河北唐山市2014届高三年级第一学期期末考试 文科数学试卷

1．设全集，已知集合，，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

试题分析：∵，∴，∴.

考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的交集运算.

2．设复数，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

试题分析：∵，∴.

考点：1.复数的除法计算；2.共轭复数.

3．以原点为中心，焦点在y轴上的双曲线C的一个焦点为，一个顶点为，则双曲线C的方程为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

试题分析：∵双曲线C的一个焦点为，一个顶点为，∴，

∴，∴双曲线C的方程为.

考点：1.双曲线的标准方程；2.双曲线的焦点、顶点.

4．已知命题，命题，则下列命题中为真命题的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

试题分析：∵，∴或，∴命题为假命题；

∵，∴，即，∴命题为真命题；

∴为真命题.

考点：1.高次不等式的解法；2.三角方程的解法；3.命题的真假；4.简单的逻辑连结词.

5．设满足约束条件，则目标函数的最大值是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D

【解析】

试题分析：由约束条件可得区域图像如图所示：则目标函数在点取得最大值.

考点：线性规划.

6．是上的奇函数，当时，，则当时，（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

试题分析：试题分析：∵，∴，∴，又∵是上的奇函数，

∴，∴.

考点：1.函数的奇偶性；2.函数解析式.

7．在公比大于1的等比数列中，，，则（ ）

A．96 B．64 C．72 D．48

【答案】A

【解析】

试题分析：∵，，∴或，又∵公比大于1，

∴，∴即，∴.

考点：1.等比数列的性质；2.等比数列的通项公式.

8．执行下边的程序框图，则输出的n是（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【解析】

试题分析：第一次循环：

第二次循环：

第三次循环：

第四次循环：

第五次循环：

第六次循环：

输出.

考点：程序框图.

9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

试题分析：由三视图可知：几何体是底面是半径为2的半径扣掉一个三角形，.

考点：1.三视图；2.柱体体积.

10．如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则侧面的面积为（ ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】C

【解析】

试题分析：球心在面的中心上，为截面圆的直径，∴，底面外接圆圆心位于中点，外心在中点上，设正方形边长为，中，，，，∴，即，则，∴.

考点：1.中位线；2.勾股定理.

11．的零点个数为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【解析】

试题分析：∵，∴，图像如图所示，由图像看出与有5个交点，∴的零点个数为5个.

考点：1.函数零点问题；2.函数图像.

12．椭圆的左、右焦点分别为，是上两点，，，则椭圆的离心率为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

试题分析：由条件，设，则，在中有，

整理有:，即，即，在中有，，

将代入得：，即，即，即.

考点：1.椭圆的标准方程与性质；2.勾股定理.

13．一支游泳队有男运动员32人，女运动员24人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为14的样本，则抽取男运动员的人数为 .

【答案】8

【解析】

试题分析：由题意得：，∴，所以抽取男运动员8人.

考点：分层抽样问题.

14．已知的定义域为 .

【答案】

【解析】

试题分析：∵，∴，∴，∴，

∴的定义域为.

考点：1.函数的定义域；2.对数不等式的解法.

15．在等差数列中，已知，则的值为 .

【答案】10

【解析】

试题分析：∵，∴.

考点：等差数列的性质.

16．已知，函数在区间单调递减，则的最大值为 .

【答案】-12

【解析】

试题分析：∵，∴，∵函数在区间单调递减，

∴，即，即，∴的最大值为-12.

考点：利用导数研究函数的单调性.

17．（本题满分12分）

在锐角中，分别为角的对边，且.

（1）求角A的大小；

（2）求的最大值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

试题分析：本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式、诱导公式、三角函数最值等基础知识，考查运用三角公式进行三角变换的能力和计算能力.第一问，利用三角形的内角和为转化，用诱导公式、降幂公式、倍角公式化简表达式，得到关于的方程，解出的值，通过的正负判断角是锐角还是钝角；第二问，将角用角表示，利用两角和与差的正弦公式化简，由于角和角都是锐角，所以得到角的取值范围，代入到化简的表达式中，得到函数的最小值.

试题解析：（Ⅰ）因为，所以，

所以由已知得，变形得，

整理得，解得．

因为是三角形内角，所以． 5分

（Ⅱ）

． 9分

当时，取最大值． 12分

考点：1.诱导公式；2.降幂公式；3.倍角公式；4.两角和与差的正弦公式；5.三角函数的最值.

18．如图，在三棱锥中，，，D为AC的中点，.

（1）求证：平面平面；

（2）如果三棱锥的体积为3，求.

【答案】（1）证明过程详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要以三棱锥为几何背景考查线线垂直、平行的判定，线面垂直，面面垂直的判定以及用空间向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力和计算能力.第一问，根据已知条件，取中点，连结，得出，再利用，根据线面垂直的判定证出平面，从而得到垂直平面内的线，再利用为中位线，得出平面，最后利用面面垂直的判定证明平面垂直平面；第二问，根据已知进行等体积转换，利用三棱锥的体积公式列出等式，解出的值.

试题解析：（Ⅰ）取中点为，连结，．

因为，所以．

又，，所以平面，

因为平面，所以． 3分

由已知，，又，所以，

因为，所以平面．

又平面，所以平面⊥平面． 5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面．

设，因为为的中点，所以

， 10分

由解得，即． 12分

考点：1.线面垂直的判定和性质；2.面面垂直的判定；3.锥体的体积公式.

19．据民生所望，相关部门对所属服务单位进行整治行核查，规定：从甲类3个指标项中随机抽取2项，从乙类2个指标项中随机抽取1项.在所抽查的3个指标项中，3项都优秀的奖励10万元；只有甲类2项优秀的奖励6万元；甲类只有1项优秀、乙类1项优秀的提出警告，有2项或2项以上不优秀的停业运营并罚款8万元.已知某家服务单位甲类3项指标项中有2项优秀，乙类2项指标项中有1项优秀.

求：（1）这家单位受到奖励的概率；

（2）这家单位这次整治性核查中所获金额的均值（奖励为正数，罚款为负数）.

【答案】（1）；（2）均值为0元.

【解析】

试题分析：本题主要考查古典概型的概率和均值等基础知识，考查综合分析问题解决问题的能力，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，考查计算能力.第一问，由题意分析可知，受到奖励的有10万元和6万元2种情况，即所抽查的3个指标项都优秀和只有甲类2项优秀的情况，先把甲和乙中的指标项设出字母，把取3项的所有情况全部列出来共6种情况，在这6种情况中选出上述符合题意的情况，写出概率值；第二问，分别求出10万元，6万元，0万元，-8万元的情况种数，求出均值.

试题解析：记这家单位甲类优秀的指标项为，甲类非优秀的指标项为；乙类优秀的指标项为，乙类非优秀的指标项为．依题意，被抽取的指标项的可能结果有：

，，，，，共6种．

（Ⅰ）记这家公司“获得10万元奖励”为事件，“获得6万元奖励”为事件，则

，． 7分

记这家公司“获奖”为事件C，则．

（Ⅱ）这家单位这次整治性核查中所获金额的均值为

（万元）．

考点：1.古典概型；2.均值的计算.

20．已知抛物线，直线与E交于A、B两点，且，其中O为原点.

（1）求抛物线E的方程；

（2）点C坐标为，记直线CA、CB的斜率分别为，证明：为定值.

【答案】（1）；（2）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：本题考查抛物线的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的数量积等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问，将直线与抛物线方程联立，消去参数，得到关于的方程，得到两根之和两根之积，设出点的坐标，代入到中，化简表达式，再将上述两根之和两根之积代入得出的值，从而得到抛物线的标准方程；第二问，先利用点的坐标得出直线的斜率，再根据抛物线方程转化参数，得到和的关系式，代入到所求证的式子中，将上一问中的两根之和两根之积代入，化简表达式得出常数即可.

试题解析：（Ⅰ）将代入，得． 2分

其中

设，，则

，． 4分

．

由已知，，．

所以抛物线的方程． 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．

，同理， 10分

所以． 12分

考点：1.抛物线的标准方程；2.韦达定理；3.向量的数量积；4.直线的斜率公式.

21．已知函数.

（1）证明：；

（2）当时，，求的取值范围.

【答案】（1）证明过程详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题考查导数的运算以及利用导数研究函数的单调性、最值等基础知识，考查综合分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力.第一问，因为，所求证，所以只需分母即可，设函数，对求导，判断函数的单调性，求出最小值，证明最小值大于0即可，所求证的不等式的右边，需证明函数的最大值为1即可，对求导，判断单调性求最大值；第二问，结合第一问的结论，讨论的正负，当时，，而与矛盾，当时，当时，与矛盾，当时，分母去分母，等价于，设出新函数，需要讨论的情况，判断在每种情况下，是否大于0，综合上述所有情况，写出符合题意的的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）设，则．

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

所以．

又，故． 2分

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

所以．

综上，有． 5分

（Ⅱ）（1）若，则时，，不等式不成立． 6分

（2）若，则当时，，不等式不成立． 7分

（3）若，则等价于． ①

设，则．

若，则当，，单调递增，． 9分

若，则当，，单调递减，．

于是，若，不等式①成立当且仅当． 11分

综上，的取值范围是．

考点：1.利用导数判断函数的单调性；2.利用导数研究函数的最值；3.恒成立问题.

22．如图，内接于上，，交于点E，点F在DA的延长线上，，求证：

（1）是的切线；

（2）.

【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：本题主要以圆为几何背景考查线线垂直、相等的证明，考查学生的转化与化归能力.第一问，要证明是的切线，需要证明或，由于，所以与相等，而与相等，而与相等，又因为，所以通过角的代换得也就是为；第二问，先利用切割线定理列出等式，再通过边的等量关系转换边，得到求证的表达式.

试题解析：（Ⅰ）连结．

因为，所以是的直径．

因为，所以．

又因为，所以． 4分

又因为，，

所以，即，

所以是的切线． 7分

（Ⅱ）由切割线定理，得．

因为，，

所以．

考点：1.同弦所对圆周角相等；2.切割线定理.

23．已知圆，直线，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系.

（1）将圆C和直线方程化为极坐标方程；

（2）P是上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足，当点P在上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程.

【答案】（1），；（2）．

【解析】

试题分析：本题主要考查直角坐标系与极坐标之间的互化，考查学生的转化能力和计算能力.第一问，利用直角坐标方程与极坐标方程的互化公式，进行转化；第二问，先设出的极坐标，代入到中，化简表达式，又可以由已知得和的值，代入上式中，可得到的关系式即点轨迹的极坐标方程.

试题解析：（Ⅰ）将，分别代入圆和直线的直角坐标方程得其极坐标方程为

，． 4分

（Ⅱ）设的极坐标分别为，，，则

由得． 6分

又，，

所以，

故点轨迹的极坐标方程为． 10分

考点：1.直角坐标方程与极坐标方程的互化；2.点的轨迹问题.

24．已知，.

（1）求的最小值；

（2）证明：.

【答案】（1）最小值为3；（2）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：本题主要考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生的分析问题的能力和转化能力.第一问，用基本不等式分别对和进行计算，利用不等式的可乘性，将两个式子乘在一起，得到所求的表达式的范围，注意等号成立的条件必须一致；第二问，先用基本不等式将，，变形，再把它们加在一起，得出已知中出现的，从而求出最小值，而所求证的式子的右边，须作差比较大小，只需证出差值小于0即可.

试题解析：（Ⅰ）因为，，

所以，即，

当且仅当时，取最小值3． 5分

（Ⅱ）

．

又，

所以．

考点：1.基本不等式；2.不等式的性质；3.作差比较大小.

河北唐山市2014届高三年级第一学期期末考试文科数学试卷（Word版含解析）