双曲线

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专题双曲线的定义及标准方程★★★

1715D.44

练习引入
1．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是(
A.17B.15C.
2．(深圳一模若双曲线过点(m，n(m>n>0，且渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点(A．在x轴上

B．在y轴上
D．无法判断是否在坐标轴上
C．在x轴或y轴上
3．设F1，F2是双曲线x－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(
24A．42B．83C．24D．48
2
y2
x2y22
4．(日照一模设双曲线2－2＝1(a>0，b>0的离心率为3，且它的一条准线与抛物线y＝4x的准线重合，则此
ab
双曲线的方程为(
A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝156753643
x2y2x2y2x2y2x2y2
x2y25
5．(宝鸡模拟P是双曲线2－2＝1(a>0，b>0上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且PF1·PF2＝0，
ab4
若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于(
A．4B．7C．6D．5
x2y2
6．设F1、F2分别为双曲线2－2＝1(a>0，b>0的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，
ab
且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为(
A．3x±4y＝0B．3x±5y＝0C．4x±3y＝0D．5x±4y＝0
1


知识引入一、双曲线的定义
平面内与定点F1、F2的距离的等于常数(小于|F1F2|的点的轨迹叫做双曲线，定点叫做双曲线的，两焦点之间的距离叫做双曲线的．二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
x2y2
－＝1(a>0，b>0a2b2
y2x2
－＝1(a>0，b>0a2b2
图形

性范围质
对称性
顶点
渐近线离心率实虚轴通径a、b、c的关系典例精讲


对称中心：对称中心：
顶点坐标A1，A2

对称轴：对称轴：
顶点坐标A1，A2

e＝，e∈，其中c＝
线段叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝；线段叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝；叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长．过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为.
c＝a＋b(c>a>0，c>b>0
2
2
2
2


1．过双曲线x－y＝8的左焦点F1有一条弦PQ交左支于P、Q点，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是
(


D．82
22
A．28B．14－82C．14＋82
x2y2
2．已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0的离心率e＝2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C的方程
ab
为__________．
3．设抛物线C1的方程为y＝
12
x，它的焦点F关于原点的对称点为E.若曲线C2上的点到E、F的距离之差的绝对值等20
于6，则曲线C2的标准方程为____________．
x2y2
4．(浙江高考(1设O为坐标原点，F1，F2是双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠
abF1PF2＝60°，|OP|＝7a，则该双曲线的渐近线方程为(
A．x±3y＝0B.3x±y＝0C．x±2y＝0
(2已知过点P(－2,0的双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦点，则双曲线C的标准方程为________．
259
知识归纳
1．应用双曲线的定义时注意的问题：
在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点具备的几何条件，即“到两定点(焦点的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．2．双曲线方程的求法：
(1若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx＋ny＝1(mn<0
2
2
D.2x±y＝0
x2y2
x2y2x2y2
(2与双曲线2－2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为2－2＝λ(λ≠0．
abab
(3若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为mx－ny＝λ(λ≠0．

3
22
22



专题：双曲线的几何性质★★★


双曲线的几何性质
3
1．下列双曲线中，离心率为的是(
2
A.－y＝1B．x－＝1C.－＝1D.－＝1
224554
x2
22
y2x2y2x2y2
x2y2
2．已知双曲线－＝1的一条渐近线为y＝2x，则实数a的值为(
2a
A.2

2
2
B．2C.3D．4
3．已知双曲线kx－y＝1的一条渐近线与直线l：2x＋y＋1＝0垂直，则此双曲线的离心率是(A.5
2


B.
3
C．432

D.5
4．(1(辽宁高考设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(A.2B.3C.
3＋1
2

D.
5＋1
2
x2y22222
(2设点P是双曲线2－2＝1(a>0，b>0与圆x＋y＝a＋b在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，
ab
且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线的离心率为(
A.5

知识归纳
1．已知双曲线的离心率e求渐近线方程注意e＝
1＋



B.
5
C.102

D.
102
baba
2
及判断焦点的位置．
2．已知渐近线方程y＝mx，求离心率时若焦点不确定时，m＝(m>0或m＝，故离心率有两种可能．
ab
4


专题：直线与双曲线的位置关系★★★

典例精讲
1.设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线，与双曲线交于点B，
916
则△AFB的面积为________．

x2y2
x2y2
2．设双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0的左、右顶点分别为A1，A2，若点P为双曲线右支上的一点，且直线PA1，PA2的
ab
1
斜率分别为，2，求双曲线的渐近线方程．
2
3．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15，则E的方程为(A.－＝1B.－＝1C.－＝1364563

知识归纳1．判断方法：
(1将直线方程Ax＋By＋c＝0与双曲线方程mx＋ny＝1联立，消元．
(2利用Δ判断交点问题，但要注意消元后二次项系数是否为0.特别注意，当直线与双曲线有一个交点时，等价于Δ＝0或直线l与渐近线平行．2．遇到弦中点问题时常用点差法．
5
2
2
x2y2x2y2x2y2
D.－＝1
54
x2y2


巩固练习
22
1．(安徽高考双曲线方程为x－2y＝1，则它的右焦点坐标为(
A．(
256
，0B．(，0C．(，0D．(3，0222
2．(新课标全国高考中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2，则它的离心率为(A.6


B.5C.
6
2

D.52
x22
3．(福建高考若点O和点F(－2,0分别为双曲线2－y＝1(a>0的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，
a
则OP·FP的取值范围为A．[3－23，＋∞7
C．[－，＋∞
4





(
B．[3＋23，＋∞
7
D．[，＋∞
4
x2y22
4．(天津高考已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点与抛物线y＝16x的焦
ab
点相同，则双曲线的方程为________．知识检测
1．如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e1，e2，e3，e4，其大小关系为______________．
6



x2y2
2．(湖南十二校已知点F、A分别为双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0的左焦点、右顶点，点B(0，b满足FB·AB
ab
＝0，则双曲线的离心率为________．
3．(北京西城已知双曲线x－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1·PF2的最小
3值为________．
4．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10．点M(3，m在双曲线上．
(1求双曲线方程；(2求证：MF1·MF2＝0；(3求△F1MF2面积．

5．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0，实轴长为23.
2
y2
7


(1求双曲线C的方程；
(2若直线l：y＝kx＋2与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；(3在(2的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m，求m的取值范围．
6．已知椭圆C1的方程为＋y＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是
4
x2
2
C1的左、右焦点．
(1求双曲线C2的方程；
(2若直线l：y＝kx＋2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且OA·OB>2(其中O为原点，求k的取值范围．

8





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双曲线

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