毕达哥拉斯定理

一、毕达哥拉斯定理的定义

勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”。

二、毕达哥拉斯定理的由来

早在中国商代就由商高发现.据说毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”.勾股定理指出：直角三角形两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方.也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a的平方+b的平方=c的平方，即;勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一.勾股定理其实是余弦定理的一种特殊形式.我国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五.”它被记录在了《九章算术》中.

商高是公元前十一世纪的中国人.当时中国的朝代是西周，处于奴隶社会时期.在中国古代大约是西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话.周公问商高：“天不可阶而升，地不可将尽寸而度.”天的高度和地面的一些测量的数字是怎么样得到的呢？商高说：“故折矩以为勾广三，股修四，经隅五.”即我们常说的勾三股四弦五.早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫做“商高定理”.

欧洲人则称这个定理为毕达哥拉斯定理.毕达哥拉斯（PythAgorAs）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人.希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”.并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺.因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”.所以他就把这个定理称为"毕达哥拉斯定理"，以后就流传开了.

三、思维的勾股定理

平方后等于负1的数称为虚数，用表示.的3倍记为、7倍记为，它们都是虚数.1与－1的平方都是1，平方为－1的数原本是没有的，虚数是在‘如果有的话’的前提下提出的概念.由实数和虚数组合成的数叫做复数，复变函数是专门研究复数的数学分支.假设在宇宙的最初（如同霍金所提倡的）时间是虚数，

由于加速度为距离除以时间的平方，所以当时间为虚数时，力的符号变为负（反方向）.难以逾越的高墙反过来变成了深深的堑壕，在力学上势能（位置能）的符号发生了变化，封闭着能量的口袋在一瞬间消失，从而揭开了宇宙大爆炸的序幕，在此瞬间里时间由虚变实，变成了通常的膨胀.

关于大爆炸以前的虚时间难于讲解，示意图也画不出来的，普通的时间尚无法看见，更别提看见虚时间了.我们的意识在一定程度上能够推定时间的经过，如果这时间是虚时间的话将会怎样呢？谁也说不出来.霍金为了避开奇点用数学公式表示了时间的连续性，但是他却回避不了大爆炸前的虚时间的提出，消除了宇宙创生于奇点的困惑.接下来，笔者用比较易懂的狭义相对论的公式，再对虚时间进行一些讲解.

狭义相对论认为，光速是不变的，长度及时间随测量方法的不同而不同，时间与长度具有同等的资格.因此狭义相对论的公式是四维公式.

设x、y、z为三维空间坐标的互相垂直的三个轴，t为时间.为了使时间成为用长度表示的维，把时间与光速c的乘积ct作为代表第四维的轴.假定光从A点出发沿直线（按狭义相对论观点）到达B点，所需时间为t，则AB间的直线距离为ct.一般地说，时间轴与x、y、z轴中的任何一个轴都不是互相垂直的，长度ct中含有各个轴的成份，光走过的距离ct相当于以x、y、z为三边的立方体的对角线之长，满足三维勾股定理（如图），.也可以写成.

如果将相对论的时间记述为三维空间里的一维时间的话，与之和总应该为零.请注意：在数学处理上必须不带任何区别地看待时间与空间.四维几何学很难用我们的常识去理解，在四维几何学里从一开始就把ct作为一个独立的坐标，而不是光传播于x、y、z三维空间里…….四维空间中的距离并不一定为零，而是一个定数，四个维的平方之和表示四维超立方体对角线的平方（称为扩张的勾股定理），即在四维几何学中，时间与空间之间存在下述关系：，是个定值，与光从A到B的过程有关.

这个公式是四维时空间里的物理学公式.在原来的勾股定理中，各边的平方均为正值，只有与时空间有关的时间项的平方为负值，也就是把看作是加上一个负的项.

四、毕达哥拉斯定理的证明

（一）《周髀算经》中勾股定理的公式与证明

《周髀算经》算经十书之一.约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法.唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》.首先，《周髀算经》中明确记载了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（《周髀算经》上卷二）

商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一.故折矩，以为句广三，股修四，径隅五.既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五.两矩共长二十有五，是谓积矩.故禹之所以治天下者，此数之所生也.”周公对古代伏羲（包牺）构造周天历度的事迹感到不可思议（天不可阶而升，地不可得尺寸而度），就请教商高数学知识从何而来.于是商高以勾股定理的证明为例，解释数学知识的由来. 　　

《周髀算经》证明步骤

“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一.”：解释发展脉络——数之法出于圆（圆周率三）方（四方），圆出于方（圆形面积=外接正方形*圆周率/4），方出于矩（正方形源自两边相等的矩），矩出于九九八十一（长乘宽面积计算依自九九乘法表）.“故折矩①，以为句广三，股修四，径隅五.”：开始做图——选择一个 勾三（圆周率三）、股四（四方） 的矩，矩的两条边终点的连线应为5（径隅五）.“②既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五.”：这就是关键的证明过程——以矩的两条边画正方形（勾方、股方），根据矩的弦外面再画一个矩（曲尺，实际上用作直角三角），将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形，可看到其中有 边长三勾方、边长四股方、边长五弦方 三个正方形.“两矩共长③二十有五，是谓积矩.”：此为验算——勾方、股方的面积之和，与弦方的面积二十五相等——从图形上来看，大正方形减去四个三角形面积后为弦方，再是 大正方形 减去 右上、左下两个长方形面积后为 勾方股方之和.因三角形为长方形面积的一半，可推出 四个三角形面积 等于 右上、左下两个长方形面积，所以 勾方+股方=弦方.

（二）（欧几里德(Euclid)射影定理证法）

如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，通过证明三角形相似则有射影定理如下：

(1) (2) (3)

由公式（2）（3）得：

;

即，这就是勾股定理的结论.

图1

（三） 爱因斯坦的证明方法

至今未见到爱因斯坦12岁时对毕氏定理证明的详细内容，但是按照材料，不难正确地推论出他的方法如下所示.

专注到三角形的相似性，从直角三角形的一个顶点向斜边作垂线，设交点为D（见图1）.两直角三角形的相似，完全取决于它们的一个锐角，如果有一锐角相等，二者相似；否则，不相似.

在图1中，△ABC、△DBC、△DCA彼此都是相似的，因为它们有一锐角是相等的.

△ABC与△DBC因相似，二者的两对应边长之比相等，即

（1）

对△ABC与△ACD，

同理有（2）

（1）+（2），得到：

（3）

（四）、（达芬奇的证法）

达芬奇的证法

三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相等，就能得出一个新的关系式——勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一，因为要证的事勾股定理，那么容易知道EB⊥CF，又因为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结AD，因为对称的缘故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那么很明显，图三中角A'和角D'都是直角

证明：第一张纸片多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF^2+OE^2+OF·OE 第三张纸片中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'^2+C'D'·D'E'因为S1=S2 所以OF^2+OE^2+OF·OE=E'F'^2+C'D'·D'E'又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF所以OF·OE=C'D'·D'E' 则OF^2+OE^2=E'F'^2因为E'F'=EF所以OF^2+OE^2=EF^2勾股定理得证

五、毕达哥拉斯的推广和成就

（一）毕达哥拉斯树（勾股数组）

1.勾股数组

满足勾股定理方程;的正整数组（a,b,c）.例如(3,4,5)就是一组勾股数组.由于方程中含有3个未知数，故勾股数组有无数多组.

股勾数组的通式： (）

2.勾股数组的推广

如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义.即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和.

3. 毕达哥拉斯树

毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形.又因为重复数次后

毕达哥拉斯树

的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树.直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方.两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积.利用不等式可以证明下面的结论：三个正方形之间的三角形，其面积小于等于大正方形面积的四分之一，大于等于一个小正方形面积的二分之一.

（二） 在代数研究上取得的成就

例如：从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方；用勾股定理求圆周率.

据说4000多年前，中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差.

公元1世纪，我国数学著作《九章算术》中记载了一种求整勾股数组的法则：任意给定两个正整数，那么，，这三个正整数就是一个整勾股数组.用代数方法很容易证明这一结论.公元3世纪，我国著名数学家刘徽从几何上也证明了这一结论.

不难证明，如果上述，是互质的奇数，那么用《九章算术》中的法则可以求出所有两两互质的整勾股数组.这也是我们中国古代数学家的一项杰出成就.

有趣的是：除了三元二次方程（其中都是未知数）有正整数解以外，其他的三元次方程（为已知正整数，且）都不可能有正整数解.这一定理叫做费尔马大定理（费尔马是17世纪法国数学家）.

六、勾股定理的应用

（一） 最早的勾股定理的应用

从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的，这里只举一例.例如公元前1700年的一块泥板（编号为85196）上第九题，大意为“有一根长为5米的木梁（AB）竖直靠在墙上，上端（A）下滑一米至D.问下端（C）离墙根（B）多远？”他们解此题就是用了勾股定理，如图 设AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，则BD=l-h=5-1米=4米. ∵米，∴三角形BDC正是以3、4、5为边的勾股三角形.

（二）勾股定理在古代中的应用

折竹抵地：

今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。问：折者高几何？

（尺：非法定长度计量单位。10=1丈。1市尺合）

分析：首先应读懂题目的意思，然后根据实际问题构建直角三角形模型，再利用勾股定理求解。

解：由题意画出图1。

由题可知（尺）①

BC=3尺

所以（尺）②

①+②得：

故（尺）

代入②得：

（尺）

点评：应用是数学知识的一大特色，解决应用类问题时，需要根据实际问题构建数学模型，然后再求解。

（三）勾股定理在最短距离问题中的应用

编制一个底面周长为a、高为b的圆柱形花架，需用沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，如图3①中的，…则每一根这样的竹条的长度最少是_________。

图3

分析：在求解几何体表面两点间最短距离的问题时，通常是将几何体表面展开，求展开图中两点之间的距离，但在展开过程中一定要弄清所要求的是哪两点之间的距离，以及它们在展开图中相应的位置。

解：由于竹条需要绕织一周，所以可以把圆柱侧面沿展开，得到一个长和宽分别为a和b的矩形，如图3②所示。连接，此时对角线的长度就是竹条的最短长度。

由勾股定理得，所以。

点评：求解立体几何图形的一些问题时，通常是通过平面展开图，将其转化为平面图形的问题，然后求解。

（四）勾股定理在实际问题中的应用

如图5所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。

（1）求A、C两点之间的距离。

（2）确定目的地C在营地A的什么方向。

图5

分析：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。

解：（1）过B点作BE//AD，如图5

∴∠DAB=∠ABE=60°

∵30°+∠CBA+∠ABE=180°

∴∠CBA=90°

即△ABC为直角三角形

由已知可得：BC=500m，AB=

由勾股定理可得：

所以

（2）在Rt△ABC中，

∵BC=500m，AC=1000m

∴∠CAB=30°

∵∠DAB=60°

∴∠DAC=30°

即点C在点A的北偏东30°的方向

点评：本题是一道实际问题，从已知条件出发判断出△ABC是直角三角形是解决问题的关键。本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。

勾股定理