设月利润为w外（元）（利润=销售额﹣成本﹣附加费）．

（1）当x=1000时，y=　140　元/件，w内=　57500　元；

（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；

（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；

（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？

参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（）．

【解答】解：（1）x=1000，y=×1000+150=140，

w内=（140﹣20）×1000﹣62500=57500．

（2）w内=x（y﹣20）﹣62500=x2+130x﹣62500，

w外=x2+（150﹣a）x．

（3）当x==6500时，w内最大；

由题意在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，得：

=，

解得a1=30，a2=270（不合题意，舍去）．

∴a=30．

（4）当x=5000时，w内=337500，w外=﹣5000a+500000．

若w内＜w外，则a＜32.5；

若w内=w外，则a=32.5；

若w内＞w外，则a＞32.5．

∴当10≤a＜32.5时，选择在国外销售；

当a=32.5时，在国外和国内销售都一样；

当32.5＜a≤40时，选择在国内销售．

18．红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：

未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y1=t+25（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y2=﹣t+40（21≤t≤40且t为整数）．

下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：

（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式；

（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？

（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．

【解答】解：（1）设一次函数为m=kt+b，

将和代入一次函数m=kt+b中，

有，

∴．

∴m=﹣2t+96．

经检验，其它点的坐标均适合以上解析式，

故所求函数解析式为m=﹣2t+96；

（2）设前20天日销售利润为p1元，后20天日销售利润为p2元．

由p1=（﹣2t+96）（t+25﹣20）

=（﹣2t+96）（t+5）

=﹣t2+14t+480

=﹣（t﹣14）2+578，

∵1≤t≤20，

∴当t=14时，p1有最大值578（元）．

由p2=（﹣2t+96）（﹣t+40﹣20）

=（﹣2t+96）（﹣t+20）

=t2﹣88t+1920

=（t﹣44）2﹣16．

∵21≤t≤40，此函数对称轴是t=44，

∴函数p2在21≤t≤40上，在对称轴左侧，随t的增大而减小．

∴当t=21时，p2有最大值为（21﹣44）2﹣16=529﹣16=513（元）．

∵578＞513，故第14天时，销售利润最大，为578元；

（3）p1=（﹣2t+96）（ t+25﹣20﹣a）=﹣t2+（14+2a）t+480﹣96a

对称轴为t=14+2a．

∵1≤t≤20，

∴当t≤2a+14时，P随t的增大而增大，

又∵每天扣除捐赠后的日利润随时间t的增大而增大，

∴20≤2a+14，

又∵a＜4，

∴3≤a＜4．

（完整版）二次函数最大利润应用题（含答案）