“一线三等角”基本图形解决问题

三角形相似在整个初中数学中有着重要的地位，在学习三角形相似形时，我们从复杂图形中分离出基本数学模型，对分析问题、解决问题有化繁为简的效果。在近几年的中考题中，经常可以看到“一线三等角”的数学模型，所谓“一线三等角”是指在一条直线上出现了三个角相等。所以，只要见到一条直线上出现了三个等角，往往都存在这样的模型，也会存在相似三角形，当出现了有相等边的条件之后，相似就转化为全等了，综合性题目往往就会把相似和全等的转化，作为出题的一种形式，需要大家注意。本文将重点对这一基本图形进行探讨。通过对题目的有效分解，打破同学们对综合题的畏惧心理，让同学们加深对于题目条件的使用：条件用完，即使题目没有求解完毕，也得到相应的分数，提高问题解决的能力，在这个师生共同探讨的过程中鼓励学生尝试解题，并加强题后反思，培养他们解题的能力。

一、知识梳理：

word/media/image1_1.png（1）四边形ABCD是矩形，三角板的直角顶点M在BC边上运动，直角边分别与射线BA、射线CD交于E、F，在运动过程中，△EBM∽△MCF.

（2）如图1：已知三角形ABC中，AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有

△ABD∽△DEC.

如图2：已知三角形ABC中，AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有△DBE∽△ECF.

（图1） （图2）

二、【例题解析】

【例1】(2014四川自贡）阅读理解：
如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：
（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；

（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；

拓展探究：
（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．

【练习】

1、 已知矩形ABCD中， AB=3，AD=2 ，点P是AB上的一个动点，且和点A,B 不重合，过点P作PE垂直DP，交边BC于点E,设,PA=x，BE=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围 .

2、如图，已知正方形ABCD，将一块等腰直角三角尺的锐角顶点与A重合，并将三角尺绕点旋转，当M点旋转到BC的垂直平分线PQ上时，连接ON，若ON=8，求MQ的长.

word/media/image7_1.png3. 如图，在矩形ABCD中，AB=m(m是大于0的常数)，BC=8,E为线段BC上的动点（不与BC重合）.连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x,BF=y,

(1)求y关于x的函数关系式

（2）若m=8，求x为何值时，y有最大值，最大值是多少？

（3）若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？

【例2】等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F.

（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；

（2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.

图1 图2 图3

分析过程：（1）△EPF为等边三角形.

（2）设BP=x，则CP＝6－x.

由题意可 △BEP的面积为. △CFP的面积为.△ABC的面积为.

设四边形AEPF的面积为y.

∴=.

自变量x的取值范围为3＜x＜6.

（3）可证△EBP∽△PCF.∴.设BP=x，

则. 解得.∴ PE的长为4或.

【练习】.如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B；

（1）求证：△ABP∽△PCM；

（2）设BP=x，CM=y．求 y与x的函数解析式，并写出自变量的取值范围．

（3）当△APM为等腰三角形时，求PB的长．

（4) 当点是的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由．

【例3】在中，是AB上的一点，且，点P是AC上的一个动点，交线段BC于点Q，（不与点B,C重合），已知AP=2，求CQ

【练习】在直角三角形ABC中，是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，（与A,C不重合），与射线BC相交于点F.

(1)、当点D是边AB的中点时，求证：

(2)、当，求的值

【例4】如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3，0)，B(1.0)，C(0，﹣3)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；

(3)设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

答案：(1)y=x2+2x﹣3；(2)S有最大值word/media/image35_1.png，点P的坐标为（，）；

(3)M的坐标为（0，）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）.

课后作业：

1. 已知：如图，在△ABC中，，，点D在边AB上，，点E在边BC上．又点F在边AC上，且．

(1) 求证：△FCE∽△EBD；

(2) 当点D在线段AB上运动时，是否有可能使．

如果有可能，那么求出BD的长．如果不可能请说明理由．

2. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一点，且BP=2，将一个大小与∠B相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P点转动，使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点为D、E。

（1）求证△BPD∽△CEP

（2）是否存在这样的位置，△PDE为直角三角形？若存在，求出BD的长；若不存在，说明理由。

3. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一个动点(与B、C不重合)，PE⊥AB与E，PF⊥BC交AC与F，设PC=x，记PE=，PF=

（1）分别求、关于x的函数关系式

（2）△PEF能为直角三角形吗?若能，求出CP的长，若不能，请说明理由。

4. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一个动点(与B、C不重合)，PE⊥AB与E，PF⊥BC交AC与F，设PC=x，△PEF的面积为y

（1）写出图中的相似三角形不必证明；

（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）若△PEF为等腰三角形，求PC的长。

5. word/media/image51_1.png已知在等腰三角形中，，是的中点，是上的动点（不与、重合），连结，过点作射线，使，射线交射线于点，交射线于点.

（1）求证：∽；

（2）设.

①用含的代数式表示；

②求关于的函数解析式，并写出的定义域.

6. 已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．

（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．

①求证；△ABP∽△DPC

②求AP的长．

（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么

①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

②当CE＝1时，写出AP的长（不必写出解题过程）．

答案：

1. 解：（1）∵AB=AC∴∠B=∠C

∵∠BED+∠DEF=∠C+∠EFC=90°又∵∴∠BED=∠EFC

∴△FCE∽△EBD

（2）∵BD=x，BE=，

∵△FCE∽△EBD∴若∴∴

∴∴BD不存在

2. 解：（1）∵AB=AC∴∠B=∠C

∵∠DPC=∠DPE+∠EPC=∠B+∠BDP∴∠EPC =∠BDP ∴△ABD∽△DCE

（2）∵∠DPE=∠B90°

若∠PDE=90°，在Rt△ABH和Rt△PDE中

∴cos∠ABH=cos∠DPE=∴

∵PC=4 ∴

若∠PED=90°在Rt△ABH和Rt△PDE中

∴cos∠ABH=cos∠PED=∴

∵PC=4 ∴（舍去）

综上所述，BD的长为

3. 解：（1）、

（2）∵∠FPE=∠B90°

若∠PFE=90°，在Rt△ABH和Rt△PFE中

∴cos∠ABH=cos∠FPE=∴∴∴

若∠PEF=90°，在Rt△ABH和Rt△PFE中

∴cos∠ABH=cos∠FPE=

∴∴∴

4. 解：（1）△PEB∽△EPC

（2）∵PC=x∴，，

∴

即

（3）当PE=PF时，△EPC≌△PEB，PC=BE=x，∴

当PE=EF时，，cos∠EPH=cosB，∴

当FE=PF时，， cos∠FPM=cosB，∴

综上所述，PC的长分别为、、

5. 解：（1）∵,∴∵

又,∴∽

（2）①∵∽，∴

∵是的中点，，∴，又 ∵

∴当点在线段的延长线上时，，∴

当点在线段上时，，∴

②过点作DG∥AB,交于点

∴，∴

∴当点在线段的延长线上时，∴，∴∴

当点在线段上时，∴，∴ ∴

2016中考数学专题复习一线三角三等角型