§9.7　双曲线

1．双曲线定义

平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.

(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；

(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；

(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．

2．双曲线的标准方程和简单性质

知识拓展

巧设双曲线方程

(1)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．

(2)过已知两个点的双曲线方程可设为＋＝1(mn<0)．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　×　)

(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　×　)

(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　√　)

(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　√　)

(5)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．(　√　)

题组二　教材改编

2．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)

A. B．5 C. D．2

答案　A

解析　由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为±＝0，即bx±ay＝0，

∴2a＝＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.

∴e2＝＝5，∴e＝.

3．经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．

答案　－＝1

解析　设双曲线的方程为－＝±1(a>0)，

把点A(3，－1)代入，得a2＝8(舍负)，

故所求方程为－＝1.

题组三　易错自纠

4．(2016·全国Ⅰ)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)

A．(－1,3) B．(－1，)

C．(0,3) D．(0，)

答案　A

解析　∵方程－＝1表示双曲线，

∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，

由双曲线性质，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，

∴－1<n<3，故选A.

5．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　)

A. B. C. D.

答案　D

解析　由条件知y＝－x过点(3，－4)，∴＝4，

即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，

∴25a2＝9c2，∴e＝.故选D.

6．已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________________．

答案　－y2＝1

解析　由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设该双曲线的标准方程为－y2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，)，所以－()2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1.

题型一　双曲线的定义及标准方程

命题点1　利用定义求轨迹方程

典例 (2018·大连模拟)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．

答案　x2－＝1(x≤－1)

解析　如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.

根据两圆外切的条件，

得|MC1|－|AC1|＝|MA|，

|MC2|－|BC2|＝|MB|，

因为|MA|＝|MB|，

所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，

即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，

所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.

又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，

其中a＝1，c＝3，则b2＝8.

故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．

命题点2　利用待定系数法求双曲线方程

典例根据下列条件，求双曲线的标准方程：

(1)虚轴长为12，离心率为；

(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；

(3)经过两点P(－3,2)和Q(－6，－7)．

解　(1)设双曲线的标准方程为

－＝1或－＝1(a>0，b>0)．

由题意知，2b＝12，e＝＝，

∴b＝6，c＝10，a＝8.

∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.

(2)∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.

又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.

∴双曲线的标准方程为－＝1.

(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．

∴解得

∴双曲线的标准方程为－＝1.

命题点3　利用定义解决焦点三角形问题

典例已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.

答案　

解析　∵由双曲线的定义有

|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，

∴|PF1|＝2|PF2|＝4，

则cos∠F1PF2＝

＝＝.

引申探究

1．本例中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？

解　不妨设点P在双曲线的右支上，

则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，

在△F1PF2中，由余弦定理，得

cos∠F1PF2＝＝，

∴|PF1|·|PF2|＝8，

∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2.

2．本例中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“·＝0”，则△F1PF2的面积是多少？

解　不妨设点P在双曲线的右支上，

则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，

∵·＝0，∴⊥，

∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，

即|PF1|2＋|PF2|2＝16，

∴|PF1|·|PF2|＝4，

∴＝|PF1|·|PF2|＝2.

思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．

(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1－PF2|＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．

(3)利用待定系数法求双曲线方程要先定形，再定量，如果已知双曲线的渐近线方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．

跟踪训练 (1)(2018·沈阳模拟)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为________________．

答案　－＝1

解析　由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5，0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8.

由双曲线的定义知，a＝4，b＝3.

故曲线C2的标准方程为－＝1.

即－＝1.

(2)(2016·天津)已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(　　)

A.－＝1 B.－＝1

C.－＝1 D.－＝1

答案　D

解析　由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，

联立

解得

或

即第一象限的交点为.

由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，，故＝2b，得b2＝12.

故双曲线的方程为－＝1.故选D.

题型二　双曲线的简单性质

典例 (1)已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是(　　)

A. x±y＝0 B．x±y＝0

C．x±2y＝0 D．2x±y＝0

答案　A

解析　由题意，不妨设|PF1|>|PF2|，则根据双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.在△PF1F2中，|F1F2|＝2c，而c>a，所以有|PF2|<|F1F2|，所以∠PF1F2＝30°，

所以(2a)2＝(2c)2＋(4a)2－2·2c·4acos 30°，得c＝a，所以b＝＝a.所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0.

(2)(2016·山东)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是______．

答案　2

解析　由已知得|AB|＝，|BC|＝2c，

∴2×＝3×2c.

又∵b2＝c2－a2，整理得2c2－3ac－2a2＝0，两边同除以a2，得22－3－2＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2.

思维升华双曲线的简单性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2.

跟踪训练 (2016·全国Ⅱ)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为(　　)

A. B. C. D．2

答案　A

解析　离心率e＝，

由正弦定理得e＝

＝＝＝.故选A.

题型三　直线与双曲线的综合问题

典例 (2018·福州模拟)已知直线y＝kx－1和双曲线x2－y2＝1的右支交于不同两点，则k的取值范围是__________________________________．

答案　(1，)

解析　由直线y＝kx－1和双曲线x2－y2＝1联立方程组，消y得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，

因为该方程有两个不等且都大于1的根，

所以解得1<k<.

思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．

(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．

跟踪训练 (2017·贵州贵阳第一中学月考)已知双曲线－＝1上存在两点P，Q关于直线y＝x＋b对称，且PQ的中点M在抛物线y2＝9x上，则实数b的值为(　　)

A．0或－10 B．0或－2

C．－2 D．－10

答案　A

解析　因为点P，Q关于直线y＝x＋b对称，所以PQ的垂直平分线为y＝x＋b，所以直线PQ的斜率为－1.设直线PQ的方程为y＝－x＋m，

由得x2＋4mx－2m2－6＝0，

所以xP＋xQ＝－4m，所以xM＝－2m，

所以M(－2m,3m)．

因为PQ的中点M在抛物线y2＝9x上，

所以9m2＝9(－2m)，解得m＝0或m＝－2，

又PQ的中点M也在直线y＝x＋b上，

得b＝5m，∴b＝0或－10，故选A.

直线与圆锥曲线的交点

典例若直线y＝kx＋2与曲线x＝交于不同的两点，那么k的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

现场纠错

解析　曲线x＝表示焦点在x轴上的双曲线的右支，由直线y＝kx＋2与双曲线方程联立得

消去y，得(1－k2)x2－4kx－10＝0.

由直线与双曲线右支交于不同两点，

得解得k∈.

故选D.

答案　D

纠错心得　(1)“判别式Δ≥0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法．

(2)直线与圆锥曲线的交点问题往往需考虑圆锥曲线的几何性质，数形结合求解．

1．(2018·新余摸底)双曲线－＝1(a≠0)的渐近线方程为(　　)

A．y＝±2x B．y＝±x

C．y＝±4x D．y＝±x

答案　A

解析　根据双曲线的渐近线方程知，

y＝±x＝±2x，故选A.

2．(2018·济宁模拟)若方程C：x2＋＝1(a是常数)，则下列结论正确的是(　　)

A．任意a∈(0，＋∞)，方程C表示椭圆

B．任意a∈(－∞，0)，方程C表示双曲线

C．存在a∈(－∞，0)，方程C表示椭圆

D．存在a∈R，方程C表示抛物线

答案　B

解析　∵当a＝1时，方程C：x2＋＝1，即x2＋y2＝1，表示单位圆，∴存在a∈(0，＋∞)，使方程C不表示椭圆．故A项不正确；

∵当a<0时，方程C：x2＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，∴任意a∈(－∞，0)，方程C表示双曲线，故B项正确；任意a∈(－∞，0)，方程C不表示椭圆，故C项不正确；∵不论a取何值，方程C：x2＋＝1中没有一次项，

∴任意a∈R，方程C不能表示抛物线，故D项不正确．

故选B.

3．(2017·河南新乡二模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若＝2，且||＝4，则双曲线C的方程为(　　)

A.－＝1 B.－＝1

C.－＝1 D.－＝1

答案　D

解析　不妨设B(0，b)，由＝2，F(c,0)，

可得A，代入双曲线C的方程可得×－＝1，即·＝，

∴＝.①

又||＝＝4，c2＝a2＋b2，

∴a2＋2b2＝16，②

由①②可得，a2＝4，b2＝6，

∴双曲线C的方程为－＝1，故选D.

4．(2017·福建龙岩二模)已知离心率为的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若＝16，则双曲线的实轴长是(　　)

A．32 B．16

C．84 D．4

答案　B

解析　由题意知F2(c,0)，不妨令点M在渐近线y＝x上，由题意可知|F2M|＝＝b，所以|OM|＝＝a.由io＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝，所以a＝8，b＝4，c＝4，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.

5．(2018·开封模拟)已知l是双曲线C：－＝1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·＝0，则P到x轴的距离为(　　)

A. B.

C．2 D.

答案　C

解析　由题意知F1(－，0)，F2(，0)，不妨设l的方程为y＝x，则可设P(x0， x0)．由·＝(－－x0，－ x0)·(－x0，－ x0)＝3x－6＝0，

得x0＝±，故P到x轴的距离为|x0|＝2，故选C.

6．经过双曲线－y2＝1的右焦点的直线与双曲线交于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线的条数为(　　)

A．4 B．3 C．2 D．1

答案　B

解析　由双曲线－y2＝1，可得a＝2，b＝1，当直线AB只与双曲线右支相交时，|AB|的最小值是＝1，

∵|AB|＝4>1，∴此时有两条直线符合题意；当直线AB与双曲线两支相交时，此时A、B的最小距离是实轴两顶点的距离，长度为2a＝4，距离无最大值．∵|AB|＝4，∴此时有1条直线符合条件．综上可得，共有3条直线符合条件，故选B.

7．(2018届武汉调研)已知不等式3x2－y2>0所表示的平面区域内一点P(x，y)到直线y＝x和直线y＝－x的垂线段分别为PA，PB，若△PAB的面积为，则点P轨迹的一个焦点坐标可以是(　　)

A．(2,0) B．(3,0)

C．(0,2) D．(0,3)

答案　A

解析　∵直线y＝x与y＝－x的夹角为60°，且3x2－y2>0，∴PA与PB的夹角为120°，|PA||PB|＝·＝，S△PAB＝|PA||PB|·sin 120°＝(3x2－y2)＝，即P点的轨迹方程为x2－＝1，半焦距为c＝2，∴焦点坐标可以为(2,0)，故选A.

8．设A(－3,0)，B(3,0)，若直线y＝－(x－5)上存在一点P满足|PA|－|PB|＝4，则点P到x轴的距离为(　　)

A. B.

C.或 D.或

答案　A

解析　∵A(－3,0)，B(3,0)，

点P满足|PA|－|PB|＝4<|AB|，

∴点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，

其中c＝3,2a＝4，则a＝2，b2＝5，

即双曲线方程为－＝1(x>0)．

若直线y＝－(x－5)上存在一点P满足|PA|－|PB|＝4，消去y得16x2＋90x－325＝0，

得x＝或x＝－(舍)，此时y＝，

即点P到x轴的距离为，故选A.

9．(2016·北京)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝________；b＝________.

答案　1　2

解析　由2x＋y＝0，得y＝－2x，所以＝2.

又c＝，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.

10．设动圆C与两圆C1：(x＋)2＋y2＝4，C2：(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切，则动圆圆心C的轨迹方程为____________．

答案　－y2＝1

解析　设圆C的圆心C的坐标为(x，y)，半径为r，由题设知r>2，

于是有或

∴||CC1|－|CC2||＝4<2＝|C1C2|，

即圆心C的轨迹L是以C1，C2为焦点，4为实轴长的双曲线，∴L的方程为－＝1，

即－y2＝1.

11．(2018·九江模拟)已知双曲线C：－＝1(b>a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且与双曲线C的一条渐近线垂直的直线l与C的两条渐近线分别交于M，N两点，若|NF1|＝2|MF1|，则双曲线C的渐近线方程为________________．

答案　y＝±x

解析　联立直线方程与渐近线方程，得

解方程组可得交点M的坐标为.

联立直线方程与渐近线方程，得

解方程组可得交点N的坐标为，

结合|NF1|＝2|MF1|和两点之间的距离公式，可得

－＝，解得＝，

则双曲线C的渐近线方程为y＝±x.

12．设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．

答案　(2，8)

解析　如图，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，从而|F1F2|＝4，由对称性不妨设P在右支上，

设|PF2|＝m，

则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，

由于△PF1F2为锐角三角形，

结合实际意义可知m需满足

解得－1＋＜m＜3，又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，

∴2＜2m＋2＜8.

13．(2017·湖北黄冈二模)已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上存在一点P使＝e，则·的值为(　　)

A．3 B．2

C．－3 D．－2

答案　B

解析　由题意及正弦定理得＝＝e＝2，∴|PF1|＝2|PF2|，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2.又|F1F2|＝4，由余弦定理可知cos∠PF2F1＝

＝＝，

∴·＝||·||cos∠PF2F1＝2×4×＝2.故选B.

14．(2017·安庆二模)已知F1，F2为双曲线的焦点，过F2作垂直于实轴的直线交双曲线于A，B两点，BF1交y轴于点C，若AC⊥BF1，则双曲线的离心率为(　　)

A. B.

C．2 D．2

答案　B

解析　不妨设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由已知，取A点坐标为，取B点坐标为，则C点坐标为且F1(－c,0)．由AC⊥BF1知·＝0，又＝，＝，可得2c2－＝0，又b2＝c2－a2，可得3c4－10c2a2＋3a4＝0，则有3e4－10e2＋3＝0，可得e2＝3或，又e>1，所以e＝.故选B.

15．(2017·福州质检)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝6，P是E右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆与边AF2的切点为Q.若|AQ|＝，则E的离心率是(　　)

A．2 B.

C. D.

答案　C

解析　如图所示，设PF1，PF2分别与△PAF2的内切圆切于M，N，依题意，有|MA|＝|AQ|，|NP|＝|MP|，

|NF2|＝|QF2|，

|AF1|＝|AF2|＝|QA|＋|QF2|,2a＝|PF1|－|PF2|＝(|AF1|＋|MA|＋|MP|)－(|NP|＋|NF2|)＝2|QA|＝2，

故a＝，从而e＝＝＝，故选C.

16．已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________．

答案　

解析　由定义，知|PF1|－|PF2|＝2a.

又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a.

当P，F1，F2三点不共线时，

在△PF1F2中，由余弦定理，

得cos∠F1PF2＝

＝＝－e2，

即e2＝－cos∠F1PF2.

∵cos∠F1PF2∈(－1,1)，∴e∈.

当P，F1，F2三点共线时，

∵|PF1|＝4|PF2|，∴e＝＝.

综上，e的最大值为.

2019届高考数学（北师大版文）大一轮复习讲义：第九章 平面解析几何 第7讲 双曲线 7