当音乐拥抱数学(下)

　　音乐是一种兼具时间、空间、抽象艺术等典型特征的表现形式，而数学恰恰又与这些特征息息相关，这种相关性深刻地体现在了音律中。音律是确定调式音高的基础，反映了各音的绝对准确高度及其相互关系。在音乐与数学的碰撞过程中，总会有好的音乐诞生，让我们一起来看看音乐与数学到底会碰撞出怎样的故事？柔美的音乐中是不是也会诞生数学呢？

　　七辞王位的

　　朱载?钟胧?二平均律

　　在音律中，每个音级为“一律”，如果将管仲的三分损益法推演下去，就会得到一个下4度音，依此类推，就能得到12个音，称“十二律”。如果按照三分损益法推演音律，计算到最后一律时就不能循环，这样在移调或转调时，就无法获得均等的音乐效果，从某种程度上来讲破坏了音乐的和谐之美。那么，如何解决三分损益法的这一瑕疵呢？如何令音律均等和谐呢？千百年间，中外的音乐家们孜孜以求，可他们大多以失败告终。幸而，在四百多年前的中国，一位皇亲解决了这个问题。 朱载?郑?1536-1611），字伯勤，明代著名的律学家、历学家、音乐家。朱载?肿杂咨钍芷涓傅挠跋欤?喜欢音乐、 数学等，被中外学者尊崇为“东方文艺复兴式的圣人”（绘图/朱宇彤）

　　1596年，皇子朱载?治?世界带来了一个韵律上的伟大贡献：他编撰了《律吕精义》。在这本书里，存在一个伟大的证明：匀律音阶的音程可以取二的十二次方根。

　　这个证明看似抽象，仿佛又完全是个数学定理，和音乐究竟有何关系呢？朱载?值降字っ髁耸裁矗?

　　朱载?执有【捅硐殖龆蕴煳摹⑹?学、音乐的兴趣。在复杂的政治斗争中，他的父亲郑恭王被小人陷害入狱。从此，朱载?值娜松?发生了天翻地覆的转折。他无心权位，从此远离了宫门，开始一心研究他热爱的数学和音乐。面对音乐演奏中“旋宫转调”这一千古难题，他全身心地投入研究。他研读了大量先人的学说，发现他们都没能摆脱旧日思想的沉疴，都不是完善的音律理论。 据《明史?艺文志》载，朱载?值囊簧?有很多著作，内容涉及音乐、天文、历法、数学、舞蹈、文学等，是一个可以与李时珍、宋应星、徐光启、徐霞客齐名的重量级科学家，同时也是一位大百科全书式的学者（绘图/朱宇彤）

　　朱载?衷谘芯恳袈裳У耐?时，发现前人可能忽略了计量学和度量衡的演变。他思考着：会不会是因为计量不准确，才导致计算偏差呢？他在确定量制标准的基础上，从数学理论出发，深入研究了等比数列，进而找到了计算等比数列的方法，并思考着将它运用到音律计算中。可这时，新的难题再一次袭来，等比数列涉及繁复的数学运算，只凭人的脑力恐怕难以成功。但朱载?置挥蟹牌?，他创造性地运用珠算进行开方运算，还自创了珠算开方口诀，顺带解决了不同进位小数的换算方法，做出了有关计算法则的总结。

　　就这样，朱载?衷谙蚰烟獬宕痰牡缆飞希?不断解决了难题周边的其他问题，并将从那些问题中获得的计算方法，应用到解决音乐难题的过程中。在音律理论上，他倡导七声音阶，把八度分成十二个半音以及变调;在推算方法上，他以珠算开方的办法，求得律制上的等比数列，第一次解决了十二律内自由旋宫转调的千古难题，因此，该音律理论被称为“十二平均律”。

　　在《律学新说》卷一中，详细记述了十二平均律的计算方法。他用发音体的长度来计算音高：假定黄钟正律为一尺，求出低八度的音高弦长为二尺，然后将2开12次方，得到频率公比数1.059463094，该公比自乘十二次即得十二律中各律音高，而黄钟正好可以将其还原。

　　那到底什么是十二平均律呢？所谓“十二平均律”，就是把中音C和高音C之间的频率“平均”分成12个间隔，每一个音符的频率和前一个音符的频率之比相等。这样，就把八度音分为十二等分，就是分为十二个等比级数，其结果就是每个音的频率为前一个音的2开12次方倍。对比数值我们能清楚地发现，朱载?值募扑阋丫?到了很精确的地步。这一发现，几乎比欧洲人提前了半个世纪。

　　十二平均律理论的研究，不仅在数学上表现了极大的造诣，也极大地丰富了音乐的色彩和表现力。十二平均律的发现和运用，开创了世界音乐史的新纪元，许多伟大的音乐家及其大批划时代的作品，都受到了十二平均律的影响。如德国著名的钢琴家巴赫就很推崇十二平均律，还写下了48首植根于十二平均律的钢琴曲呢！ 朱载?钟煤峥?81档的特大算盘，进行与音律有关的数学计算

（绘图/朱宇彤）

　　寻找最美的音符：

　　音乐中的黄金分割

　　提到黄金分割，大家应该不会陌生。这个奇妙的数学理论总令人产生无限的遐想……从贝类动物身上的神秘螺线，到金字塔的边线角度，从人体的和谐线条，到无机物质的原子排列，生活中随处可见这个神秘的比例。那么，当黄金分割理论被应用于音乐中，又会碰撞出怎样的火花呢？

　　说到黄金分割率，就要讲一讲斐波那契数列。斐波那契是意大利数学家，他曾提出过一个有趣的问题：“如果有一对小兔，两个月后就能开始生产，从此每月产下一对小兔，产下来的小兔也是如此，如果所有的兔子都不死，那么一年以后能繁殖多少对兔子呢？”稍加计算，你会发现这道题的答案非常奇妙：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…如此你就得到了斐波那契数列。仔细观察，你就会发现这个数列有个显著的特点：任何相邻两个数，其第一个数与第二个数的比值越来越接近黄金分割的数值0.618。 　　斐波那契数列又称黄金分割数列，如果我们将其用于分类及音乐曲式结构中，会不会使音乐更加和谐、优美呢？

　　许多作曲家有意或无意地把黄金分割引用到音乐中，这反而成为了他们作品历久弥新的法宝。许多曲子都是一段式、二段式、三段式或五段回旋曲式。而且黄金分割比例与音乐中高潮的位置有密切关系。如在《梦幻曲》中，全曲共分6句，24小节。按照黄金分割率计算的话，高潮将在第14小节（24×0.618≈14.83）出现，而这与实际情况是完全符合的。

　　更典型的例子是莫扎特的《D大调奏鸣曲》，它的第一乐章全长160小节，若用小节数乘以黄金分割比值，即160×0.618=98.88，曲子的再现部位恰恰位于第99小节，正好在黄金分割点上。也许是有意为之，也许是天赋的自然流淌，莫扎特的大部分钢琴曲中都应用了这个方法，以至于有人评价他：“我们应当知道，创作这些不朽作品的莫扎特，也是一位喜欢数字游戏的天才。莫扎特是懂得黄金分割，并有意识地运用它的。”

　　朋友们仔细观察就会发现，许多优秀歌曲的高潮部分一般也会出现在黄金分割点上。这一点不仅在古典音乐中得到充分展示，在流行歌曲中也可以找到痕迹，许多歌曲的主歌和高潮部分，都落在这个神秘的点上。 当乐器激荡起乐章时，悠扬的旋律起起落落，数学上的比例之美，通过乐声得到了传达（绘图/朱宇彤）

　　乐器：音乐与数学

　　交织的杰作

　　前文我们提到了黄金分割理论，它不仅被应用在乐曲编排中，还被广泛地运用到乐器制造上。最为典型的例子就是小提琴，其共鸣箱最宽处和箱长之比，共鸣箱最厚处与箱体最窄处之比，皆符合黄金分割率。而且，在乐器的制造上，小提琴的部分符合黄金律越多，音色越优美。数学理论再次在乐器制作中显示了它的魔力。 斐波那契螺旋线又称黄金螺旋，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，指在矩形中按照黄金比率旋进渐进无限分割，切点的连线形成对数螺旋线。（绘图/王江山）

　　作为乐器之王的钢琴，更是处处体现了数学的智慧。钢琴的制造就是用十二平均律来定音的。因为钢琴是键盘乐器，每个键的音高是固定的，因此，消除两种半音的差别就显得尤为重要，而唯一的办法是使相邻各音频率之比相等，这样才能满足音乐演奏中旋宫转调的要求。十二平均律确定的各律音程相等，就很好地解决了这个问题。钢琴琴键的音程也与斐波那契数列有关。在一个八度音程中有13个键，八个白键和五个黑键，而五个黑键又可以分为两组。一组两个，一组三个，2、3、5、8、13恰好是斐波那契数列的一段。

　　不仅如此，乐器的形状也会影响声色的变化。典型的例子是三角钢琴。它的形状很像一条指数函数曲线，这样设计的钢琴不仅节省了材料，而且外形也更加流畅美观;圆号的形状也是借鉴了这个原理。除此之外，吉他弦长的粗细比例和长笛的孔径间距也应用了数学原理，不同的比值和距离可以产生不同的音色和音调变化。数学在乐器中的应用，让乐器演奏的乐声更加和谐动人。

　　知识链接 爱做学问不爱王位的朱载??

　　朱载?值母盖兹ナ篮螅?按规定，朱载?挚梢浴⒁灿Ω眉坛型跷弧？墒撬?对做王爷没有兴趣，而越发离不开对天文、历法与音乐的研究。他连续七次上表，请求准许他辞掉王位，专心探讨学问。最后，明神宗同意了他的请求，而且特批，他和他的儿子虽然没有爵位，但可以终身享受亲王与亲王世子的俸禄。

　　西尔弗斯特曾说过：“难道不可以把音乐描绘成感觉的数学，而把数学描绘成理性的音乐吗？这样，音乐家感觉到数学，数学家想到音乐――音乐是梦想，数学是工作的一生――每一方都经由对方达到尽善尽美的境地，那时，人类的智慧达到完美的典型，将在某个未来的莫扎特-狄利克雷或贝多芬-高斯的歌颂下而光彩夺目。”音乐与数学的结合，就是这样奇妙！伟大的艺术中，常常栖居着科学的秘密。

当音乐拥抱数学（下）